(共25张PPT)
平行四边形
6.4多边形的外角和
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
探究新课
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强。在编写意图上，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．
教学目标
1.了解多边形外角的定义.
2.理解和掌握多边形的外角和定理.
3. 经历数学实验，使学生在操作，实验的过程中发现、归纳、总结多边形外角和的不变性规律，这样更有利于认识多边形的本质特征.
4.通过实验、猜想、推理等活动，感受科学研究问题的思路和方法。
复习导入
剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.
五边形
540
四边形
360
三角形
180
多边形内角和=（n-2)×180 °
新课导入
1. 什么是三角形的外角？
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
A
B
C
D
探究新知
三角形外角和
∠1+∠2+∠3
=180°×3-180°=360°
四边形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4
=180°×4-180°×2=360°
新知讲解
五边形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=180°×5-180°×3=360°
六形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=180°×6-180°×4=360°
新知讲解
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 ……
图形 ……
外角和 360° 360° 360° 360° ……
猜想多边形的外角和360°
新知讲解
猜想证明：
n边形外角和=n个平角-n边形内角和
=180°×n-(n-2)×180°
=360°
∴n边形的外角和等于360°，它与边数无关。
典例分析
例1：
清晨，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
典例精析
例2.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，
则它的内角和为:(n-2)×180 ，外角和为360°
则根据题意，
得(n-2)×180 =3×360°
解得n=8
所以这个多边形是八边形.
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
1.一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 ( )
A.增加180° B.增加360° C.减少360° D.不变
3．正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
4．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
C
A
C
C
课堂练习
5．如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
6．如图，四边形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°∠3=110°，则∠D的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
B
B
课堂练习
【知识技能类作业 选做题：】
7.一个多边形除了一个内角等于a，其余角的和等于2 750°，求a的值及这个多边形的边数.
解：设多边形的边数为n，由题意，得
(n-2)×180°=2 750°+a,
∴n-2==15+.
∵n为正整数，且0°
∴ n-2=15+1，解得n=18.
课堂练习
【综合实践类作业】
8.如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形
解：设这个多边形的边数为n，
依题意得 (n-2)×180°=360°×6，
解得n=14.
答：这个多边形是十四边形.
课堂练习
9.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数
解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
又∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
1
2
3
课堂总结
1、多边形的内角和公式,
即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.
2、n边形的外角和等于360°，它与边数无关。
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
1. 一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ）
A.正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形
2. 一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一外角等于( )
A. 144° B. 72 ° C. 36° D . 18°
3. 一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和等于( )
A. 720° B. 675° C. 1080° D. 945°
4.一个多边形的每一个外角都等于18°，它是 边形．
C
C
C
20
作业布置
5.如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，
则∠1＋∠2等于
6.已知一个多边形的内角和与外角和之比是13∶2，求这个多边形的边数．
B
C
A
1
2
解：设这个多边形的边数为n.
由题意，得(n－2)·180°＝×360°，
解得n＝15.
故这个多边形的边数为15.
250°
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
7.如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时:
(1)求整个行走路线是什么图形
(2)一共走了多少米？
解：(1)设行走路线是正n边形，
根据题意，得n= =9.
所以行走路线是正九边形.
(2) 8×9=72(米)
答：一共走了72米
作业布置
【综合实践类作业】
8.一个多边形的内角和与它的某一个外角的和为570°，求这个多边形的边数．
解：设边数为n，这个外角为x°，
则0(n－2)·180°＋x°＝570°，解得n＝.
