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专题20 数形结合之一次函数与一元一次不等式综合（中档题，30题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为．
故选：B．
2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．
【答案】A
【分析】本题考查利用一次函数图像与性质解不等式，根据题中条件及函数图像，数形结合，逐项验证即可得到答案，熟练掌握利用一次函数图像解不等式的方法是解决问题的关键．
【详解】解：A、由图可知一次函数与交点的横坐标为，一次函数与轴交点的横坐标为，当时，，选项正确，符合题意；
B、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，，一次函数与交点的横坐标为，当时，，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
C、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，；直线与直线平行，根据与轴交点的横坐标为，则根据对称性得到与轴交点的横坐标为，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
D、由一次函数图像可知；由交轴于，交轴于，已知，可知，，，且，则，选项错误，不符合题意；
故选：A．
3．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．根据函数的图象判断即可．
【详解】解：如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，则，
解得，故B正确，符合题意；
由图象可知方程的解是，故A错误，不合题意；
不等式的解集是，故C错误，不合题意；
等式的解集是，故D错误，不合题意．
故选：B．
4．（23-24八年级·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，当时，可得，当时，则时，对于任意的x，不一定都成立，当时，则，对于任意的x，都成立，符合题意；当时，则，可得，进而得到，解之即可得到答案．
【详解】解：当时，则，
∴，
当时，则时，对于任意的x，不一定都成立，
当，即时，则，对于任意的x，都成立，符合题意；
当时，则，
∵当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，
∴当时，一定成立，
∴，
∴，
综上所述，，
故选：D．
5．（22-23八年级·浙江杭州·期末）已知正比例函数的图象与一次函数（k为常数，）的图象交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数的交点与不等式的关系，解题的关键是将不等式问题转化为函数的交点问题，画出图象，结合图象求解即可．
【详解】解：把代入，得，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵一次函数过定点，
∴一次函数的图象过点，点，如图所示：
根据图象可知，当时，一次函数图象在正比例函数图象的上面，
∴当时，．
故选：A．
6．（23-24八年级·江苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于基础题．先把代入正比例函数及一次函数的解析式，求出y的值，再根据当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：当时，正比例函数的函数值为，一次函数的函数值为，
∵时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，
，
，
①当时，正比例函数和一次函数的图象平行，且符合题意；
②时，正比例函数和一次函数的图象交点横坐标为，
由题意可得，
∴
综上所述，．
故选：C．
7．（22-23八年级·安徽亳州·期末）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．根据题意，画出图象，可得当时，，当时，，即可求解．
【详解】解：如图，
观察图象得：当时，，
即，解得：，
当时，，
即，解得：，
∴k的取值范围是或．
故选：D．
8．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当过时，，再利用数形结合的方法解题即可．
【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵无论 取何值，始终有 ，
∴两直线平行，才会始终有 ，
∴，
当过时，
∴，
解得：，
此时两条直线相交，
如图，
∴且，
当时，如图，不符合题意；
故选：D
二、填空题
9．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，已知直线：和直线：相交于点，且，当时，的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、一次函数与不等式等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．过点作轴于点，利用勾股定理解得的值，进而可确定点坐标，然后结合图像即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作轴于点，
∵，
∴，,
又∵，
∴在中，可有，
即，解得或（舍去），
∴，
由图像可知，当时，的函数图像在的函数图像下方，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：．
10．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有 （填序号）．
【答案】①④
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断．
【详解】解：直线经过第一、三象限，
，
直线与轴的交点在轴下方，
，
，故①正确；
一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
关于的方程的解是，故②错误；
当时，，故③错误；
当时，函数，
一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
