阶段性综合复习训练（考查范围：第八章、第九章）（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

阶段性综合复习训练（考查范围：第八章、第九章）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在三棱锥中，为的中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近（ ）
A．60mm B．65mm C．70mm D．75mm
3．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，且，，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为两条直线，为两个平面，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
6．2024年1月19日，万众瞩目的“九省联考”正式开考，数学测试卷题型结构变化很大，由原来22个题减少至19个题，让考生的作答时间变得更加充裕，符合“适当减少试题数量，加强对数学思维过程考查”目标．某同学统计了自己最近的次“新题型结构”试卷的成绩发现：这次的分数恰好组成一个公差不为的等差数列，设次成绩的平均分数为，第百分位数为，当去掉某一次的成绩后，次成绩的平均分数为，第百分位数为．若，则（ ）
A． B． C． D．与大小无法判断
7．某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成，，，，，六组），下列结论中不正确的是（ ）
A．图中的
B．若从成绩在，，内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在内的有3人
C．这100名学生成绩的中位数约为65
D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2
8．已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，，40，50；乙组：24，，33，44，48，52．若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则（ ）
A．60 B．65 C．70 D．75
二、多选题
9．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（　　）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
10．在四棱锥中，是正方形，，，，为棱上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．点到平面的距离为1
B．若，则过点，，的平面截此四棱锥所得截面的面积为
C．四棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间内的人数为16．则（ ）
A．图中
B．样本容量
C．估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分
D．该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分
12．从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穂长度情况，那么下列说法错误的是（ ）
A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数
C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6
三、填空题
13．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ．
14．如图，正方体的棱长为2，分别为的中点，为过直线的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是 （填“①”或“②”），该结论是 命题（填“真”或“假”）．
①平面截该正方体所得截面面积的最大值为；
②若正方体的12条棱所在直线与平面所成的角都等于，则．
15．为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分（均为整数）分成六组：，，…，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为 .

16．二战期间，盟军统计学家将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数是，缴获的该月生产的辆坦克序列号从小到大为，即最大序列号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为坦克的序列号是连续编号的，所以缴获坦克的序列号，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间，其中前个区间已知，最右边的区间未知（由于未知）.由于这个数是随机抽取的，所以可以用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.例如，某月盟军缴获坦克的序列号是，则统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为 辆.
四、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.
18．如图，在正方体中，，点E在棱上，且.
(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角的余弦值.
19．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
20．滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成A、B两组，测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：
A组 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
B组 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54
改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和．
(1)求；
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低．）
21．某工厂人员及月工资构成如下：
人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
月工资（元） 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700
人数 1 6 5 10 1 23
合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000
(1)指出这个表格中的众数、中位数、平均数；
(2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】由直角三角形性质可得为的外心，结合球体性质可知平面，由等腰三角形性质可知的外心在上且，进而可得直线与平面所成角与互余，结合正弦定理可得，勾股定理可得，进而可得、，结合球的表面积公式计算即可.
【详解】如图，设球心为，的外接圆圆心为，连接，，
因为为的中点，，所以为的外心，
由为的外心，得三点共线，且.
由题意得平面，面，则，
故直线与平面所成角为的余角，
所以，所以.
在中，由题设可得，
由正弦定理得，
所以，
所以在Rt中，，
所以球的表面积.
故选：B.
2．B
【分析】如图，根据相似三角形的性质求得mm，由圆台的体积公式求出收集到的雨水量，利用等体积法，结合圆柱的体积公式建立关于h的方程，解之即可求解.
【详解】如图，分别为上底面、下底面的半径，且，，
则，
当mm时，在中，，即，
解得mm，所以mm，所以圆的面积为，
又圆的面积为，
所以收集到的雨水量为，
设此时量杯的刻度为，
则，解得.
故选：B
3．D
【分析】取的中点，利用给定条件证明平面，再利用锥体的体积公式计算即得.
【详解】在三棱锥中，取的中点，连接，则，
正的边长为3，，，，
于是，显然，则，有，
而平面，则有平面，又平面，
则，而平面，因此平面，
，，
所以三棱锥的体积为.
