4.2等差数列 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修2
文档属性
| 名称 | 4.2等差数列 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 789.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-02 08:50:10 | ||
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文档简介
4.2 等差 数列同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ）
A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项
2．已知数列各项均为正数，且，数列满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．在等差数列中，，记，，则（ ）
A．数列有最大项和最小项 B．数列有最大项，无最小项
C．数列无最大项，有最小项 D．数列无最大项和最小项
5．记等差数列的前项和为，已知，则公差（ ）
A．-1 B． C． D．2
6．已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．156 B．252 C．192 D．200
二、多选题
9．已知首项为正数的等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B．若，则
C．时，的最小值为27 D．最大时，
10．设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（ ）
A．若是等方差数列，则是等差数列
B．数列为等方差数列
C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项
D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知等差数列是递减数列，且，前n项和为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．当时，n的最小值为8
三、填空题
13．数列满足，，当时，，当时，，，则当时，m的最小值为 ．
14．已知在等差数列的前n项和为，已知，为整数，，则 ．
15．已知数列满足，若，则的前20项和 ．
16．已知数列满足，，则 ， .
四、解答题
17．已知数列的首项，前项和为，且，．
(1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和．
18．已知正项数列的前项和为，且，.
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列：，求的前项和．
19．已知数列的前项和为，且为等差数列．
(1)证明：为等差数列；
(2)若，数列满足，且，求数列的前项和．
20．设等差数列的前项和为，且，是等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
21．已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出，进而根据通项公式可得项数.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
令，
得，即是中的第30项.
故选：C.
2．C
【分析】由等差中项可得是等差数列，结合条件可得，然后由裂项相消法即可得到结果.
【详解】由可得数列是等差数列，
又，则，则，即，
所以，所以，
经检验满足，则
所以.
故选：C
3．C
【分析】根据题意，求得，，得到公差，，结合，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由，可得，
因为，可得，
所以公差为，，
又因为，可得，则，解得，
则，所以.
故选：C.
4．A
【分析】先根据等差数列中的来求出通项公式，然后分析数列的前几项，发现，即可知当时，，从而来分析前五项，易得出判断.
【详解】由题意得：等差数列的公差，
由等差数列的通项公式得，,
又，
且由于，
因为，所以数列中的正项只有有限项，
即为，而
易得当时，，所以数列中存在最大项，且最大项为，最小项为.
故选：A.
5．A
【分析】根据等差数列求和公式得到方程组，求出公差.
【详解】由等差数列求和公式得，
解得.
故选：A
6．A
【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.
【详解】对于充分性，已知等差数列的公差为，首项，
当“”时，集合恰有两个元素，
故充分性成立，对于必要性，当时，
“集合也恰有两个元素”，故必要性不成立，
故“”是“集合恰有两个元素”的充分而不必要条件.
故选：A
7．A
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式将条件转化为的方程，再利用通项公式求.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，又，
所以，
所以，
故选：A.
8．B
【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用性质求出.
【详解】等差数列中，，得，则，
设数列公差为，而，因此，解得，
则，所以.
故选：B
9．ABC
【分析】由等差中项的性质及等差数列前项和公式即可判断AB；由等差数列的前n项和和等差中项判断C；由A和等差数列的前项和判断D.
【详解】对于A，首项为正数的等差数列的前项和为，
所以，
若，则一定大于零，不符合题意，
所以，，故A正确；
对于B，由，，
可得，即，
解得，故B正确；
对于C，，，
所以时，的最小值为27，故C正确；
对于D，由A可知，因为，，可知，
即当时，，当时，，
所以时，取最大值，故D错误.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】对于B：代入定义计算即可判断；根据题意结合等差数列的定义分析判断A；借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质分析判断C；由题意将表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式即可判断D.
【详解】对于选项B：若时，则，，
则不为定值，
所以数列不是等方差数列，故B错误；
对于选项ACD：若是等方差数列，则为常数，
所以数列是以为首项，公差为d的等差数列，故A正确；
可得，
当时，则总存在正整数，使，
与矛盾，故恒成立，，
有，，
即，，有，
则，
由随的增大而增大，
故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项，故C正确；
由，故，
则
，
可得
，
由随n的增大而增大，且时，，
故对任意的，总存在正整数n使，
即总存在正整数n，使得，D正确；
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式.
11．ACD
【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，结合等差数列的求和公式，以及裂项法求和，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得：，
以上个式子累加可得，
其中时，满足上式，所以，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，
可得，所以D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】根据等差数列的通项公式可得，从而判断A、B；由等差数列前n项和公式可判断C、D.
【详解】由，得，即，
由等差数列是递减数列，知，则，
而，
当或时，最大，
令，解得，即当时，n的最小值为8.
故选：ABD.
13．933
【分析】整理题目中的递推公式，结合等差数列的定义，可得其通项公式，令其等于零，求得项数，可得答案.