关于的方程的解是，
，
，故④正确；
故答案为：①④．
11．（22-23八年级·江苏盐城·期末）若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键在于掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到即可．
【详解】解：由图象可知函数与x轴的交点为，则函数与x轴的交点为，且y随x的增大而减小，
如图，
∴当时，，
所以关于的不等式的解集是，
故答案为：．
12．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可得出直线过定点，再画出函数的图象，由图象即可求解．
【详解】解：，
∴当时，，即直线过定点，如图，
由题意可得出函数的图象由射线，线段，射线组成，如图，
联立，解得：，
∴．
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
由图象可知：当时，直线与函数的图象有且只有1个交点，即为点C；
当时，直线与函数的图象有且只有1个交点；
当，直线与函数的图象有且只有1个交点．
综上可知若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是或或．
故答案为：或或．
13．（23-24八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，直线与交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，一元二次方程和不等式，把代入两个函数可得函数解析式，对两边进行平方，得到，可得或，进行解答即可，得到利用两个整式相乘小于0，进行解答是解题的关键．
【详解】解：把代入直线与，
可得，，
解得，，
直线解析式为与，
对两边同时平方可得，
整理后得到，
即，
①或②；
解①可得无解；
解②可得，
故答案为：．
三、解答题
14．（23-24八年级·江苏南京·期末）一次函数（，为常数）的图像经过点，．
(1)求该函数的表达式；
(2)画出该函数的图像；
(3)不等式的解集为______．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数、作一次函数图像、由图像解不等式等，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，利用待定系数法，列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）根据两点确定一条直线，利用描点、连线的方法作一次函数图像即可得到答案；
（3）由一次函数图像与不等式的关系，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：一次函数（，为常数）的图像经过点，，
，解得，
该函数的表达式；
（2）解：当时，，解得，
一次函数过点和，
描点、连线，如图所示：
（3）解：由（2）中图像可知，不等式的解集是指一次函数在轴下方图像所对应的的取值范围，
一次函数图像与轴的交点为，
不等式的解集为．
15．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）如图，平移直线至直线，是常数且，直线与轴和轴分别交于点和点．直线，是常数且与轴交于点，与直线交于点．
(1)求字母k，b，m，n，a的值；
(2)直线与轴交于点，求四边形的面积；
(3)不等式组的解集为__________．
【答案】(1)字母，，，，的值分别为，4，2，，2
(2)四边形面积为5
(3)
【分析】本题考查一次函数、方程和一元一次不等式的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数和方程的关系．
（1）先根据平移的性质求出，再将点代入即可求出直线的解析式，进而求出点和点的坐标，将点和点代入直线作答即可；
（2）根据图像，，分别求面积再作差即可求解；
（3）根据图像即可作答．
【详解】（1）直线由平移而来，
，
又过，代入直线解析式，
得，
直线解析式为，
又点在直线上，
当时，，
点坐标为，
直线过、两点，
，
解得，
字母，，，，的值分别为，4，2，，2；
（2）由图得，，
当时，代入直线解折式，
即，
，
即，
，
又，，，
，
四边形面积为5；
（3）根据图像，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2．
(1)求一次函数的表达式．
(2)观察图象，请直接写出满足时x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）本题考查求一次函数解析式，将代入求出点C的坐标，将A，C代入求解即可得到答案；
（2）本题考查根据函数图像求不等式，根据函数图像在下方的小在上方的大即可得到答案；
【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）解：由图像可得，
在的右边的图像在图像的上方，
∴时足．
17．（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）一次函数（k，b是常数，）和的图象交于点A．
(1)若点A在x轴上，求的值．
(2)若点，当时，，直接写出k的取值范围．
(3)若，点在一次函数图象上，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查一次函数背景下一次方程与不等式的求解问题，准确理解题意构造相应的不等式是本题的解题关键．
（1）点A在x轴上，可以设代入，求得a的值，再将代入，整理即可得到的值；
（2）将代入，求得m的值，再将代入，可得，由，解不等式，结合解集为，即可求得k的范围；
（3）将代入，求得，再代入，即可求证．
【详解】（1）解：在x轴上，
设，代入，解得，
将代入，得：，
整理，得：．
（2）将代入，得：，
将代入，得：，
∴，
∵当时，，
∴关于x的不等式的解集为，
即：的解集为，
由不等式的性质可知：，
解得：．
（3）证明：将代入，得：，
，
解得：，
，
．
18．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法，善于学习的小明在学习了一次方程（组），对相关知识进行了归纳整理．
(1)如他在同一个直角坐标系中画出一次函数和的图象（图1），并归纳：
