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平行四边形
6.3三角形中位线
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
探究新课
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
《三角形的中位线》是北师大版八年级（下）第六章《平行四边形》第三节的教学内容，教材安排一个学时完成.三角形的中位线是继三角形的中线、高线、角平分线后的第四种重要线段，三角形的中位线定理揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，特别地，它为我们解决中点相关问题提供了另一条路径，为解决线段的倍分问题提供了直接的理论支持.因此，三角形的中位线是平面几何中的重要内容，在解决几何问题时有十分广泛的应用.
同时，本节课的探究过程体现了我们研究几何问题的一般过程“探索---猜想---验证”，中位线定理的证明及应用中渗透了“联想---化归”的数学思想方法，这些对学生的数学学习及思维能力的培养都起着非常重要的作用.在学生学习本节课的过程中，应重视对数学学习的一般方法及数学思想的渗透.
教学目标
1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；
2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力；
3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；
4.在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.
新知导入
复习巩固
平行四边形的判定
边
角
对角线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
探究新知
活动一：探究三角形中位线的性质
请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．
定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
D E
探究新知
∵AD=BD ,AE=EC
∴ DE是△ABC的中位线
∵DE是△ABC的中位线
∴ AD=BD ,AE=EC
一个三角形有几条中位线？仿照上面的说法说一说。
探究新知
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？
中位线的两个端点是两边的中点，而中线的两个端点是一个顶点和对边的中点.
新知讲解
观察猜想:在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系
DE和边BC关系
数量关系：
位置关系：
DE//BC
DE＝ BC
D E
新知讲解
已知:如图,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE= BC
证明猜想
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.
D
E
B
C
A
新知讲解
如图(2)，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. ∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形).
∴ DF∥BC(平行四边形的定义)，
DF＝BC(平行四边形的对边相等).
∴DE∥BC，DE＝ BC.
探究新知
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
用几何语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，DE= BC
E
A
B
C
D
探究新知
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
（1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
定理的理解
探究新知
应用新知
己知：D、E分别为AB、AC的中点.
(1)∵ D、E分别为AB、AC的中点.
∴ DE∥BC（根据 ）
(2)若BC =10cm，则DE = ㎝.
(3)若DE =6cm，则BC = cm.
(4)若∠ADE=60°，则∠B= 度
三角形中位线定理
5
12
60
探究新知
活动二：探究四边形中点连线
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形 你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗
猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论对所有的四边形ABCD都成立.
A
B
C
H
D
E
F
G
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
探究新知
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
验证猜想
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC EF= AC
∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC HG= AC
∴EF=HG EF∥HG
∴四边形EFGH是平行四边形.
探究新知
从例题中你能得到什么结论？
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
典例分析
例1：已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.求证:四边形EGFH是平行四边形.
D
C
B
G
A
F
H
E
证明：由题意可知GF、HE
分别是△ACD和△ABD的中位线
∴GF//AD, GF= AD HE//AD, HE= AD
∴ GF//HE, GF=HE
∴四边形EGFH是平行四边形.
典例精析
例题2：如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点
（１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？
（２）若AD=a，BC=b，求EF的长。
解：（１）AD∥EF∥BC
证明如下：∵AD∥BC
∴∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF
又AF＝FC
∴△ADF≌△CFG(AAS)
∴DF=FG
A
B
C
D
E
F
G
典例分析
A
B
C
D
E
F
G
又∵DE=EB
∴EF∥ BC(三角形的中位线平行于第三边)
又∵AD∥BC
∴AD∥EF∥BC
（2）由（１）可知：EF是△DBG的中位线
∴EF= BG= (BC-GC)
（三角形的中位线 等于第三边的一半。）
而GC=AD
∴EF= (BC-AD)= (b-a)
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
1.如图：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°， 则∠B= 度，为什么？
（2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？
2.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( )
A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm
60
4
B
C
课堂练习
4、如图，在长方形ABCD中，P、R分别是BC边和DC边上的点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR=3，AD=4，则EF的长为______
2.5
课堂练习
5.在四边形ABCD中,AC=6cm，BD=8cm,分别是边AB,BC,
CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长为 .
