5.1导数的概念及其意义 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修2
文档属性
| 名称 | 5.1导数的概念及其意义 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 887.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-02 08:53:54 | ||
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文档简介
5.1 导数的概念及其意义 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（ ）
A．， B． C．， D．
4．设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．2024 B．2023 C．4048 D．4046
5．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．午饭时间；B同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．
C．对于，存在，使得
D．整个过程小明行走的速度一直在加快
10．作直线与双曲线C:右支相切,且直线交的两渐近线于、两点,则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线与曲线，，，均相交，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则 ．
14．曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 .
15．设直线与曲线相切，则 ．
16．若，则 .
四、解答题
17．2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系
(1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度；
(2)求火箭在时的瞬时速度﹔
(3)熄火后多长时间火箭上升速度为0．
18．遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s；
(1)求飞机在时间段内的平均速度；
(2)求飞机在时的瞬时速度.
19．已知.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：；
(3)若，，数列满足，．求证：当时，．
20．已知函数（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
21．已知函数图像上两点.
(1)若割线的斜率不大于，求的范围；
(2)求及在点处的切线方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据和概念进行运算即可.
【详解】由题有：
.
故选：D.
2．C
【分析】根据平均变化率的概念计算即可得解.
【详解】，
，
，
故选：C
3．A
【分析】方法一：设，，不妨设，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去，得，构造函数，由，，可求出结果.
方法二：易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，分析函数的单调区间即可得出结果.
【详解】解法一：
当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由得，由①②可得，
设，由，，可得，可能；
由，B不正确；
由①可得，由②可得，即有，则C，D不正确．
解法二：
如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，时，属于单调增区间，故当时，的单调增区间为，根据图像，可以位于此区间，另一个点B所在区间，不好把握.
故选：A．
4．C
【分析】根据切线方程可知，再由导数的定义可得解.
【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以斜率，
所以.
故选：C
5．B
【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果.
【详解】根据导数的几何意义，分别表示在点处切线的斜率,
又，由图可知，
故选：B.
6．A
【分析】由垂直得切线斜率，再由导数的几何意义求解．
【详解】由题意题中切线的斜率为2，
由，则，
所以，，
故选：A．
7．D
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数，得，
则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：D
8．C
【分析】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
因为曲线在点和处的切线互相平行或重合，
可得为偶函数，所以，解得.
故选：C.
9．AC
【分析】可通过题意，分别表示出，，，再根据选项A，B进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断．
【详解】由题意可知；，，，
由图像可知，，即，因此，，
所以，因此，此时，故A正确；
由，可化为，故，故B不正确；
由图像可知，直线与曲线的交点为，，故存在，使得，即当时，，故C正确；
时刻的瞬时速度为判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，
由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，
故而在此时，速度最快，故D不正确.
故选：AC.
10．BCD
【分析】设点为右支第一象限部分上的一点,先求双曲线上一点的切线方程,其他象限由对称性同理可得，当切线斜率存在时，根据导数的几何意义求解出切线方程，又双曲线的渐近线方程为，两者联立求出两点的坐标,根据两点间距离公式得到的关系式，在结合的范围求解即可，再分析当切线斜率不存在时的弦长即可.
【详解】设点为右支第一象限部分上的一点,如图:
当切线斜率存在时,
由得,
所以,
则在点的切线斜率为,
所以在点的切线方程为:,
又因为,
所以在点的切线方程为,
双曲线的渐近线方程为,
设,
联立,
所以点,
同理可得:,
则
,
又因为,
所以,
即当切线斜率存在时,，所以BCD均可取到.
当切线斜率不存在时,切线方程为，双曲线的渐近线方程为,
则,
，此时BC可以取到.
综上,.
故选：BCD.
11．ABD
【分析】根据导数的定义和几何意义判断即可.
【详解】，
，
由图可知，且曲线在处比曲线更陡峭，
曲线在处比曲线更陡峭，
所以，
所以A，B，D选项正确，C错误，
故选：ABD.
12．AC
【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论.
【详解】选项A中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确；
选项B中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误；
选项C中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，
当时，切点为，切线方程为，C正确；
选项D中，易知与有三个交点，，
又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误.
故选：AC
13．
【分析】先求出函数在处的切线方程，再由圆内弦长公式求得即可.
【详解】由，定义域为，，
则切线斜率，又，
所以切线方程为：，化简为：；
又因为圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
则.
故答案为：
14．
【分析】利用导数求出在处的切线方程为，函数在点处的切线方程为，，根据两切线重合求解，求出，进而求出.
