第五章一元函数的导数及其应用 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修2

第五章 一元函数的导数及其应用 综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知在处取极小值，则（ ）
A．3或1 B．3 C．1 D．或
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
8．设，，，，，数列，则的前100项和是（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3 B．，
C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个
10．已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，直线与曲线相切于两点，则有（ ）
A．2个极大值点 B．3个极大值点 C．2个极小值点 D．3个极小值点
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题
13．当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
14．已知函数， ．
15．已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则的最小值为 .（其中为自然对数的底数）
16．已知函数，其中是的导函数，则 .
四、解答题
17．若函数，当时，函数有极值．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．
18．已知函数．
(1)证明：时，恒成立；
(2)证明：（且）．
19．已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.
20．已知函数，.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围.
21．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】求导并利用极值点与导函数的关系解得或，经检验可知不符合题意，可得结果.
【详解】对函数求导可得；
易知，解得或；
当时，令，可得，
即在上单调递减，在和上单调递增，此时处取得极小值，满足题意；
当时，令，可得，
即在上单调递减，在和上单调递增，此时处取得极大值，不符合题意，舍去；
故选：C
2．B
【分析】根据基本初等函数的导函数分析判断ABD；根据复合函数求导判断C.
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；
故选：B.
3．D
【分析】将题设条件转化为，从而得到，进而得到，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.
【详解】由变形得，
从而有，，
所以，
因为，所以，则，
则，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以，，
又，而，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用，由到得，是解决本题的关键.
4．A
【分析】根据在有解，结合参变分离，即可求得参数范围.
【详解】，若在区间内存在单调递增区间，
则在有解，故有解，
而在递增，，故.
故选：A.
5．D
【分析】本题为构造函数类型题，根据已知条件结构特征可知该部分是某个函数的导函数变形所得，由问题中的不等式提示可得到该函数为，再结合函数的单调性情况即可进一步求解出答案.
【详解】因为，所以，，
所以构造函数，则，
所以在上单调递增，因为，所以，
所以不等式，
因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为，
故选：D.
6．B
【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定建立的不等关系，以及的不等关系，整理化简得答案.
【详解】令，则，
因为当时，有恒成立，
所以当时，，
即在上单调递减，
所以，即，即，A 错误，B正确，
，即，即，CD错误.
故选：B.
7．C
【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.
【详解】由，求导得，当时，，
由曲线在处的切线与直线垂直，得，
所以.
故选：C
8．D
【分析】根据题意得到是以4为周期的函数，进而即可求解．
【详解】由，
则，
则，
则，
则，
所以是以4为周期的函数，
又，
所以的前100项和为：
．
故选：D．
9．AC
【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假.
【详解】对A,B，因为，.
所以，.
设，，则，因为，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，
且，，
所以，使得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，
，因为，
所以，
因为，所以.故A正确，B错误；
对D，又，.
所以，.
设，则，，所以在恒成立.
所以在上单调递增，
所以至多一个解，故D错误；
对C，又因为，，
所以只有一解，在区间内.
所以在上单调递增，且，
所以在上无零点.故C正确.
故选：AC
10．BCD
【分析】设，利用导数求出的单调性，据此即可判断A和B选项；设，求出的单调性，据此可判断C和D选项.
【详解】设，则，
所以在上单调递增，
由得故A选项错误；
由得，故B选项正确；
设，
则 ，
所以在上单调递减，
由得，故C选项正确；
由得，故D选项正确.
故选：BCD.
11．BC
【分析】根据条件，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，，结合图象，利用导数的几何意义及极值的定义即可求出结果.
【详解】因为，所以，
由图知，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，
在左侧时，，所以，
在右侧时，，由导数的几何意义知，，
所以，故为的三个极大值点，
在左侧时，，由导数的几何意义知，，即，
在右侧时，，所以，故为的2个极小值点，
故选：BC.
12．BD
【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D.
【详解】对于A，定义域为，，
时,时，是的极小值点，A错误；
对于B，令，
在上递减，，有唯一零点，B正确；
对于C，令，
令，时,时,，
在上递减，在上递增，则，
，在上递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；
对于D，由A选项知，在上递减，在上递增，
由正实数，且，，得，
当时，令，
，即在上递减，
于是有，从而有，
又 ，所以，即成立，D正确.