14cm
课堂练习
6.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线AC的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB=CD，∠PEF=30°， ∠FPE的度数是 ( )
120°
课堂练习
7.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =59°则∠AMN = ,
若MN =13 ,则BC =_______.
59°
26
A
M
B
C
N
课堂练习
8.如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成三个三角形，以此类推，第2022个三角形的周长是
【知识技能类作业 选做题：】
课堂练习
9、将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是( )
A、0.5 B、1 C、2 D、3
D
课堂练习
10.在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由。
A
B
C
D
E
F
解：∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
∴ EF ∥AB,EF= AB
∴ ∠DAC= ∠EFC=90 °
∵ AD= AB， ∴ AD=EF,
∵ AF=CF,
∴ △ADF≌ △FEC (SAS)
∴ DF=EC ∵ BE=EC,
∴ DF=BE
2
1
2
1
【综合实践类作业】
课堂总结
三角形的中位线
定义：
三角形两边中点的连线，区别于三角形的中线
定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
联想：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
作业布置
1.【 中考·怀化】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为______cm.
10
【知识技能类作业 必做题】
作业布置
2.如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°,D、E、F分别是各边中点, AB=9cm，AC=12cm，则△DEF的周长=______cm。
18
E
F
B
A
D
c
作业布置
3.如图,已知△ABC中,AB = 4㎝,BC=4.6 ㎝ AC=6㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长是 ㎝.
A
B
C
D
E
F
7.3
作业布置
4.如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为( )
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
D
作业布置
5.【2016·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是( )
A．5 B．7 C．9 D．11
B
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
6.【中考·遵义】如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是( )
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
A
作业布置
7.【 中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( )
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
B
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
8.如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证：AB＝2OF.
证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE.
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴点F是BC的中点．
又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线．
∴ AB＝2OF.
作业布置
【综合实践类作业】
9.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．
如图，连接BD.
∵点E，H分别是边AB，DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线．
∴EH∥BD，EH＝ BD.
同理可得：FG∥BD，FG＝ BD.
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
同学们，你还有其他方法吗？
板书设计
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
三角形中位线定理
几何语言(如图)：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC．DE= BC．
A
B
C
D
E
谢谢
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分课时教学设计
课时《平行四边形》6.3三角形的中位线教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《三角形的中位线》是北师大版八年级（下）第六章《平行四边形》第三节的教学内容，教材安排一个学时完成.三角形的中位线是继三角形的中线、高线、角平分线后的第四种重要线段，三角形的中位线定理揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，特别地，它为我们解决中点相关问题提供了另一条路径，为解决线段的倍分问题提供了直接的理论支持.因此，三角形的中位线是平面几何中的重要内容，在解决几何问题时有十分广泛的应用. 同时，本节课的探究过程体现了我们研究几何问题的一般过程“探索---猜想---验证”，中位线定理的证明及应用中渗透了“联想---化归”的数学思想方法，这些对学生的数学学习及思维能力的培养都起着非常重要的作用.在学生学习本节课的过程中，应重视对数学学习的一般方法及数学思想的渗透.
学习者分析 本节课的教学对象是八年级的学生，学生已经初步具备了逻辑推理的能力、用数学语言规范表达自己的想法的能力，对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握，同时也积累了一些解决几何问题的经验及方法.通过前面的几何部分的学习，学生思维活跃、参与意识强，对图形性质的探究非常感兴趣，喜欢参与探究性活动，也特别乐于解决一些有挑战性的问题.所以本节课学生对三角形中位线定义能够准确把握，但在添辅助线证明三角形中位线定理时会遇到困难.
教学目标 1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力； 4.在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.