【详解】函数在处的切线斜率为则切线方程为，
函数在处的切线斜率为，则切线方程为，即，
由题意有①且②，故，，
从而，整理得，
所以，即.
代入式②，得，即.
故答案为：
15．
【分析】设出切点，由导数的意义可得，与直线斜率相等，从而解出，求出斜率即可.
【详解】设切点为，
因为，所以切线的斜率，
又因为，
从而，解得，
所以．
故答案为：.
16．
【分析】根据导函数的定义直接求解即可.
【详解】根据导数的定义：，
因为，所以.
故答案为：
17．(1)90m/s，70m/s；
(2)80m/s；
(3)10s
【分析】（1）根据平均速度代入表达式计算；
（2）由函数，可得，根据导函数几何意义可求解；
（3）根据题意即求瞬时速度为0时的t的值.
【详解】（1）由位移H与时间t近似满足函数关系，
则火箭在这些时间段内的平均速度为；
火箭在这些时间段内的平均速度为：．
（2）由函数，可得，可得，
所以火箭在时的瞬时速度为80m/s．
（3）由，令，即，解得，
熄火后10s火箭上升速度为0．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据平均变化率计算；
（2）根据瞬时变化率计算．
【详解】（1）.
（2）第末的瞬时速度为
.
因此，第末的瞬时速度为.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明；
（3）结合导数分析的单调性，结合已知递推关系及函数单调性即可证明.
【详解】（1）当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.；
（2）由，得：，令，则，
原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以；
（3）由题意可知，，所以，
当时，，所以函数在区间上严格减，
当时，，所以函数在区间上严格增，
因为，所以，，
以此类推，当时，，
又，
所以函数在区间上严格减，
当时，，所以，
所以，即，故.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性在不等式证明中的应用，解题关键在于根据定义域判断导函数的正负性，从而得出函数的单调性，得到最值进行比较.
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式；
（2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.
【详解】（1）由，得，
又，所以，解得，即．
（2）由（1），得，，
所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用两点斜率公式求割线的斜率，由条件列不等式求的范围；
（2）根据导数的定义求，结合导数的几何意义求在点处的切线方程.
【详解】（1）由题意得，割线AB的斜率
，
由，得，又
所以的取值范围是.
（2）由（1）知函数在时的导数为，
又，
由导数的几何意义可得函数在点处的切线斜率为，
所以函数在点处的切线的方程为，即.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（ ）
A．， B． C．， D．
4．设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．2024 B．2023 C．4048 D．4046
5．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．午饭时间；B同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．
C．对于，存在，使得
D．整个过程小明行走的速度一直在加快
10．作直线与双曲线C:右支相切,且直线交的两渐近线于、两点,则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线与曲线，，，均相交，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则 ．
14．曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 .
15．设直线与曲线相切，则 ．
16．若，则 .
四、解答题
17．2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系
(1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度；
(2)求火箭在时的瞬时速度﹔
(3)熄火后多长时间火箭上升速度为0．
18．遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s；
(1)求飞机在时间段内的平均速度；
(2)求飞机在时的瞬时速度.
19．已知.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：；
(3)若，，数列满足，．求证：当时，．
20．已知函数（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
21．已知函数图像上两点.
(1)若割线的斜率不大于，求的范围；
(2)求及在点处的切线方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据和概念进行运算即可.
【详解】由题有：
.
故选：D.
2．C
【分析】根据平均变化率的概念计算即可得解.
【详解】，
，
，
故选：C
3．A
【分析】方法一：设，，不妨设，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去，得，构造函数，由，，可求出结果.
方法二：易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，分析函数的单调区间即可得出结果.
【详解】解法一：
当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由得，由①②可得，
设，由，，可得，可能；
由，B不正确；
由①可得，由②可得，即有，则C，D不正确．
解法二：
如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，时，属于单调增区间，故当时，的单调增区间为，根据图像，可以位于此区间，另一个点B所在区间，不好把握.
故选：A．
4．C
【分析】根据切线方程可知，再由导数的定义可得解.
【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以斜率，
所以.
故选：C
5．B
【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果.
【详解】根据导数的几何意义，分别表示在点处切线的斜率,
又，由图可知，
故选：B.
6．A
【分析】由垂直得切线斜率，再由导数的几何意义求解．
【详解】由题意题中切线的斜率为2，
由，则，
所以，，
故选：A．
7．D
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数，得，
则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：D
8．C
【分析】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
因为曲线在点和处的切线互相平行或重合，
可得为偶函数，所以，解得.
故选：C.
