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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第六章
课标要求 1 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及他们之间的关系。2 探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等； 菱形的四条边相等，对角线互相垂直。3 探索并证明矩形、菱形、正方形的的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形； 四边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
内容分析 平行四边形主题单元结构包括“矩形”、“菱形”、“正方形”三部分，学生在八 年级上册平行四边形一章中， 已经学行四边形性质和判定的证明， 学生已掌握平行四 边形的性质、判定及其应用， 并且通过对命题证明的步骤回顾及对平行四边形性质和判定的 证明，学生已掌握了了证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能； 从而初步具备了 证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力； 同时， 在前面的相关学习活动中， 学生已经初 步了解了概括、转化及归纳等数学思想方法， 大量的活动经验丰富了学生的数学思想， 锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。
学情分析 学生学习特殊的平行四边形时，已经掌握了平行线及全等三角形证明的技能，为本章节探究平行四边形作好铺垫。学生在学习平行四边形的主要困难是在证明过程中添加辅助线，构造三角形。然而，由于特殊的平行四边形涉及较多的性质和判定方法，学生在理解和应用上往往存在一定的困难。此外，学生的空间想象力和逻辑推理能力正处于发展阶段，需要通过大量的练习和实践来加强。因此，在设计大单元作业时，应充分考虑学生的实际情况，注重基础知识的巩固和能力的提升学习条件分析：
单元目标 教学目标过程与目标通过探索、归纳几类特殊四边形的特征和识别，了解它们之间的包含关系；让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的方法和技巧，获取推理的经验；通过探索， 进行观察、猜想、分析、归纳、 推理， 培养学生发散思维能力；同时提高学生分析问题，解决问题的能力。2 、知识与技能：理解平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形都具有这样的特征； 矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形， 不仅具有平行四边形的特征，还分别具有各自的特征，而且它们都是轴对称图形.掌握特殊平行四边形的性质和判定，并能运用有关知识进行推理证明和计算边、角、对角线及面积；通过知识的综合应用的说理，初步培养学生的逻辑思维能力.3 、情感态度与价值观： 通过基础题和探究题体验数学活动的逻辑性和趣味性，同时增强解题的自信心。（二）教学重点、难点重点： 矩形、菱形、正方形的概念、性质定理和判定定理， 会用性质定理与判定定理解决简单的几何证明和计算问题。难点：平行四边形特殊化后矩形、菱形、 正方形相关性质的归纳， 理解它们之间的联系与区别，运用定理解决几何证明及计算。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1平行四边形性质（1）12平行四边形性质（2）13平行四边形的判断（1）14平行四边形的判断（2）15三角形的中位线16多边形内角和17多边形外角和18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务平行四边形性质（1）1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。1、学生回顾知识，导入新课。2、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形。3、用数学语言描述平行四边形的判定定理和性质定理。4、证明平行四边形的判断定理和性质定理。5、小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性环节一：复习导入环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形性质（2）1．探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。2．掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。3．通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。1、回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。2、找平行四边形中相等的线段。3、通过计算、推理验证对角线互相平分。4、应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。环节一：复习旧知环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形的判断（1）1．会利用平行四边形的定义去证明平行四边形的2 种判定方法。2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。3. 经历平行四边行判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识。进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。4.通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。1、回顾知识，自然过渡到新知探究。2、用学具按要求摆出平行四边形。3、发现平行四边形的性质并推理证明。4、试着用数学语言表示平行四边形性质1、2。5、独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化环节一：知识回顾环节二：探究新知环节一：典例分析平行四边形的判断（2）1.会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.2.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.3.掌握平行线之间的距离相等4.经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.5.通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.1、学生回顾平行四边形的判断定理，并正确的用几何语言来描述。2、按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。3、验证猜测的正确性。4、用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。5、观察比较猜测平行线之间的距离相等。6验证猜测的正确性。7、用平行线之间的距离相等平分这一定理来解决实际问题。环节一：知识回顾环节二：探究平行四边形的对角线互相平分。环节三：探究平行线之间的距离相等。三角形的中位线1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；4.在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.1、回顾旧知。2画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。3、验证猜测的正确性。4、利用中位线定理解决问题。5、顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.6、猜测，验证四边形是平行四边形.7、学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。环节一：知识回顾环节二：探究三角形的中位线。环节三：探究四边形中点连线。环节四：典例精析。多边形内角和1、掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想2、经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．3、让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．1、回顾多边形的顶点、边，内角、对角线。2、思考怎样证明四边形的内角和是360°。3、教师引导学生用多种方法探究五边形内角和。4、小组交流完成表格。5、归纳多边形内角和度数=（边数-2）乘以180度。6、自学例题1，小组合作完成例题2环节一：多边形的概念环节二：探究多边形内角和。环节三：典例分析多边形外角和1.了解多边形外角的定义2.理解和掌握多边形的外角和定理3. 经历数学实验，使学生在操作，实验的过程中发现、归纳、总结多边形外角和的不变性规律，这样更有利于认识多边形的本质特征4.通过实验、猜想、推理等活动，感受科学研究问题的思路和方法1、小组合作完成第1题。2、回顾内角和公式。3、认识外角。4、用已有知识求三角形、四边形、五边形外角和度数。5、猜想多边形外角和度数并验证猜想。6、利用所学知识解决实际问题。环节一：复习导入。环节二：探究多边形的外角和。环节三：典例分析。回顾与思考1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。4.会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。1、回顾章节主要内容。2、对平行四边形的性质、判断，三角形的中位线，多边形的内角和外角和进行知识梳理后进行针对练习。3、小组交流合作解决两个例题的自学。环节一：构建知识架构。环节二：知识梳理。环节三：综合运用。