教学重点 三角形中位线定理证明及应用
教学难点 添加辅助线的证明三角形中位线定理.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习旧知，导入新课教师活动1： 平行四边形的判断方法： 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5、对角线互相平分的四边形是平行四边形学生活动1： 回顾旧知活动意图说明： 回顾旧知，导入新课环节二：探究三角形中位线的性质教师活动2： 请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画 AB、AC边中点D、E，连接DE． 定义：像DE这样，连接三角形两边 中点的线段叫做三角形的中位线． ∵AD=BD ,AE=EC ∴ DE是△ABC的中位线 ∵DE是△ABC的中位线∴ AD=BD ,AE=EC 一个三角形有几条中位线？仿照上面的说法说一说。 2、三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？ 中位线的两个端点是两边的中点，而中线的两个端点是一个顶点和对边的中点. 3、观察猜想:在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系 位置关系：DE//BC，数量关系：DE=BC 4、验证猜想 已知:如图,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE=BC 分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等. 证明：如图(2)，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE, ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. ∴CF∥AB. ∵BD＝AD，∴CF＝BD. ∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形). ∴ DF∥BC(平行四边形的定义)， DF＝BC(平行四边形的对边相等). ∴DE∥BC，DE＝BC. 小结：三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 用几何语言表示 ∵DE是△ABC的中位线∴ DE∥BC，DE= BC 定理的理解 （1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理. (2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用. 6、应用新知 己知：D、E分别为AB、AC的中点. (1)∵ D、E分别为AB、AC的中点. ∴ DE∥BC（根据三角形中位线性质） (2)若BC =10cm，则DE = 5 ㎝. (3)若DE =6cm，则BC = 12 cm. (4)若∠ADE=60°，则∠B= 60° 学生活动2： 画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。 验证猜测的正确性。 利用中位线定理解决问题活动意图说明： 设计画图，认识中位线，比较中位线和中线，使学生掌握中位线定理，经历观察、猜想、验证等过程引出中位线定理，严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.环节三：探究四边形中点连线教师活动三 1、如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形 你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗 猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论对所有的四边形ABCD都成立. 分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明. 验证猜想 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明：如图，连接AC ∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC EF=AC ∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC HG=AC ∴EF=HG EF∥HG ∴四边形EFGH是平行四边形. 3从例题中你能得到什么结论？ 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形学生活动三 1顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形. 2、猜测，验证四边形是平行四边形活动意图说明 经历连接四边形各中点的连线构成一个新的四边形，通过三角形中位线定理证明顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形。环节四：典例分析教师活动三 学生活动四 例1：已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点. 求证:四边形EGFH是平行四边形. 证明：由题意可知GF、HE 分别是△ACD和△ABD的中位线 ∴GF//AD, GF= AD HE//AD, HE= AD ∴ GF//HE, GF=HE ∴四边形EGFH是平行四边形. 例题2：如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点 （１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？ （２）若AD=a，BC=b，求EF的长。 解：（１）AD∥EF∥BC 证明如下：∵AD∥BC ∴∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF 又AF＝FC ∴△ADF≌△CFG(AAS) ∴DF=FG 又∵DE=EB ∴EF∥ BC(三角形的中位线平行于第三边) 又∵AD∥BC ∴AD∥EF∥BC （2）由（１）可知：EF是△DBG的中位线 ∴EF= BG= (BC-GC) （三角形的中位线 等于第三边的一半。） 而GC=AD ∴EF= (BC-AD)= (b-a)活动意图说明 例题一般要由浅入深，有拓展性和延伸性。在该教学环节，教师从课本例题出发，适当挖掘扩充，使得学生思维更具灵活性。
板书设计 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 几何语言(如图)： ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC．DE= BC．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°， 则∠B= 60度，为什么？ （2）若BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？ 2.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ B ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( C ) A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm 4、如图，在长方形ABCD中，P、R分别是BC边和DC边上的点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR=3，AD=4，则EF的长为 2.5 5.在四边形ABCD中,AC=6cm，BD=8cm,分别是边AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长为 14cm . 