9．AC
【分析】可通过题意，分别表示出，，，再根据选项A，B进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断．
【详解】由题意可知；，，，
由图像可知，，即，因此，，
所以，因此，此时，故A正确；
由，可化为，故，故B不正确；
由图像可知，直线与曲线的交点为，，故存在，使得，即当时，，故C正确；
时刻的瞬时速度为判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，
由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，
故而在此时，速度最快，故D不正确.
故选：AC.
10．BCD
【分析】设点为右支第一象限部分上的一点,先求双曲线上一点的切线方程,其他象限由对称性同理可得，当切线斜率存在时，根据导数的几何意义求解出切线方程，又双曲线的渐近线方程为，两者联立求出两点的坐标,根据两点间距离公式得到的关系式，在结合的范围求解即可，再分析当切线斜率不存在时的弦长即可.
【详解】设点为右支第一象限部分上的一点,如图:
当切线斜率存在时,
由得,
所以,
则在点的切线斜率为,
所以在点的切线方程为:,
又因为,
所以在点的切线方程为,
双曲线的渐近线方程为,
设,
联立,
所以点,
同理可得:,
则
,
又因为,
所以,
即当切线斜率存在时,，所以BCD均可取到.
当切线斜率不存在时,切线方程为，双曲线的渐近线方程为,
则,
，此时BC可以取到.
综上,.
故选：BCD.
11．ABD
【分析】根据导数的定义和几何意义判断即可.
【详解】，
，
由图可知，且曲线在处比曲线更陡峭，
曲线在处比曲线更陡峭，
所以，
所以A，B，D选项正确，C错误，
故选：ABD.
12．AC
【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论.
【详解】选项A中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确；
选项B中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误；
选项C中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，
当时，切点为，切线方程为，C正确；
选项D中，易知与有三个交点，，
又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误.
故选：AC
13．
【分析】先求出函数在处的切线方程，再由圆内弦长公式求得即可.
【详解】由，定义域为，，
则切线斜率，又，
所以切线方程为：，化简为：；
又因为圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
则.
故答案为：
14．
【分析】利用导数求出在处的切线方程为，函数在点处的切线方程为，，根据两切线重合求解，求出，进而求出.
【详解】函数在处的切线斜率为则切线方程为，
函数在处的切线斜率为，则切线方程为，即，
由题意有①且②，故，，
从而，整理得，
所以，即.
代入式②，得，即.
故答案为：
15．
【分析】设出切点，由导数的意义可得，与直线斜率相等，从而解出，求出斜率即可.
【详解】设切点为，
因为，所以切线的斜率，
又因为，
从而，解得，
所以．
故答案为：.
16．
【分析】根据导函数的定义直接求解即可.
【详解】根据导数的定义：，
因为，所以.
故答案为：
17．(1)90m/s，70m/s；
(2)80m/s；
(3)10s
【分析】（1）根据平均速度代入表达式计算；
（2）由函数，可得，根据导函数几何意义可求解；
（3）根据题意即求瞬时速度为0时的t的值.
【详解】（1）由位移H与时间t近似满足函数关系，
则火箭在这些时间段内的平均速度为；
火箭在这些时间段内的平均速度为：．
（2）由函数，可得，可得，
所以火箭在时的瞬时速度为80m/s．
（3）由，令，即，解得，
熄火后10s火箭上升速度为0．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据平均变化率计算；
（2）根据瞬时变化率计算．
【详解】（1）.
（2）第末的瞬时速度为
.
因此，第末的瞬时速度为.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明；
（3）结合导数分析的单调性，结合已知递推关系及函数单调性即可证明.
【详解】（1）当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.；
（2）由，得：，令，则，
原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以；
（3）由题意可知，，所以，
当时，，所以函数在区间上严格减，
当时，，所以函数在区间上严格增，
因为，所以，，
以此类推，当时，，
又，
所以函数在区间上严格减，
当时，，所以，
所以，即，故.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性在不等式证明中的应用，解题关键在于根据定义域判断导函数的正负性，从而得出函数的单调性，得到最值进行比较.
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式；
（2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.
【详解】（1）由，得，
又，所以，解得，即．
（2）由（1），得，，
所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用两点斜率公式求割线的斜率，由条件列不等式求的范围；
（2）根据导数的定义求，结合导数的几何意义求在点处的切线方程.
【详解】（1）由题意得，割线AB的斜率
，
由，得，又
所以的取值范围是.
（2）由（1）知函数在时的导数为，
又，
由导数的几何意义可得函数在点处的切线斜率为，
所以函数在点处的切线的方程为，即.
答案第1页，共2页
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