《平行四边形》单元教学设计
活动一：复习导入
活动二：探究平行四边形性质
任务一：平行四边形性质（1）
活动三：典例分析
活动一：复习旧知
平行四边形
活动二：探究平行四边形性质
任务二：平行四边形性质（2）
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究平行四边形的判断定理1、2
任务三：平行四边形的判断（1）
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究平行四边形的对角线互相平分
任务四：平行四边形的判断（2）
活动三：探究平行线间的距离相等
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形的中位线
活动三：探究四边形中点连线线
任务五：三角形的中位线
平行四边形
活动四：典例分析
活动一：知识回顾
任务六：多边形内角和
活动二：探究多边形内角和
活动三：典例分析
活动一：复习导入
任务七：多边形外角和
活动二：探究多边形外角和
活动三：典例分析
活动一：知识架构
任务八：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：综合运用
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分课时教学设计
课时《平行四边形》回顾与思考教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章的定理较多，在系统掌握平行四边形的性质及判定等的基础上，学生还学习了三角形的中位线定理、多边形的内角和、外角和公式，为了让学生进一步掌握这些定理，并能熟练应用，为此，本节课的教学目标是：（1）能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。（2）掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。（3）掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。（4）会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。（5）学会对证明方法的总结。（6）通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。
学习者分析 学生的知识技能基础：学生在前面的学习中已经掌握了全等三角形的性质和判定，在本章前几节课中，又对平行四边形的判定、性质做了进一步学习，通过一定题量的练习，学生已经对有关内容得以掌握。在本章后面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，学生在初一时已经掌握了三角形内角和定理，本章学生也掌握了多边形的内角和、外角和公式，对如何探究内角和、外角和的问题有了一定的认识。 学生的能力基础：在相关知识的学习过程中，学生对推理证明的基本要求、基本步骤和基本方法已经掌握，已经能利用平行四边形的判定和性质解决特殊四边形的有关命题，并且也能利用有关知识对探究型题目加以分析和证明。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。
教学目标 1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。 2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。 3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。 4.会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
教学重点 会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
教学难点 学会对证明方法的总结，通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识框架教师活动1： 学生活动1： 回顾章节主要内容。活动意图说明： 引导学生回顾章节主要内容，对章节内容有大致了解。环节二：知识梳理教师活动2： 平行四边形的性质 1、平行四边形是中心对称图形. 2、对边平行； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC ，AB∥DC. 3、对边相等， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC ，AB=DC. 4、对角相等，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D. 5、对角线互相平分，∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 边学边练 1 .如图，在平行四边形ABCD中，下列结论 中错误的是（ D ） A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC=BC 2.如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对角相等，对边相等） ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD， 在△ABE和△CDF中 ∠B＝∠D AB＝CD ∠EAB＝∠FCD ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF． ∵AD=BC ∴AF=EC． 3.如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（ A ） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 4.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（ B ） A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm 第3题图 第4题图 平行四边形的判定： 两组对边分别平行（定义） ∵ AD∥BC ，AB∥DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形. 2、两组对边相等 ∵ AD=BC ，AB=DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等 ∵ AB=DC，AB∥DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形. 4、对角线互相平分 ∵ OA=OC，OB=OD,∴ 四边形ABCD是平行四边形. 边学边练 1、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ D ） A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO 2.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF， （1）求证：AB=EF． 证明：∵AC∥DE， ∴∠ACD=∠EDF， ∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC， 即BC=DF， 又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS）， ∴AB=EF； 连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由． 解：猜想：四边形ABEF为平行四边形， 理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD， ∴∠B=∠F，∴AB∥EF， 又∵AB=EF， 四边形ABEF为平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 三、三角形的中位线 1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC, 边学边练 1、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 13 cm.