一次函数与方程的关系 （1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程； （2）点B的横坐标是方程①_____的解： （3）点的坐标的，的值是方程组②_____的解．
一次函数与不等式的关系 （1）函数的函数值大于0时，自变量的取值范围就是不等式③_____的解集； （2）函数的函数值小于0时，自变量的取值范围就是不等式④_____的解集．
请根据图1和以上方框中的内容，在下面数字序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ．
(2)若已知一次函数和的图象（如图2），求出它们的交点（坐标同图1），写出不等式的解集．
【答案】(1)；；；
(2)C的坐标为，．
【分析】
本题主要考查了方程，不等式以及函数的关系，数形结合是初中数学需要掌握的基本思想．
（1）根据一元一次方程，一元一次不等式，一次函数之间的关系，结合函数图象即可作出判断；
（2）不等式的解集就是函数的图象在的交点下边的部分对应的自变量的取值范围．
【详解】（1）
解：①；
②；
③；
④；
故答案为：；；；；
（2）
解：方程组，
解得，
一次函数和的图象（如图2）的交点的坐标为，那么不等式的解集是．
19．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，直线与直线相交于点．
(1)求的值；
(2)直接写出关于的不等式的解集；
(3)垂直于轴的直线与直线分别交于点C，D．若线段长为2，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)a的值为或a
【分析】本题主要考查了根据一次函数的性质求一次函数解析式，结合函数图像判断不等式的解集，两点之间的距离等知识．
（1）把点代入，求出b的值，再把代入，即可求出m的值；
（2）结合两个函数图象解题即可．
（3）分别表示出C、D的坐标，根据，列出绝对值方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵点在直线：上，
∴；
∵点在直线：上，
∴，
∴．
故，．
（2）解：由（1）可知：，，
要使不等式，则的函数图像在函数图像的下面，
结合函数图像可知此时，
故不等式的解集为：．
（3）当时，；
当时，．
∵，
∴，
解得：或．
∴a的值为或．
20．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线与x轴、y轴分别交于点C，D，的解析式为，的解析式为且，两直线的交点．
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)84
(3)
【分析】此题考查了两直线的交点问题，坐标与图形性质以及待定系数法的综合运用．两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（1）依据一次函数图象上点的坐标特征，即可得到，再根据待定系数法，即可得到直线的解析式；
（2）依据割补法进行计算，即可得到四边形的面积；
（3）依据图象中两直线的位置或直接解不等式，即可得到不等式的解集。
【详解】（1）解：把代入，可得，
，
令，则，解得，
，即，
又，
，即，
把代入，可得
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）在中，令，则，
，
∴四边形的面积；
或四边形的面积；
（3）当时，由图可得x的取值范围为．
21．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点，结合图象回答下列问题：
(1)求的值和一次函数的表达式；
(2)当为何值时，？
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的识别图象是解题的关键．
（1）把点的坐标代入求得的值，即可用待定系数法求解；
（2）由解析式求得的坐标，根据图象即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴；
把，代入得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：中，当时，解得，
∴，
由图象知，当时，则、异号，
∴当时，．
22．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，过点的直线：与直线：交于点．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)当时，x的取值范围是__________．
(3)求两条直线与x轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)14
【分析】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图象求不等式的解集．
（1）先求，结合确定解析式即可．
（2）根据交点坐标，结合图象确定解集即可．
（3）求出与x轴的交点，再根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）∵直线：与直线：交于点，
∴，
∴，
∵过，
∴，
解得，，
∴．
（2）∵直线：与直线：交于点，且，
∴．
故答案为：．
（3）对于，当时，则，解得，
∴直线与x轴的交点坐标为，
又与x轴的交点为，P点的纵坐标为4
所以，这两条直线与x轴围成的三角形的面积
23．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求此函数表达式和自变量x的取值范围．
(2)当时，求自变量x的取值范围．
(3)若，，对应的函数值分别为，．比较与的大小．
【答案】(1)，x为全体实数
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，一次函数的性质；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据得出不等式，解不等式可得答案；
（3）根据一次函数的增减性可得答案．
【详解】（1）解：设，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴，x为全体实数；
（2）当时，即，
解得：；
（3）∵中，，
∴y随x的增大而减小，
∵，，即，
∴．