∵ n为正整数，∴ 930°－x°必为180°的倍数．
又∵ 0板书设计
多边形的外角及外角和
多边形外角的定义
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
课时《平行四边形》6.4四边形外角和教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强。在编写意图上，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．
学习者分析 在上一节的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，对如何探究内角和的问题有了一定的认识，加之八年级学生的好奇心、求知欲强，互相评价、互相提问的积极性高．因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，学生也具备了参加探索活动的热情，所以考虑把这节课设计成一节探索活动课．
教学目标 1.了解多边形外角的定义 2.理解和掌握多边形的外角和定理 3. 经历数学实验，使学生在操作，实验的过程中发现、归纳、总结多边形外角和的不变性规律，这样更有利于认识多边形的本质特征 4.通过实验、猜想、推理等活动，感受科学研究问题的思路和方法
教学重点 理解和掌握多边形的外角和定理
教学难点 多边形外角和定理的推导与理解
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入教师活动1： 1、剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流. 五边形540 四边形360 三角形180 2、四边形内角和公式？学生活动1： 小组合作完成第1题。 回顾内角和公式活动意图说明： 复习导入，激发学生的好奇心环节二：新课导入教师活动2： 1. 什么是三角形的外角？ 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2、探究外角和 猜想：多边形的外角和360° 验证猜想 n边形外角和=n个平角-n边形内角和 =180°×n-(n-2)×180° =360° ∴n边形的外角和等于360°，它与边数无关。学生活动2： 1、认识外角 2、用已有知识求三角形、四边形、五边形外角和度数。 3、猜想多边形外角和度数并验证猜想。活动意图说明： 从特殊到一般，类比三角形、四边形、五边形边、六边形外角和度数与边数无关，都是360°并证明猜想的正确性。环节三：典例分析教师活动三 例题1：清晨，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步. 小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角． 他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？ 例2.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形， 则它的内角和为:(n-2)×180 ，外角和为360° 则根据题意， 得(n-2)×180 =3×360° 解得n=8 所以这个多边形是八边形学生活动三 利用所学知识解决实际问题。活动意图说明 利用所学知识解决日常生活中的实际问题，巩固所学知识。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( C ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 ( A ) A.增加180° B.增加360° C.减少360° D.不变 3．正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ C ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 4．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ C ） A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形 5．如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于（ B ） A．36° B．54° C．60° D．72° 6．如图，四边形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，则∠D的度数为（ B ） A．125° B．130° C．135° D．140° 选做题： 7.一个多边形除了一个内角等于a，其余角的和等于2 750°，求a的值及这个多边形的边数. 解：设多边形的边数为n，由题意，得 (n-2)×180°=2 750°+a, ∴n-2= ∵n为正整数，且0°作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ C ） A.正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 2. 一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一外角等于( C ) A. 144° B. 72 ° C. 36° D . 18° 3. 一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和等于( C ) A. 720° B. 675° C. 1080° D. 945° 4.一个多边形的每一个外角都等于18°，它是 20 边形． 5.如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C， 则∠1＋∠2等于 250° 6.已知一个多边形的内角和与外角和之比是13∶2，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得(n－2)·180°＝13/2×360°， 解得n＝15. 故这个多边形的边数为15. 选做题 7.如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时: (1)求整个行走路线是什么图形 (2)一共走了多少米？ 解：(1)设行走路线是正n边形， 根据题意，得n= 360/40 =9. 所以行走路线是正九边形. (2) 8×9=72(米) 答：一共走了72米 【综合拓展类作业】 8.一个多边形的内角和与它的某一个外角的和为570°，求这个多边形的边数． 解：设边数为n，这个外角为x°， 则0教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第六章
课标要求 1 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及他们之间的关系。2 探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等； 菱形的四条边相等，对角线互相垂直。3 探索并证明矩形、菱形、正方形的的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形； 四边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
内容分析 平行四边形主题单元结构包括“矩形”、“菱形”、“正方形”三部分，学生在八 年级上册平行四边形一章中， 已经学行四边形性质和判定的证明， 学生已掌握平行四 边形的性质、判定及其应用， 并且通过对命题证明的步骤回顾及对平行四边形性质和判定的 证明，学生已掌握了了证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能； 从而初步具备了 证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力； 同时， 在前面的相关学习活动中， 学生已经初 步了解了概括、转化及归纳等数学思想方法， 大量的活动经验丰富了学生的数学思想， 锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。
学情分析 学生学习特殊的平行四边形时，已经掌握了平行线及全等三角形证明的技能，为本章节探究平行四边形作好铺垫。学生在学习平行四边形的主要困难是在证明过程中添加辅助线，构造三角形。然而，由于特殊的平行四边形涉及较多的性质和判定方法，学生在理解和应用上往往存在一定的困难。此外，学生的空间想象力和逻辑推理能力正处于发展阶段，需要通过大量的练习和实践来加强。因此，在设计大单元作业时，应充分考虑学生的实际情况，注重基础知识的巩固和能力的提升学习条件分析：