2、已知:三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 32 cm. 3、如图，△ABC的周长为a D、E、F分别为△ABC各边中点,△DEF的周长为【】 G、H、I分别为△DEF各边中点,△GHI的周长为【】 像这样下去,第3个三角形的周长为【 】 第n个三角形的周长为【】 4.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？ 解：S△DEF= S△ABC. 理由如下：由题意得DE,DF,EF是△ABC的中位线， ∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB, ∴四边ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形， ∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF, ∴S△DEF= S△ABC. 若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为 24 cm; 解析:设三角形的三条中位线之长分别为6x,5x,4x， 则三角形的三条边长之长分别为12x,10x,8x， 依题意有 12x＋10x＋8x＝60， 解得 x＝2. 所以，最长边12x＝24（cm）. 四、多边形的内角和与外角和 多边形内角和=（n-2)×180° 多边形的外角和等于 360 ° 正多边形每个内角的度数是 正多边形每个外角的度数是 边学边练 1、已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数. 解： 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x, 则x+4x=180°,解得 x=36°. ∴边数n=360°÷36°=10.1、对平行四边形的性质、判断，三角形的中位线，多边形的内角和外角和进行整理复习，梳理知识后进行针对练习。活动意图说明： 对平行四边形的性质、判断，三角形的中位线，多边形的内角和外角和进行整理复习，梳理知识后进行针对练习，讲练结合把学习主动权交给学生。环节三：综合运用教师活动三 1 、 如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC，（平行四边形的对边平行且相等） ∴AF∥EC， ∵BE=DF， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形 2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是BO、OD的中点，且四边形AECF是平行四边形，试判断四边形ABCD是不是平行四边形，并说明理由． 证明：∵平行四边形AECF， ∴OA=OC，OE=OF， （平行四边形的对角线互相平分） ∵E、F分别是BO、OD的中点， ∴2OE=2OF，即OB=OC， ∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)学生活动三 小组交流合作解决两个例题的自学。活动意图说明 通过典例分解，提高学生运用知识解决问题的能力。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.五边形的内角和为 540°，外角和 360°. 2.一个正多边形的一个内角为108°，你知道它是正 五 边形. 一个五边形的边数增加一条，它的内角和为 720 度. 3.一个五边形切去一个内角后，形成多边形的内角和为 720°，540° 360° 4.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点， E,F分别是AB,CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°， 则∠PFE的度数 18° 5.过五边形一个顶点有 二 条对角线，将这个五 边形分成 三 个三角形.五边形共有 五 条对角线. 6．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ D ） A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm 选做题： 7.如图，AB,CD相交于点O,AC ∥DB,AO=BO, E,F分别为OC,OD的中点，连接AE,AF,BE,BF. 求证：四边形AEBF是平行四边形. 证明：∵AC ∥DB ∴∠C=∠D 在△AOC和△BOD中 ∠C=∠D ；∠AOC=∠BOD；AO=BO ∴△AOC≌△BOD（AAS） ∴OC=OD ∵ E,F分别为OC,OD的中点∴OE=OF ∵AO=BO ∴四边形AEBF是平行四边形 【综合拓展类作业】 在四边形ABCD中,若分别给出六个条件:①AB∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD 现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ①④;①⑤;②④,②⑤;③⑥ (只填序号) 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形． 证明：， ， 在和中，， ≌； 解：如图所示： 由知≌， ， ， ， 四边形ABDF是平行四边形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是 18°． 2、如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ①②④（把所有正确结论的序号都填在横线上） （1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF 第1题 第2题 3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( A ) A．1 B．2 C． D．1＋ 4．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE， 其中正确的结论是( A ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 第3题 第4题 5.如图所示，小明为了测量学校里一池塘AB的宽度，选取可以直接到达A，B两点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20 m，则池塘AB的宽度为 40 m. MN与AB的位置关系 平行 . 选做题 6.已知： ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点.连接AN,DN,BM,CM.且AN与BM交于点P,CM与DN交于点Q. （1）图中有 四 个平行四边形. （2)求证：PM=NQ 解：（1） ABCD, ANCM MBND, PNQM 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD ∥BC AD=BC ∵ M,N是AD,BC的中点 ∴AM=MD BN=NC ∴AM=NC MD=BN ∵ AD ∥BC AM=NC ∴四边形ANCM是平行四边形 ∴AN ∥MC ∵ AD ∥BC MD=BN∴四边形MDNB是平行四边形 ∴BM ∥ND∴四边形PNQM是平行四边形 ∴PM=NQ 【综合拓展类作业】 7.如图，点O是△ABC内一点，连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接，得到四边形DEFG.求证：四边形DEFG是平行四边形. 证明：∵D, G是AB,AC的中点∴DG是△ABC的中位线 ∴DG ∥BC， DG=BC ∵E, F是OB,OC的中点 ∴EF是△OBC的中位线 ∴EF ∥BC， EF=BC ∴ DG ∥ EF, DG = EF ∴四边形DEFG是平行四边形 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是？ 解：作点F关于BC的对称点G，连接EG，交BC于D点，D点即为所求， ∵E是AB边的中点，F是AC边的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∵BC=2， ∴EF=BC=×2=1； ∵EF为△ABC的中位线， ∴EF∥BC， ∴∠EFG=∠C=90°， 又∵∠ABC=60°，BC=2， FG=AC=2 EG= ∴DE+FE+DF=EG+EF=1+ 9.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数． 解：∵五边形ABCDE的内角都相等， ∴∠BAE＝∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠E ＝（5﹣2）×180°÷5＝108°， ∵AB＝AC， ∴∠1＝∠2＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠2＝72°， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD＝72°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝36°．
