5.3导数在研究函数中的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修2

5.3 导数在研究函数中的应用 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数有两个零点，则（ ）
A． B． C． D．或
2．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，对任意的恒成立，则k的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数a，b满足，，则b的可能值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，则容器的容积最大时，扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（ ）
A．如果，则，，使得
B．如果，则，，使得
C．如果，则，，使得
D．如果，，使得，则，，便得
10．已知函数，则（ ）
A．当时，方程无解
B．当时，存在实数使得函数有两个零点
C．若恒成立，则
D．若方程有个不等的实数解，则
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若为单调递减函数，则
B．当或时，有且仅有一个极值点
C．当时，的图象与x轴相切
D．若有且仅有一个零点，则
12．已知函数，则（ ）
A．的极小值点为
B．的极大值为
C．曲线在单调递减
D．曲线在点处的切线方程为
三、填空题
13．函数在区间上的最大值为 .
14．已知函数在内是单调增函数，则a的取值范围 .
15．已知函数在处取得极小值，且，若值域为，则其定义域可以为 ．（写出一个符合条件的即可）
16．如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为 ．
四、解答题
17．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的极值.
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数有两个零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)如果，求此时的取值范围.
20．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设的最大值为2，求a的值；
(3)若且在上恒成立，求b的取值范围.
21．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】由直线与有两个交点，利用导数求出的极值，作出图象，数形结合求出即可.
【详解】令，则，
令，则由题意可得直线与有两个交点，
因为，
令，解得或1，
所以当和时，单调递减；当时，单调递增；
所以极小值为，极大值为，
作出图象：
所以或，
故选：D.
2．D
【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断单调性即可求解．
【详解】设，则，
∵，∴，
∴，即在定义域R上单调递减．
∵，∴，
∴不等式等价于，即，解得，
故选：D．
3．B
【分析】由命题的否定为真命题，转化为成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解.
【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题，
即，
设，则，
所以为增函数，
所以由可知，
故选：B
4．B
【分析】问题可转化为在上恒成立，通过构造函数，利用导数求最小值的方法解决.
【详解】对任意的恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，令.
因为，所以函数在上单调递增，
又，，
所以在上存在唯一的一个实数根，满足且，
即，所以，
当时， ，此时；当时，，此时，
所以在时单调递减，在上单调递增，.
所以要使对任意恒成立，则，
因为，所以要，即k的最大值为3.
故选：B.
5．C
【分析】构造，比较a，c，构造，比较b，c即可.
【详解】设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值0，
则即，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最大值0，
则，即，
则，即，
所以.
故选：C
6．D
【分析】先对两边取自然对数得出；再构造函数，，将题目转化为函数的图象与直线在上有两个不同的交点；最后利用导数研究函数的单调性，并做出草图，数形结合即可解答.
【详解】因为实数a，b满足，
所以，
则，即.
令，
则，.
所以函数的图象与直线在上有两个不同的交点.
令，解得：；令，解得：，
所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减.
作出函数的图象：
又因为，，
所以.
故选：D.
7．B
【分析】根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】由，得，
因为，则，可知在上单调递减，且，
由不等式可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
8．B
【分析】利用扇形的弧长公式结合圆锥的体积公式计算，并由导函数确定最值即可.
【详解】由题意可知该扇形铁皮的弧长为，设圆锥底面圆半径为，高为，
则，
所以圆锥容器的容积为，
令，
易知在上，，上，，
即时取得最大值，则圆锥容器的容积取得最大值.
故选：B
9．ABD
【分析】A选项，得到或0，故令可得A正确；B选项，，则，取，，使得，B正确；C选项，先证明出，，故，在B选项基础上可得C错误；D选项，，故满足要求.
【详解】A选项，可以得到，
故或0，故令，则有，，使得，A正确；
B选项，，
故，
则，取，，使得，B正确；
C选项，下证，，
令，，则在上单调递减，
因为，，
故存在，使得，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，故在恒成立，
即，，
，则有，
又B选项可知，当，则，，使得，
同理当，则，，使得，
故当，则，，使得，C错误；
D选项，如果，，使得，
则，
故对于，，便得，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与导函数，数列与不等式，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
10．BC
【分析】举反例判断A，找一个特殊的值并解出零点判断B，利用分离参数法结合同构判断C，合理构造函数，利用导数得到单调性，将方程解的个数问题转化为函数交点问题，再求解参数范围判断D即可.