故选：BD
13．
【分析】将在上恒成立恒成立转化为在上恒成立，在构造函数，再利用导数法研究函数的单调性，进而转化为在上恒成立,等价于，.最后利用导数法研究函数的最值，结合对数不等式即可求解.
【详解】因为当时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，可得，
所以在上单调递增，且，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即可.
令，可得，
令则，解得，
当时，,
当时，,
所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将在上恒成立恒成立转化为所以在上恒成立，在构造函数，再利用函数的单调性，进而转化为在上恒成立,再利用导数法研究函数的最值即可.
14．/
【分析】先求出导数，接着即可求出常数.
【详解】由题，
所以，
则.
故答案为：.
15．
【分析】由导数判断函数单调性，求函数的最值解决恒成立问题，再根据函数单调性求函数的最小值.
【详解】不等式恒成立，等价于，
令，
所以在是增函数，
且趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，即.
令，则，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
所以，所以，即，故.
所以，，
因为，所以时，是增函数，时，是减函数，
即时取得最小值，此时；
当时，，此时；
当时，，此时.
综上可知的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用函数同构和分离参数法求出；二是利用导数求解三角函数的最值.
16．0
【分析】对函数求导，令求出，再令求出答案.
【详解】因为，
所以，
所以，解得，
所以，
所以，
故答案为：0.
17．(1)
(2)
【分析】（1）对求导后，由已知列方程组，求出，再由导数的意义得到切线的斜率和点代入曲线方程，得到，最后由点斜式得到直线方程；
（2）先求出的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】（1），
由题意得，
解得，
所以，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由（1）得，
令，解得或，
所以
0 0
递增 递减 递增
所以，当时，有极大值；当时，有极小值，
所以得图像大致如下：
若有3个不同的根，则直线与函数的图像有3个交点，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）把代入，对函数求导，结合导数与单调性关系可求函数的最值，进而可证；
（2）利用（1）中结论得到，合理进行赋值，即可证明．
【详解】（1）当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则是函数的极大值点，也就是最大值点，
故，即恒成立；
（2）由（1）知，，
将不等式中替换为，得，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
令，则，
所以，故不等式成立.
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1）；（2）.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将原问题转化为直线与函数的交点个数.利用导数讨论函数的性质可得，分类讨论求出当或、、时对应的零点个数即可；
（2）由极值点的概念可得，进而，利用换元法（令）得，利用导数证明即可证明.
【详解】（1）令得，
设.
要求的零点个数，即求直线与函数的交点个数.
则由得，由得，
函数在上单调递增，在上单调递减，得，
当且无限趋近于0时，；当趋向于正无穷时，且无限接近于0.
故当或即或时，函数只有一个零点；
当即时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点.
（2）函数有两个极值点.
方程有两个不相同的正根，
不妨设，则有.
要证明，
只需证明
将式两式相加整理得，
将式两式相减整理得，
则，即，
令，则有.
只需证明，
即证
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，则函数成立.
故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导后讨论导函数的分子设，再求导分析单调性可得，进而可得导函数的正负区间与原函数的单调性；
（2）方法1：由（1）知，再代入当时化简不等式即可知，再根据当时，即可得；方法2：分情况讨论，当时不等式成立，再当时，构造函数分析函数最值，得出，再讨论充分性即可.
【详解】（1）令，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递增，则，即，
所以在上单调递增.
故，即.
（2）方法1：由（1）知，所以当时，
先证明：当时，，因为，，
导函数，故为减函数，则，
即当时，.
又当时，取，满足，
所以
综上，的取值范围是.
方法2：若，则.
下设，当时，.
因为当时，，所以当时，有
设，.则.所以在上单调递减，.则当时，的取值范围是，故.
必要性已得，下面讨论充分性.
当时，，
令，则
今，，则
所以在上单调递增，则，故.因此，
综上，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求导分析函数单调性时，可设导数中需要讨论正负的部分为新函数，再求导分析单调性与特殊值，从而确定正负区间，进而确定原函数的单调性；
（2）第二问可注意使用前问的结论，遇到三角函数时，注意运用三角函数公式化简，同时注意三角函数的值域进行不等式放缩.
21．(1)极小值为，无极大值；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的极值.
（2）按讨论，利用不等式恒成立，分离参数构造函数，利用导数探讨函数的单调性即得.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
（2）依题意，，恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，，
令，求导得，即函数在上单调递增，
则，，因此，
所以实数a的取值范围是.
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