故选：D
4．A
【分析】利用面面垂直的判定定理，可得充分性成立，再通过举例说明，得不出，即可得出结果.
【详解】若，因为，所以，即由可以得到，
若，如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面，
取为直线，为直线，显然有，，但与不垂直，即由得不到，
故选：A.
5．A
【分析】根据特征数的特点选择.
【详解】可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为方差.
故选：A.
6．C
【分析】依题意不妨设这次的分数从小到大分别为、、、、，即可求出、，要使去掉一个数据之后平均数不变，则去掉的一定是，从而求出，即可判断.
【详解】依题意不妨设这次的分数从小到大分别为、、、、，
所以，
又，所以第百分位数为
要使次成绩的平均分数为且，则去掉的数据一定是，
即还剩下、、、，
又，所以第百分位数为，
因为，所以.
故选：C
7．C
【分析】根据频率分布直方图的特点逐个进行分析计算即可.
【详解】由，得，所以A正确；
这100名学生中成绩在，，内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层抽样抽取的10名学生中成绩在内的有人，故B正确；
根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在之间，设中位数为，则，所以，故C错误；
根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，D正确．
故选：C
8．C
【分析】根据一组数据的百分位数的定义，分别求得两组数据的第30百分位数和第50百分位数，列出方程组求解即得.
【详解】由题意可得解得：故
故选：C.
9．ACD
【分析】由面面平行的传递性可判断A；若，则与可能相交可判断B；由面面平行的性质定理可判断C；由线面平行的性质定理可判断D.
【详解】对于A，由面面平行的传递性可知A正确；
对于B，若，则或与相交，所以B错误；
对于C，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确；
对于D，因为，所以，同理，
由平行线的传递性可得，所以D正确．
故选：ACD.
10．ABD
【分析】设点到平面的距离为，结合，求得，可判定A正确；取中点为，连接，，可得截面为直角梯形，进而可判定B正确；结合球的截面的性质，可求得四棱锥外接球的半径为，结合球的表面积公式，可判定C不正确；作和 ，证得平面平面，将与平面所成的角转化为，设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】对于A选项，因为，，又，且，面，
所以面，又因为，所以平面，
因为，且，
可得到平面的距离为，即三棱锥的高为，
设点到平面的距离为，且，
由，可得，得.
所以点到平面的距离为1，所以A正确；
对于B选项，因为，所以点为棱的中点，
取中点为，连接，，则平面即为平面截此四棱锥所得的截面.
且点是的中点，点为棱的中点，
所以在中，是的中位线，则，且，
又因为四边形是正方形，则，所以，
因为面，且面，面，所以.
所以四边形是以为下底、为上底，为高的直角梯形，
因为，在等腰中，，且平分，
可得，
则平面截此四棱锥所得截面的面积为，所以B正确；
对于C选项，又因为，，且，
所以，即，其中为外接圆半径，
因为正方形的中心到面的距离等于其边长的一半，即，故四棱锥外接球的半径为.
所以四棱锥外接球的表面积为，所以C不正确；
对于D选项，过点作，再过点作，使得分别在线段上，连接.
根据线面平行的判定定理，可得平面，平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，即平面.
所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角.
由于平面，在平面内，故.
从而在直角中，可得.
设，由，可得，
所以，所以.
由于，故在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
在直角中，可得，且当时，不等号取等.
所以的最大值是，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】解题方法点拨：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
11．AD
【分析】根据频率之和等于1，即可判断A；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意算出分位数，再根据频率分布直方图的性质，即可判断D．
【详解】对于A，因为，解得，故A正确；
对于B，因为成绩落在区间内的人数为16，
所以样本容量，故B不正确；
对于C，学生成绩平均分为，故C不正确；
对于D，设授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为，
由于的频率为，的频率为，的频率为，
则，所以，
则，解得，
所以大约成绩至少为 77.25 的学生能得到此称号，故D正确．
故选：AD．
12．ACD
【分析】根据茎叶图可得这14组数据，然后求极差，中位数，众数，平均数，百分位数即可求解.