第4题图 第5题图 6.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线AC的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB=CD，∠PEF=30°， ∠FPE的度数是 120° 7.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =59°则∠AMN = 59° ,若MN =13 ,则BC = 26 . 第6题图 第7题图 选做题： 如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位 线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中 位线又组成三个三角形，以此类推，第2022 个三角形的周长是 9、将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是( D ) A、0.5 B、1 C、2 D、3 【综合拓展类作业】 10.在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由。 解：∵ 点E,F分别为BC,AC的中点 ∴ EF ∥AB,EF= AB ∴ ∠DAC= ∠EFC=90 ° ∵ AD= AB， ∴ AD=EF, ∵ AF=CF, ∴ △ADF≌ △FEC (SAS) ∴ DF=EC ∵ BE=EC, ∴ DF=BE
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.【 中考·怀化】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为 10 cm. 2.如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°,D、E、F分别是各边中点, AB=9cm，AC=12cm，则△DEF的周长= 18 cm。 第1题图 第2题图 3.如图,已知△ABC中,AB = 4㎝,BC=4.6 ㎝ AC=6㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长是 7.3 ㎝. 4.如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为( D ) A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm 第3题图 第4题图 5.【2016·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是( B ) A．5 B．7 C．9 D．11 6.【中考·遵义】如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是( A ) A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 第5题图 第6题图 第7题图 7.【 中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( B ) A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m 选做题 8.如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF. 证明∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC， ∴AB∥CE，AB＝CE. ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴点F是BC的中点． 又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线． ∴ AB＝2OF. 【综合拓展类作业】 9.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形． 如图，连接BD. ∵点E，H分别是边AB，DA的中点， ∴EH为△ABD的中位线． ∴EH∥BD，EH＝BD. 同理可得：FG∥BD，FG＝ BD. ∴EH∥FG，EH＝FG. ∴四边形EFGH是平行四边形． 同学们，你还有其他方法吗？
教学反思
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第六章
课标要求 1 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及他们之间的关系。2 探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等； 菱形的四条边相等，对角线互相垂直。3 探索并证明矩形、菱形、正方形的的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形； 四边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
内容分析 平行四边形主题单元结构包括“矩形”、“菱形”、“正方形”三部分，学生在八 年级上册平行四边形一章中， 已经学行四边形性质和判定的证明， 学生已掌握平行四 边形的性质、判定及其应用， 并且通过对命题证明的步骤回顾及对平行四边形性质和判定的 证明，学生已掌握了了证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能； 从而初步具备了 证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力； 同时， 在前面的相关学习活动中， 学生已经初 步了解了概括、转化及归纳等数学思想方法， 大量的活动经验丰富了学生的数学思想， 锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。
学情分析 学生学习特殊的平行四边形时，已经掌握了平行线及全等三角形证明的技能，为本章节探究平行四边形作好铺垫。学生在学习平行四边形的主要困难是在证明过程中添加辅助线，构造三角形。然而，由于特殊的平行四边形涉及较多的性质和判定方法，学生在理解和应用上往往存在一定的困难。此外，学生的空间想象力和逻辑推理能力正处于发展阶段，需要通过大量的练习和实践来加强。因此，在设计大单元作业时，应充分考虑学生的实际情况，注重基础知识的巩固和能力的提升学习条件分析：
单元目标 教学目标过程与目标通过探索、归纳几类特殊四边形的特征和识别，了解它们之间的包含关系；让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的方法和技巧，获取推理的经验；通过探索， 进行观察、猜想、分析、归纳、 推理， 培养学生发散思维能力；同时提高学生分析问题，解决问题的能力。2 、知识与技能：理解平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形都具有这样的特征； 矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形， 不仅具有平行四边形的特征，还分别具有各自的特征，而且它们都是轴对称图形.掌握特殊平行四边形的性质和判定，并能运用有关知识进行推理证明和计算边、角、对角线及面积；通过知识的综合应用的说理，初步培养学生的逻辑思维能力.3 、情感态度与价值观： 通过基础题和探究题体验数学活动的逻辑性和趣味性，同时增强解题的自信心。（二）教学重点、难点重点： 矩形、菱形、正方形的概念、性质定理和判定定理， 会用性质定理与判定定理解决简单的几何证明和计算问题。难点：平行四边形特殊化后矩形、菱形、 正方形相关性质的归纳， 理解它们之间的联系与区别，运用定理解决几何证明及计算。