全册综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修2

全册 综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列的前n项和为.若，，则（　　）
A．3 B．6 C．12 D．14
2．已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知等差数列的前n项和为，若则的取值范围为（ ）
A．[15，20） B．[15，18）
C．[12，20） D．[12，18）
5．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，当实数 时， 对于 都有恒成立， 则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（ ）
A． B．
C． D．
8．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为的最小值
C．
D．使得成立的的最大值为33
10．已知数列的通项公式为，其前项和为，数列与数列的前项和分别为，，则（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
11．已知函数的定义域为，则（ ）．
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．恰有3个极值点 D．有且仅有2个极大值点
12．已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）．
A．是增函数 B．
C． D．
三、填空题
13．等差数列的前项和为，则 ．
14．已知等比数列的首项，且，记的前项和为，前项积为，则当不等式成立时，的最大值为 ．
15．已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
16．已知，则 .
四、解答题
17．已知数列的前项和为，且满足（），数列满足．
(1)求，的通项公式．
(2)求数列的前项和．
18．设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：
①，； ②；
③．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和 ．
19．已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
20．已知函数，是的极值点．
(1)求实数a的值；
(2)求在上的最值．
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】由，结合已知求出公比及首项，再借助通项公式求解即得.
【详解】等比数列中，由，得，即，
设数列的公比为，则，解得，由，得，
即，所以.
故选：C
2．D
【分析】求出数列的通项，再分奇偶求出半探讨其范围，并建立关于的不等式求解即得.
【详解】由，得数列是首项为3，公差为2的等差数列，则，
于是，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
当为偶数时，；当为奇数时，，因此，
由不等式恒成立，得，即，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等．
3．D
【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值.
【详解】由，，又，所以，
，又，所以，
由得（），
相减得，，，
所以，所以，
再相减得，
则，而，
所以数列是等差数列，首项和公差均为1，所以，
，
对任意，有恒成立，则恒成立，
，
即，
是奇数时，，，∴，
为偶数时，，，∴，
综上，．又是非零整数，所以．
故选：D．
【点睛】思路点睛：数列问题中已知项与和的关系时，一般利用得出数列的递推关系，从而再求解；在含有的不等式参数问题中，需要利用的奇偶进行分类讨论化简不等式得参数范围．
4．A
【分析】利用结合等差数列的性质求解即可.
【详解】
且
，
，
故.
故选：A
5．D
【分析】对函数求导，求出函数的单调递增区间，令为单调递增区间的子集即可求解.
【详解】由已知得：，
令，得，在区间上，
所以在区间上单调递增，
因为在区间上单调递增得，所以，
所以的取值范围是．
故选：D.
6．A
【分析】通过求导分析的单调性得到的最小值，由恒成立得到，得到，构造函数，由的最小值得到 的最大值.
【详解】，令得为极小值点，则，
所以，则恒成立，则，
令，，令得，
所以．
故的最大值为．
故选：A．
7．D
【分析】由结构特征可知是函数的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小.
【详解】令，则在恒成立，所以在单调递增，所以，即，
又因为函数为定义在上的偶函数，所以，即，
故选：D.
8．B
【分析】首先联立与得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.
【详解】由，消去整理得，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．
故选：B．
9．AC
【分析】利用，作差求出的通项公式，即可判断A，根据二次函数的性质判断B，首先解出时的取值范围，则，利用计算判断C，直接解不等式，即可判断D.
【详解】因为，
当时，，
当时，,
所以，
经检验也符合上式，所以，故A正确.
由于二次函数的开口向下，对称轴为，
所以当或时取得最大值，即是的最大值，故B错误.
由解得，
所以
，故C正确.
由，
所以使成立的的最大值为，故D错误.
故选：AC
10．ACD
【分析】根据即可求解A，根据裂项求和即可求解B，根据放缩法即可求解C，根据作差求解数列单调性即可求解D.
【详解】对A，由可得，所以，故A正确，
对B，，
，
所以,故B错误，
对C，由于时，，
故，所以,
对D，记，
故，根据指数幂的性质可知，
当且仅当取等号，故，只有取等号，
故,故D正确，
故选：ACD
11．CD
【分析】A选项，根据函数的定义域和奇偶性得到，A正确；B选项，求导后转化为和在的图像，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减；CD选项，利用函数图象交点分析得到答案.