教学反思
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平行四边形
回顾与思考
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
知识框架
02
知识梳理
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本章的定理较多，在系统掌握平行四边形的性质及判定等的基础上，学生还学习了三角形的中位线定理、多边形的内角和、外角和公式，为了让学生进一步掌握这些定理，并能熟练应用，为此，本节课的教学目标是：（1）能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。（2）掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。（3）掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。（4）会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。（5）学会对证明方法的总结。（6）通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。
教学目标
1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。
2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。
3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。
4.会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识
知识框架
知识梳理
一、平行四边形的性质
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
对角线互
相平分
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
平行四边形是
中心对称图形.
边学边练
1 .如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD D．AC=BC
D
解析】A.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故A正确；
B.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，故B正确；
C.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，故C正确；
边学边练
2.如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对角相等，对边相等）
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，
在△ABE和△CDF中
∠B＝∠D
AB＝CD
∠EAB＝∠FCD ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
∵AD=BC ∴AF=EC．
边学边练
3.如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD= =4cm．
A
边学边练
4.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（ ）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
B
【解析】∵在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，
∴△BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=51(cm)．
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二、平行四边形的判定
几 何 语 言
文字叙述
两组对边相等
一组对边平行且相等
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AD=BC ，AB=DC,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ AB=DC，AB∥DC,
对角线互相平分
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ OA=OC，OB=OD,
两组对边分别平行（定义）
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ AD∥BC ，AB∥DC,
边学边练
1、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA=OC，OB=OD
B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC
D．AB=CD，AO=CO
D
边学边练
2.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，
（1）求证：AB=EF．
（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠EDF，
∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，
即BC=DF，
又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF；
边学边练
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
（2）猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠B=∠F，∴AB∥EF，
又∵AB=EF，
四边形ABEF为平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
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三、三角形的中位线
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,
边学边练
1、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为_______ cm.
2、已知:三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为_____cm.
3、如图，△ABC的周长为a
D、E、F分别为△ABC各边中点,△DEF的周长为
G、H、I分别为△DEF各边中点,△GHI的周长为
像这样下去,第3个三角形的周长为
第n个三角形的周长为
13
32
a
1
2
a
1
4
a
1
8
a
1
2n
C
A
B
D
F
E
G
H
I
边学边练
4.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？
解：S△DEF= S△ABC.
理由如下：由题意得DE,DF,EF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,
∴四边ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形，
∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF,
∴S△DEF= S△ABC.
●
●
●
A
B
C
D
E
F
边学边练
5.若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿;
24 cm
解析:设三角形的三条中位线之长分别为6x,5x,4x，
则三角形的三条边长之长分别为12x,10x,8x，
依题意有 12x＋10x＋8x＝60，
解得 x＝2.
所以，最长边12x＝24（cm）.