【详解】由题可知最大的数是11.7，最小的数是7.8，故极差为3.9，A正确；
中位数为：；众数为：9.7；
平均数为：
，
，故第75百分位数为：10.6，
由以上数据可知：ACD正确，
故选：ACD.
13．/
【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为，则在展开图扇形中有，求得，再由圆锥的高为，利用面积公式即可得解.
【详解】设圆锥的底面半径为，
则展开图扇形的弧长为，半径为母线长，
所以，，
所以圆锥的高为，
所以.
故答案为：.
14． ①（答案不唯一） 假（答案不唯一）
【分析】选①，根据四边形的面积即可判断，选②，根据三棱锥为正三棱锥，利用等体积法求解与平面所成角的正弦值即可求解②.
【详解】若选①，平面是过直线的平面．此时四边形即为该平面截正方体所得截面，由于四边形的面积为,故①为假命题，
若选②，由于三棱锥为正三棱锥，所以与平面所成角均相等，故平面平面，
设到平面的距离为，则
所以与平面所成角的正弦值为，故，②为真命题
故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）
15．82
【分析】由百分位数的定义和频率分布直方图求解即可.
【详解】因为所有小矩形的面积之和为1，所以，
所以，测评得分落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为，由，解得，
故第75百分位数为82.
故答案为：
16．28
【分析】依题意得，，故，即可求解.
【详解】由于用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，
而缴获坦克的编号是，即，
故，所以，
即统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为28辆.
故答案为：28
17．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行；
（2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可.
【详解】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、，
则 ，，
又底面是正方形，即 ，
则，即四边形为平行四边形，
则，又在平面外，平面，
故平面.
（2）取线段的中点为点，连接、，
又，底面是边长为的正方形，
则，且，，
又二面角的大小为，
即平面平面，
又平面，平面平面，
则平面，
则是直线与平面所成角，
在中，，
即，
故直线与平面所成角的大小为.
18．(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）过作，垂足为，可得中为高，求出高和底面，进而可得体积；
（2）假设在线段上存在点F，使得平面，取的三等分点，得到面面，取的三等分点（靠近），再通过线面平行的性质得到，进而可得的位置；
（3）延长交于点，作，垂足为，连接可得为二面角的平面角，在中求解即可.
【详解】（1）过作，垂足为，
因为，所以面即面
明显面，
所以面，
又，，
所以
（2）假设在线段上存在点F，使得平面，
取的三等分点，使，则四边形是平行四边形，
所以，又面，面，
所以面，又面，，
所以面面，又面，
所以面，
取的三等分点（靠近），则，
所以面面，又面，面，
所以，又为的中点，
所以；
（3）延长交于点，作，垂足为，连接，则面，
从而，
所以为二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.
【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面平面；
（3）由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)0.70； 0.495；0.0007；0.000625
(2)应用技术1与技术2后，土壤可溶性盐含量都没有显著降低．
【分析】（1）利用平均数和方差的公式代入计算即得；
（2）将题设中的，, , 与（1）中算得的，, , 分别代入公式计算判断是否满足即得结论.
【详解】（1），

（2）当时，
，，
应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低
当时，
，，
∴应用技术2后，土壤可溶性盐含量没有显著降低．
故应用技术1和技术2后，土壤可溶性盐含量没有显著降低．
21．(1)众数为2000元，中位数为2200元，平均数为3000元
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）从表中数据可知人数最多的是众数，把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数是中位数，根据平均数的方法计算即可
（2）从表中的数据可知，只有经理和管理人员在平均数以上，其余的多数人都在平均数以下，故平均数不能客观地反映该工厂人员的月工资水平
【详解】（1）由表格可知，众数为2 000元.
把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元.
平均数为（22 000＋15 000＋11 000＋20 000＋1 000）÷23＝69 000÷23＝3 000（元）.
（2）虽然月工资的平均数为3 000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.
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