单元目标 教学目标过程与目标通过探索、归纳几类特殊四边形的特征和识别，了解它们之间的包含关系；让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的方法和技巧，获取推理的经验；通过探索， 进行观察、猜想、分析、归纳、 推理， 培养学生发散思维能力；同时提高学生分析问题，解决问题的能力。2 、知识与技能：理解平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形都具有这样的特征； 矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形， 不仅具有平行四边形的特征，还分别具有各自的特征，而且它们都是轴对称图形.掌握特殊平行四边形的性质和判定，并能运用有关知识进行推理证明和计算边、角、对角线及面积；通过知识的综合应用的说理，初步培养学生的逻辑思维能力.3 、情感态度与价值观： 通过基础题和探究题体验数学活动的逻辑性和趣味性，同时增强解题的自信心。（二）教学重点、难点重点： 矩形、菱形、正方形的概念、性质定理和判定定理， 会用性质定理与判定定理解决简单的几何证明和计算问题。难点：平行四边形特殊化后矩形、菱形、 正方形相关性质的归纳， 理解它们之间的联系与区别，运用定理解决几何证明及计算。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1平行四边形性质（1）12平行四边形性质（2）13平行四边形的判断（1）14平行四边形的判断（2）15三角形的中位线16多边形内角和17多边形外角和18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务平行四边形性质（1）1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。1、学生回顾知识，导入新课。2、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形。3、用数学语言描述平行四边形的判定定理和性质定理。4、证明平行四边形的判断定理和性质定理。5、小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性环节一：复习导入环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形性质（2）1．探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。2．掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。3．通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。1、回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。2、找平行四边形中相等的线段。3、通过计算、推理验证对角线互相平分。4、应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。环节一：复习旧知环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形的判断（1）1．会利用平行四边形的定义去证明平行四边形的2 种判定方法。2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。3. 经历平行四边行判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识。进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。4.通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。1、回顾知识，自然过渡到新知探究。2、用学具按要求摆出平行四边形。3、发现平行四边形的性质并推理证明。4、试着用数学语言表示平行四边形性质1、2。5、独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化环节一：知识回顾环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形的判断（2）1.会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.2.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.3.掌握平行线之间的距离相等4.经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.5.通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.1、学生回顾平行四边形的判断定理，并正确的用几何语言来描述。2、按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。3、验证猜测的正确性。4、用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。5、观察比较猜测平行线之间的距离相等。6验证猜测的正确性。7、用平行线之间的距离相等平分这一定理来解决实际问题。环节一：知识回顾环节二：探究平行四边形的对角线互相平分。环节三：探究平行线之间的距离相等。三角形的中位线1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；4.在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.1、回顾旧知。2画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。3、验证猜测的正确性。4、利用中位线定理解决问题。5、顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.6、猜测，验证四边形是平行四边形.7、学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。环节一：知识回顾环节二：探究三角形的中位线。环节三：探究四边形中点连线。环节四：典例精析。多边形内角和1、掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想2、经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．3、让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．1、回顾多边形的顶点、边，内角、对角线。2、思考怎样证明四边形的内角和是360°。3、教师引导学生用多种方法探究五边形内角和。4、小组交流完成表格。5、归纳多边形内角和度数=（边数-2）乘以180度。6、自学例题1，小组合作完成例题2环节一：多边形的概念环节二：探究多边形内角和。环节三：典例分析多边形外角和1.了解多边形外角的定义2.理解和掌握多边形的外角和定理3. 经历数学实验，使学生在操作，实验的过程中发现、归纳、总结多边形外角和的不变性规律，这样更有利于认识多边形的本质特征4.通过实验、猜想、推理等活动，感受科学研究问题的思路和方法1、小组合作完成第1题。2、回顾内角和公式。3、认识外角。4、用已有知识求三角形、四边形、五边形外角和度数。5、猜想多边形外角和度数并验证猜想。6、利用所学知识解决实际问题。环节一：复习导入。环节二：探究多边形的外角和。环节三：典例分析。回顾与思考1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。4.会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。1、回顾章节主要内容。2、对平行四边形的性质、判断，三角形的中位线，多边形的内角和外角和进行知识梳理后进行针对练习。3、小组交流合作解决两个例题的自学。环节一：构建知识架构。环节二：知识梳理。环节三：综合运用。
《平行四边形》单元教学设计
活动一：复习导入
活动二：探究平行四边形性质
任务一：平行四边形性质（1）
活动三：典例分析
活动一：复习旧知
平行四边形
活动二：探究平行四边形性质
任务二：平行四边形性质（2）
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究平行四边形的判断定理1、2
任务三：平行四边形的判断（1）
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究平行四边形的对角线互相平分
任务四：平行四边形的判断（2）
活动三：探究平行线间的距离相等
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形的中位线
活动三：探究四边形中点连线线
任务五：三角形的中位线
平行四边形
活动四：典例分析
活动一：知识回顾
任务六：多边形内角和
活动二：探究多边形内角和
活动三：典例分析
活动一：复习导入
任务七：多边形外角和
活动二：探究多边形外角和
活动三：典例分析
活动一：知识架构
任务八：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：综合运用
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)