【详解】当时，由，可得，
即，∵，
∴数列是以1862为首项，以为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，
当时，有，当时，，∴，
所以所求的的最小值为933，
故答案为：933.
14．
【分析】设等差数列的公差为d，依据，可判断，，从而得到关于d的不等式组，解出d的范围，取整即可得到结果.
【详解】解：由，为整数知，等差数列的公差为整数d，
又，所以，，
所以，，
解得，所以，
所以数列的通项公式为．
故答案为：．
15．
【分析】根据给定条件，按奇偶讨论求出，再分组求的即得.
【详解】数列满足：，
当为正奇数时，，即数列是以为首项，为公差的等差数列，
于是，
当为正偶数时，，即，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，于是，
所以的前20项和.
故答案为：
16． 0 2023
【分析】分别令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.
【详解】令可得：，所以，
令可得：，所以，
由可得：，
所以，
，
……，
，以上个式子相加可得：
，所以，
则.
故答案为：0；2023.
17．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）将两边同除，即可得到，结合等差数列的定义证明，即可求出；
（2）根据作差求出，即可得到，再利用分组求和法及裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，即，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1），
当时，，
所以，
又适合上式，所以，
所以，
所以，
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由条件，当时，利用累加法求出，再求，根据与的关系求；
（2）解法一：先确定的排列规律，令，求，由此确定的前项中的个数和的个数，再求前项的和，
解法二：令，求，结合，利用分组求和法求的前项和．，
【详解】（1）因为，
所以，当时，
所以
所以，
因为，所以，故.
当时，适合上式，所以，，
所以当时，，
所以
（2）（解法1）因为，
所以数列：，
设，
则，
因为，所以，
所以的前项由个与个组成，
所以.
（解法2）设，
则，
因为，所以，
根据数列的定义，知
所以，
所以.
19．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）因为为等差数列，可设出的通项公式，然后由前项和求数列的通项公式，再由等差数列的概念判断数列是等差数列.
（2）先根据（1）的结论确定的通项公式，然后用“累乘法”求数列的通项公式，再用“裂项求和法”求数列的前项和.
【详解】（1）因为为等差数列，设其公差为，所以，
又因为，所以．
当时，，
又因为适合上式，所以．
所以，所以为等差数列．
（2）因为，由（1）知，得，所以．
所以，
当时，，
因为满足上式，所以．
所以．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可得，，可得结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，是等差数列，则，
得，两边平方得，
整理得，两边再次平方得，
整理得，解得，
所以.
（2）由，得，则，
所以.
21．(1)；
(2)28
【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ）
A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项
2．已知数列各项均为正数，且，数列满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．在等差数列中，，记，，则（ ）
A．数列有最大项和最小项 B．数列有最大项，无最小项
C．数列无最大项，有最小项 D．数列无最大项和最小项
5．记等差数列的前项和为，已知，则公差（ ）
A．-1 B． C． D．2
6．已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．156 B．252 C．192 D．200
二、多选题
9．已知首项为正数的等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B．若，则
C．时，的最小值为27 D．最大时，
10．设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（ ）
A．若是等方差数列，则是等差数列
B．数列为等方差数列
C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项
D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知等差数列是递减数列，且，前n项和为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．当时，n的最小值为8
三、填空题
13．数列满足，，当时，，当时，，，则当时，m的最小值为 ．
14．已知在等差数列的前n项和为，已知，为整数，，则 ．
15．已知数列满足，若，则的前20项和 ．
16．已知数列满足，，则 ， .
四、解答题
17．已知数列的首项，前项和为，且，．
(1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和．
18．已知正项数列的前项和为，且，.
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列：，求的前项和．
19．已知数列的前项和为，且为等差数列．
(1)证明：为等差数列；
(2)若，数列满足，且，求数列的前项和．
20．设等差数列的前项和为，且，是等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
21．已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出，进而根据通项公式可得项数.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
令，
得，即是中的第30项.
故选：C.
2．C
【分析】由等差中项可得是等差数列，结合条件可得，然后由裂项相消法即可得到结果.
【详解】由可得数列是等差数列，
又，则，则，即，
所以，所以，
经检验满足，则
所以.
故选：C
3．C
【分析】根据题意，求得，，得到公差，，结合，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由，可得，
因为，可得，
所以公差为，，
又因为，可得，则，解得，
则，所以.
故选：C.
4．A
【分析】先根据等差数列中的来求出通项公式，然后分析数列的前几项，发现，即可知当时，，从而来分析前五项，易得出判断.
【详解】由题意得：等差数列的公差，
由等差数列的通项公式得，,
又，
且由于，
因为，所以数列中的正项只有有限项，
即为，而
易得当时，，所以数列中存在最大项，且最大项为，最小项为.
故选：A.
5．A
【分析】根据等差数列求和公式得到方程组，求出公差.
【详解】由等差数列求和公式得，
解得.
故选：A
6．A
【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.