【详解】A选项，函数的定义域为，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，故A错误．
B选项，，显然，
当时，令，即，得，
分别作出和在的图像，如图所示．
由图可知，若存在使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误．
C选项，由图象可得和在区间上共有3个公共点，且图像在这些公共点处都不相切，
当时，；当时，，
当时，，
故为的极大值点，为的极小值点，
故在区间上的极值点的个数为3，有2个极大值点和1个极小值点，故C，D正确．
故选：CD．
12．ABC
【分析】对于A：通过奇偶性得到，和原式联立列方程组求出和的解析式，观察可得的单调性；对于B：先确定的单调性，然后根据单调性和奇偶性确定大小；对于C：直接代入解析式计算验证；对于D：直接代入解析式计算验证.
【详解】因为①，所以，
根据和的奇偶性知，，
从而②，联立①②，
解得，，显然是增函数，选项A正确；
因为当时，，所以，故在上单调递增，又为偶函数，所以，选项B正唃；
，选项C正确；
，
而，选项D错误．
故选：ABC．
13．13
【分析】由等差数列的前项和和等差中项的性质求出公差，再由等差数列的通项求出最后结果即可.
【详解】因为为等差数列，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：13.
14．19
【分析】由等比数列的通项公式、前项和公式及等差数列前项和公式，结合不等式成立问题，分类讨论思想即可求解．
【详解】设等比数列的公比为．
由，得，解得，
所以，
则．
由，得，即．
整理得，．
令，解得．
又，所以．
当时，，不等式不成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，所以，不等式不成立．
故当不等式成立时，的最大值为19．
故答案为：19．
15．
【分析】原不等式可转化为，设，则，结合函数的单调性，进一步可得，令，求出函数在上的最大值即可得解．
【详解】由，得，
即，
设，则，
因为函数在上都单调递增，
所以函数在上单调递增，则，
所以，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
16．
【分析】借助基本初等函数的导数公式计算即可得.
【详解】，，
，解得
故答案为：
17．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，得到是等比数列，得到，再由对数的运算性质，求得；
（2）由（1）得，分类讨论，结合乘公比错位相减求和，即可求解.
【详解】（1）解：当时，，所以，
因为，当时，可得，
两式相减，得，
所以，所以，
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以．
（2）解:由（1）得，
当时，，
则，
两式相减得
，
所以，
当时，
，
综上可知，数列的前项和.
18．(1)所选条件见解析，
(2)
【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；
（2）用错位相减求和.
【详解】（1）选①：由得：
， 所以，
又因为，因此数列为等比数列，
设数列的公比为，则，由，
解得或（舍去），
所以；
选②：因为，
当时，，又，
所以，即，所以，
所以当时，，
两式相减得，
即，
所以数列是，公比为2的等比数列，
所以；
选③：因为，
当时，，
所以，即，
当时，，
两式相减，得，
即，
当时，满足上式．
所以；
（2）
设数列的前项和，
故，
两式相减得：，
化简得，．
故数列的前项和.
19．(1)
(2)．
【分析】（1）由题意进行因式分解，求得，再根据与的关系式求得通项公式；
（2）由代入求得，结合裂项相消法求和得出结果.
【详解】（1）由题意，得，又，
所以，从而．
当时，．
由于不符合上式，
故
（2）由（1）知
当时，，
所以当时，
．
又也适合上式，
所以．
20．(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）利用导数与函数极值点的关系求得，再代入检验的单调性与极值点情况，从而得解；
（2）利用（1）中结论，结合函数最值的求法即可得解.
【详解】（1）易得的定义域为，
而，
因为是的极值点，所以，即，则，
当时，，
令，解得或；令，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点，故.
（2）由（1）知，
且在和上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
所以要求在上的最大值，只要比较，的值即可，
又，，而，
所以在上的最大值为，最小值为.
21．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）当时，
则，所以，
因为，即切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，则当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上可得：当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减.
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