24．（23-24八年级·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，两直线与轴分别交于点，点．
(1)求的值；
(2)若点是轴上一点，，求点的坐标；
(3)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，一次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
（1）把点代入，求，进而可得；然后将，代入，计算求解即可；
（2）当时，计算可求，则，，计算求解，然后作答即可；
（3）由题意知，如图，其中与平行，过点，则当时，使当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，即；
将，代入，得，
解得，
∴，；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴点坐标为或；
（3）解：由题意知，如图，与平行，过点，
∴当时，使当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴．
25．（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)填空：______．正比例函数的表达式为______；当时，x的取值范围______．
(2)若点M是直线上一动点，连接．当的面积是面积的时，请求出符合条件的点M的坐标；
(3)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
【答案】(1)；；
(2)点M的坐标为或
(3)或2或
【分析】本题考查了一次函数图像及性质，以及三角形面积的求解，熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．
（1）把代入中求得m的值；运用待定系数法即可得到的解析式；再利用函数图象可得不等式的解集．
（2）根据题意得点M坐标，根据的面积可得x的根，即可求出点M的坐标．
（3）不能围成三角形，即，，即可求k．
【详解】（1）解：∵点在直线上，将其代入得：，解得：
∴点C的坐标为
设直线的解析式为：
将代入得：，解得：
∴直线的解析式．
当时，；
（2）由题意可得：，，,
设，
∵
则有：
解得：，或，
故M的坐标为．
（3）∵一次函数的图像为，且不能围成三角形，
∴当经过点时，；
当平行时，；
当平行时，；
故k的值是或2或．
26．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数的图象分别交于点C、D，点D的坐标为．
(1)关于x、y的方程组的解为 ；
(2)关于x的不等式的解集为 ；
(3)求四边形的面积；
(4)在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)4；
(4)或．
【分析】这是一道一次函数综合题，主要考查一次函数与x轴、y轴的交点、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系，三角形的面积、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
（1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组的解；
（2）根据一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想可以得到关于x的不等式的解集；
（3）根据点D在一次函数上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形的面积的面积的面积，代入数据即可解答本题；
（4）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题．
【详解】（1）解：∵点在一次函数上，
，
∴点D的坐标为，
∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D，
的解是，
∴关于x、y的方程组的解为，
故答案为：；
（2）由（1）可知点D的坐标为，
∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D，
∴关于x的不等式的解集为，
故答案为：；
（3）∵一次函数，
∴当时，，
∴点A的坐标为，
∵点D在一次函数上，
，得，
∴一次函数，
当时，，当时，，
∴点C的坐标为，点B的坐标为，
，
，
即四边形的面积是4；
（4）如图2，当点E为直角顶点时，过点D作轴于，
，
；
当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；
当点D为直角顶点时，过点D作交x轴于点，
设，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
．
解得．
；
由上可得，点E坐标为或．
27．（23-24八年级·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点点，直线和相交于点．
(1)求的值以及点的坐标；
(2)关于的不等式组的解集为______；
(3)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）将代入，求得，则；将代入，求得，则；联立，求解可得点的坐标；
（2）当时，，解得，，即，由题意知，的解集为在轴上方，下方，所对应的的图象所对应的的取值范围，结合图象求解作答即可；
（3）如图，过点作于点，则点的坐标为，，则是的垂直平分线，进而可得是等腰三角形．
【详解】（1）解：将代入，得，解得，
∴；
将代入，得，解得，
∴；
联立，
解得，，
点的坐标为；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
由题意知，的解集为在轴上方，下方，所对应的的图象所对应的的取值范围，
由图象可知，解集为，
故答案为：；
（3）解：等腰三角形，理由如下：
如图，过点作于点，则点的坐标为，
∴，，即，
∴是的垂直平分线，
∴，即是等腰三角形．
【点睛】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
28．（22-23八年级·安徽亳州·期末）直线与直线与y轴分别交于点A，B，两直线的交点为C．
(1)根据题意画出图象；