【详解】对于A，当时，，故，
令，可得，
易知定义域为，而，且在定义域内，
故方程并非无解，故A错误，
对于B，当时，，令，解得或，
而当时，函数显然有两个零点，故B正确，
对于C，若恒成立，则，
化简得，令，故，
此时定义域为，而，令，
而，故在上单调递增，
又，，故，
由零点存在性定理得存在，作为的零点，
则，令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，由可得，
，则，
令，而，故在上单调递增，
则，故，代入中，
可得，则成立，故C正确，
对于D，由已知得，解得或，
而，则或两个方程有个解，
令，而，令，，
令，，故在上单调递减，在上单调递增，
易知，故当时，，且，
而此时与和共有3个交点，
故有，，解得，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行分离参数，然后利用同构法和隐零点问题的模型求出函数值域，再得到所要求的参数范围即可．
11．AC
【分析】求出函数的导数，由恒成立判断A；举例说明判断B；求出函数的零点，并求出在该点处的切线方程判断C；求出函数只有一个零点的m的取值范围判断D作答．
【详解】对A：函数的定义域为，求导得.
由为单调递减函数，得，，即，
令，，求导得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则当时，，于是，解得，A正确；
对B：由选项A知，当时，为单调递减函数，无极值点，B错误；
对C：当时，，显然，，且，
因此函数的图象在点处的切线为，则当时，的图象与x轴相切，C正确；
对D：由，得，令，求导得，
当时，，函数在上单调递增，而当时，，
当时，，，因此函数仅有一个零点；
当时，若，则，单调递增，
若，则，单调递减，
则当时，，
函数只有一个零点，当且仅当，解得，
所以当或时，有且仅有一个零点，D错误．
故选：AC.
12．BD
【分析】根据条件，直接求出的极值点、极大值及单调区间，即可判断出选项ABC的正误，再利用导数的几何意义，求出切线方程，即可判断出选项D的正误.
【详解】因为，所以，
由，得到或，
当或时，，当时，，
所以极大值点为，极大值为，极小值点为，所以选项A错误，选项B正确，
又的增区间为，，减区间为，所以选项C错误，
对于选项D，因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，所以选项D正确.
故选：BD.
13．/
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出最大值.
【详解】因为，
所以，
当时，所以在上单调递减，
又，所以在上的最大值为.
故答案为：
14．
【分析】依题意，转化为在恒成立，进而求解即可.
【详解】因为函数在内是单调增函数，
所以在恒成立，
令，则在恒成立，
其中，所以，解得，
故答案为：.
15．(答案不唯一)
【分析】由题意可得，解得，则，利用导数研究函数的单调性即极值，令解得，即可求解.
【详解】由题意知，，
因为函数在处取得极小值，且，
所以，解得，
所以，
令或，
所以函数在上单调递减，在、上单调递增，
故函数在处取得极小值，在处取得极大值，且，
令，则，解得，
若满足的值域为，则定义域可以为.
故答案为：(答案不唯一)
16．
【分析】根据已知条件设、，由此可得，对函数求导，根据导数判断函数的单调性，求得最值即可.
【详解】由题意设，因为面积为，所以，
根据题意有：，
所以，
则长方体的体积为，
，令，有，
所以时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
17．(1)
(2)极小值为，无极大值
【分析】（1）对求导，求出，，再由点斜式方程即可求出答案；
（2）对求导，得出的单调性，结合极值的定义即可得出答案.
【详解】（1）由题意得.
则，又，
所以所求的切线方程为，即.
（2）由（1）可知
令，得.
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故当时，有极小值，无极大值.
18．(1)
(2)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）要使恒成立，则需成立，借助导数，分、、讨论，得其单调性即可得解.
【详解】（1）当时，，，
所以，，
曲线在处的切线方程为；
（2）要使恒成立，则需成立，
，
当时，，所以在递增，
而，不合题意；
当时，恒成立，符合题意；
当时，令得，
则在递减，在递增，
所以，解得.
综上所述，.
19．(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，利用换元法表示，通过构造函数法，利用导数证得，结合（1）求得的取值范围.
【详解】（1）令，即，
令，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且时，当时，
又与有两个交点，所以.
（2）由（1）可得，，
又，
所以，即，
令，，则，
所以，，
记，，则，
令，，则，
所以在上，即单调递减，
由于，
所以当时，，所以，
所以函数在区间上单调递减，
故，即，
而，在区间上单调递增，
故且，
即．
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路：
（1）用最值或极值研究；（2）用数形结合思想研究；（3）构造辅助函数研究．
20．(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)
(3)
【分析】（1）求导函数得，分别讨论当时，时，确定导到函数的符号，从而得函数单调性；
（2）根据函数的单调性确定最值点，即可得a的值；
（3）将不等式转化为在上恒成立，令，求导得最值即可得b的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，则在上单调递增；
当时，令得，
则时，，单调递增，
时，，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，
又，不符合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
则的最大值为，可得；
（3）若，则，
不等式为在上恒成立，即在上恒成立，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，故，
即b的取值范围为.
21．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，结合二次函数的性质求出函数的单调区间；
（2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
又，二次函数，开口向上，对称轴为，当时，
所以关于的方程异号的两个实数根，解得或，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）依题意可得当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，则.
令，，
由，知在上单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以的取值范围是.
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