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1平行四边形性质（1）12平行四边形性质（2）13平行四边形的判断（1）14平行四边形的判断（2）15三角形的中位线16多边形内角和17多边形外角和18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务平行四边形性质（1）1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。1、学生回顾知识，导入新课。2、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形。3、用数学语言描述平行四边形的判定定理和性质定理。4、证明平行四边形的判断定理和性质定理。5、小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性环节一：复习导入环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形性质（2）1．探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。2．掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。3．通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。1、回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。2、找平行四边形中相等的线段。3、通过计算、推理验证对角线互相平分。4、应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。环节一：复习旧知环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形的判断（1）1．会利用平行四边形的定义去证明平行四边形的2 种判定方法。2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。3. 经历平行四边行判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识。进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。4.通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。1、回顾知识，自然过渡到新知探究。2、用学具按要求摆出平行四边形。3、发现平行四边形的性质并推理证明。4、试着用数学语言表示平行四边形性质1、2。5、独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化环节一：知识回顾环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形的判断（2）1.会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.2.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.3.掌握平行线之间的距离相等4.经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.5.通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.1、学生回顾平行四边形的判断定理，并正确的用几何语言来描述。2、按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。3、验证猜测的正确性。4、用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。5、观察比较猜测平行线之间的距离相等。6验证猜测的正确性。7、用平行线之间的距离相等平分这一定理来解决实际问题。环节一：知识回顾环节二：探究平行四边形的对角线互相平分。环节三：探究平行线之间的距离相等。三角形的中位线1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；4.在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.1、回顾旧知。2画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。3、验证猜测的正确性。4、利用中位线定理解决问题。5、顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.6、猜测，验证四边形是平行四边形.7、学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。环节一：知识回顾环节二：探究三角形的中位线。环节三：探究四边形中点连线。环节四：典例精析。多边形内角和1、掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想2、经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．3、让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．1、回顾多边形的顶点、边，内角、对角线。2、思考怎样证明四边形的内角和是360°。3、教师引导学生用多种方法探究五边形内角和。4、小组交流完成表格。5、归纳多边形内角和度数=（边数-2）乘以180度。6、自学例题1，小组合作完成例题2环节一：多边形的概念环节二：探究多边形内角和。环节三：典例分析多边形外角和1.了解多边形外角的定义2.理解和掌握多边形的外角和定理3. 经历数学实验，使学生在操作，实验的过程中发现、归纳、总结多边形外角和的不变性规律，这样更有利于认识多边形的本质特征4.通过实验、猜想、推理等活动，感受科学研究问题的思路和方法1、小组合作完成第1题。2、回顾内角和公式。3、认识外角。4、用已有知识求三角形、四边形、五边形外角和度数。5、猜想多边形外角和度数并验证猜想。6、利用所学知识解决实际问题。环节一：复习导入。环节二：探究多边形的外角和。环节三：典例分析。回顾与思考1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。4.会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。1、回顾章节主要内容。2、对平行四边形的性质、判断，三角形的中位线，多边形的内角和外角和进行知识梳理后进行针对练习。3、小组交流合作解决两个例题的自学。环节一：构建知识架构。环节二：知识梳理。环节三：综合运用。
《平行四边形》单元教学设计
活动一：复习导入
活动二：探究平行四边形性质
任务一：平行四边形性质（1）
活动三：典例分析
活动一：复习旧知
平行四边形
活动二：探究平行四边形性质
任务二：平行四边形性质（2）
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究平行四边形的判断定理1、2
任务三：平行四边形的判断（1）
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究平行四边形的对角线互相平分
任务四：平行四边形的判断（2）
活动三：探究平行线间的距离相等
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形的中位线
活动三：探究四边形中点连线线
任务五：三角形的中位线
平行四边形
活动四：典例分析
活动一：知识回顾
任务六：多边形内角和
活动二：探究多边形内角和
活动三：典例分析
活动一：复习导入
任务七：多边形外角和
活动二：探究多边形外角和
活动三：典例分析
活动一：知识架构
任务八：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：综合运用
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