【详解】对于充分性，已知等差数列的公差为，首项，
当“”时，集合恰有两个元素，
故充分性成立，对于必要性，当时，
“集合也恰有两个元素”，故必要性不成立，
故“”是“集合恰有两个元素”的充分而不必要条件.
故选：A
7．A
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式将条件转化为的方程，再利用通项公式求.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，又，
所以，
所以，
故选：A.
8．B
【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用性质求出.
【详解】等差数列中，，得，则，
设数列公差为，而，因此，解得，
则，所以.
故选：B
9．ABC
【分析】由等差中项的性质及等差数列前项和公式即可判断AB；由等差数列的前n项和和等差中项判断C；由A和等差数列的前项和判断D.
【详解】对于A，首项为正数的等差数列的前项和为，
所以，
若，则一定大于零，不符合题意，
所以，，故A正确；
对于B，由，，
可得，即，
解得，故B正确；
对于C，，，
所以时，的最小值为27，故C正确；
对于D，由A可知，因为，，可知，
即当时，，当时，，
所以时，取最大值，故D错误.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】对于B：代入定义计算即可判断；根据题意结合等差数列的定义分析判断A；借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质分析判断C；由题意将表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式即可判断D.
【详解】对于选项B：若时，则，，
则不为定值，
所以数列不是等方差数列，故B错误；
对于选项ACD：若是等方差数列，则为常数，
所以数列是以为首项，公差为d的等差数列，故A正确；
可得，
当时，则总存在正整数，使，
与矛盾，故恒成立，，
有，，
即，，有，
则，
由随的增大而增大，
故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项，故C正确；
由，故，
则
，
可得
，
由随n的增大而增大，且时，，
故对任意的，总存在正整数n使，
即总存在正整数n，使得，D正确；
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式.
11．ACD
【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，结合等差数列的求和公式，以及裂项法求和，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得：，
以上个式子累加可得，
其中时，满足上式，所以，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，
可得，所以D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】根据等差数列的通项公式可得，从而判断A、B；由等差数列前n项和公式可判断C、D.
【详解】由，得，即，
由等差数列是递减数列，知，则，
而，
当或时，最大，
令，解得，即当时，n的最小值为8.
故选：ABD.
13．933
【分析】整理题目中的递推公式，结合等差数列的定义，可得其通项公式，令其等于零，求得项数，可得答案.
【详解】当时，由，可得，
即，∵，
∴数列是以1862为首项，以为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，
当时，有，当时，，∴，
所以所求的的最小值为933，
故答案为：933.
14．
【分析】设等差数列的公差为d，依据，可判断，，从而得到关于d的不等式组，解出d的范围，取整即可得到结果.
【详解】解：由，为整数知，等差数列的公差为整数d，
又，所以，，
所以，，
解得，所以，
所以数列的通项公式为．
故答案为：．
15．
【分析】根据给定条件，按奇偶讨论求出，再分组求的即得.
【详解】数列满足：，
当为正奇数时，，即数列是以为首项，为公差的等差数列，
于是，
当为正偶数时，，即，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，于是，
所以的前20项和.
故答案为：
16． 0 2023
【分析】分别令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.
【详解】令可得：，所以，
令可得：，所以，
由可得：，
所以，
，
……，
，以上个式子相加可得：
，所以，
则.
故答案为：0；2023.
17．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）将两边同除，即可得到，结合等差数列的定义证明，即可求出；
（2）根据作差求出，即可得到，再利用分组求和法及裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，即，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1），
当时，，
所以，
又适合上式，所以，
所以，
所以，
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由条件，当时，利用累加法求出，再求，根据与的关系求；
（2）解法一：先确定的排列规律，令，求，由此确定的前项中的个数和的个数，再求前项的和，
解法二：令，求，结合，利用分组求和法求的前项和．，
【详解】（1）因为，
所以，当时，
所以
所以，
因为，所以，故.
当时，适合上式，所以，，
所以当时，，
所以
（2）（解法1）因为，
所以数列：，
设，
则，
因为，所以，
所以的前项由个与个组成，
所以.
（解法2）设，
则，
因为，所以，
根据数列的定义，知
所以，
所以.
19．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）因为为等差数列，可设出的通项公式，然后由前项和求数列的通项公式，再由等差数列的概念判断数列是等差数列.
（2）先根据（1）的结论确定的通项公式，然后用“累乘法”求数列的通项公式，再用“裂项求和法”求数列的前项和.
【详解】（1）因为为等差数列，设其公差为，所以，
又因为，所以．
当时，，
又因为适合上式，所以．
所以，所以为等差数列．
（2）因为，由（1）知，得，所以．
所以，
当时，，
因为满足上式，所以．
所以．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可得，，可得结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，是等差数列，则，
得，两边平方得，
整理得，两边再次平方得，
整理得，解得，
所以.
（2）由，得，则，
所以.
21．(1)；
(2)28
【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
答案第1页，共2页
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