四、多边形的内角和与外角和
多边形的内角和等于（n-2) ×180 °
多边形的外角和等于 360 °
正多边形每个内角的度数是
正多边形每个外角的度数是
边学边练
1、已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
解： 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,
则x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.
综合运用
1 、 如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，（平行四边形的对边平行且相等）
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
综合运用
2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是BO、OD的中点，且四边形AECF是平行四边形，试判断四边形ABCD是不是平行四边形，并说明理由．
综合运用
证明：∵平行四边形AECF，
∴OA=OC，OE=OF，
（平行四边形的对角线互相平分）
∵E、F分别是BO、OD的中点，
∴2OE=2OF，即OB=OC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
1.五边形的内角和为_______，外角和_____.
2.一个正多边形的一个内角为108°，你知道它是正_____边形.
一个五边形的边数增加一条，它的内角和为_________度.
3.一个五边形切去一个内角后，形成多边形的内角和为______
540°
360°
五
720
720°
或360°
或540°
课堂练习
4.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，
E,F分别是AB,CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，
则∠PFE的度数_____
5.过五边形一个顶点有___ 条对角线，将这个五
边形分成___个三角形.五边形共有____ 条对角线.
6．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
18°
A
B
C
D
E
F
P
2
3
5
D
课堂练习
【知识技能类作业 选做题：】
7.如图，AB,CD相交于点O,AC ∥DB,AO=BO, E,F分别为OC,OD的中点，连接AE,AF,BE,BF. 求证：四边形AEBF是平行四边形.
A
C
D
O
E
F
证明：∵AC ∥DB ∴∠C=∠D
在△AOC和△BOD中
∠C=∠D ；∠AOC=∠BOD；AO=BO
∴△AOC≌△BOD（AAS）
∴OC=OD
∵ E,F分别为OC,OD的中点∴OE=OF
∵AO=BO ∴四边形AEBF是平行四边形
课堂练习
【综合实践类作业】
8.在四边形ABCD中,若分别给出六个条件:①AB∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD 现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是____________________________ (只填序号)
A
B
C
D
O
①
④;
①
⑤;
②
④;
②
⑤;
③
⑥;
课堂练习
9.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
课堂总结
平 行 四 边 形
性质
①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
判别
①两组对边分别平行的
②两组对边分别相等的
④对角线互相平分的
四 边 形
平 行 四 边 形
③一组对边平行且相等的
课堂总结
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
多边形的内角和与外角和
内角和计算公式
（n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关。
正多
边形
内角= ，外角=
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
1．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
2、如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______（把所有正确结论的序号都填在横线上）
（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF
18°
①②④
作业布置
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( )
A．1 B．2 C． D．1＋
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE， 其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
A
A
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
5.如图所示，小明为了测量学校里一池塘AB的宽度，选取可以直接到达A，B两点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20 m，则池塘AB的宽度为________m.
MN与AB的位置关系_____.
40
平行
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
6.已知： ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点.连接AN,DN,BM,CM.且AN与BM交于点P,CM与DN交于点Q.
（1）图中有 个平行四边形.
（2)求证：PM=NQ
D
P
Q
B
N
C
M
A
解：（1） ABCD, ANCM
MBND, PNQM
四
作业布置
D
P
Q
B
N
C
M
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD ∥BC AD=BC
∵ M,N是AD,BC的中点
∴AM=MD BN=NC
∴AM=NC MD=BN
∵ AD ∥BC AM=NC
∴四边形ANCM是平行四边形
∴AN ∥MC
∵ AD ∥BC MD=BN∴四边形MDNB是平行四边形
∴BM ∥ND∴四边形PNQM是平行四边形
∴PM=NQ
作业布置
【综合实践类作业】
7.如图，点O是△ABC内一点，连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接，得到四边形DEFG.求证：四边形DEFG是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
O
证明：∵D, G是AB,AC的中点∴DG是△ABC的中位线
∴DG ∥BC， DG= BC
∵E, F是OB,OC的中点
∴EF是△OBC的中位线
∴EF ∥BC， EF= BC
∴ DG ∥ EF, DG = EF
∴四边形DEFG是平行四边形
作业布置
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是？
解：作点F关于BC的对称点G，连接EG，交BC于D点，D点即为所求，
∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∵BC=2，
∴EF= BC= ×2=1；
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFG=∠C=90°，
又∵∠ABC=60°，BC=2，
FG=AC=2
EG=
∴DE+FE+DF=EG+EF=1+
作业布置
9.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数．
解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE＝∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠2＝72°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝36°．
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