(2)根据图象，直接写出当时x的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，并结合了三角形的面积问题，解决本题的关键是掌握描点作图法并能观察图象解决问题．
（1）两点确定一条直线，找到一次函数与坐标轴的两个交点即可描点画图；
（2）要使，则图象上的图象要在的下方，观察图象，得到x的取值范围；
（3）由点的坐标得到的底和高进而求得面积．
【详解】（1）解：直线，当时，，
∴，
直线，当时，，
∴，
联立方程组，
解得，
画图如下：
（2）解：由图象，得当时，
（3）解：．
29．（23-24八年级·江苏南京·期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”．
当时，；当时，，可以记作分段函数．
(1)若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质．
(2)正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______；
(3)已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)当时，没有交点；当时，1个交点；当时，2个交点
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握描点法画函数解析式，利用数形结合的思想解决不等式以及图像的交点问题．
（1）列表，描点，连线画出函数图像，根据图像写出函数的两条性质即可；
（2）利用交点求出的值，进而求出两个函数图像的另一个交点，图像法求不等式的解集即可；
（3）求出函数图像经过两点时的值，画出图像，利用数形结合的思想，进行求解即可．
【详解】（1）当时，，
列表如下：
0 1
2 3
作图如下：
由图可知：性质1：当时，随的增大而增大；
性质2：当时，函数有最小值2．
（2）∵正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴正比例函数的图像与函数的图像交点为，，
由图可知：时，或；
（3）∵，
∴当时，，
∴函数图像一点过点，
如图，当与交于点时，，解得：，
当与交于点时，，解得：，
由图可知：当时，与没有交点，
当时，与有1个交点，
当时，与有2个交点．
30．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴分别交于点A、B两点，与直线交于点， 点在直线上运动，过M作直线垂直于x轴，垂足为D，该直线与直线交于点N．
(1)求t、b的值；
(2)若点在内部，直接写出q的取值范围_________；
(3)若点在线段CB上运动．
①若，求四边形的面积；
②若点M是线段的三等分点，求m的值．
(4)如图2，点在直线上，过A点作直线，垂足为H，将沿直线翻折得，当点M从点B运动到点E的过程中，点也随之运动，请直接写出点运动的路径长为___________．
【答案】(1)，
(2)
(3)①面积为7；②或
(4)5
【分析】（1）把点代入函数，即可求出t的值，把点代入函数，即可求出b的值；
（2）内部的点应满足，根据点P是内部的点，由此可得关于q的不等式组，求解即可；
（3）①根据题意得出，过点C作轴于点E，进而可得，，，根据，即可求解；
②分别表示出，分，两种情况，求得m的值；
（4）分别过点B，E作y轴的平行线，与过点A垂直于y轴的直线分别交于点P，Q，则点M在线段上运动，点H的运动路径长为线段的长，根据对称性可得，点的运动路径长也为线段的长，从而解决问题．
【详解】（1）∵直线经过点，
∴，
∴点C的坐标为，
∵直线经过点，
∴，
∴；
（2）∵点在内部，
∴，
解得：．
故答案为：
（3）①∵
∴直线，
当时，则，代入函数，得
∴
∴，则，
如图所示，过点C作轴于点E，
∵
∴，
∴，
∴
；
②∵在上，
∴，
∵点N在上，
∴，
则，，
当时，
∴，
解得：，
当时，
∴，
解得：，
综上所述，点M是线段的三等分点，则或．
（4）∵点在直线上，
∴，即，
∴
把代入函数，得
，解得，
∴
分别过点B，E作y轴的平行线，与过点A垂直于y轴的直线分别交于点P，Q，
则点M在线段上运动，点H的运动路径为线段，根据对称性可得，点的运动路径长为线段的长．
∵，，
∴，
∴点的运动路径长为5．
故答案为：5
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专题20 数形结合之一次函数与一元一次不等式综合（中档题，30题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．
3．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
4．（23-24八年级·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23八年级·浙江杭州·期末）已知正比例函数的图象与一次函数（k为常数，）的图象交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级·江苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23八年级·安徽亳州·期末）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，已知直线：和直线：相交于点，且，当时，的取值范围是 ．
10．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有 （填序号）．
11．（22-23八年级·江苏盐城·期末）若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集是 ．
12．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是 ．
13．（23-24八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，直线与交于点，则不等式的解集为 ．
三、解答题
14．（23-24八年级·江苏南京·期末）一次函数（，为常数）的图像经过点，．
(1)求该函数的表达式；
(2)画出该函数的图像；
(3)不等式的解集为______．
15．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）如图，平移直线至直线，是常数且，直线与轴和轴分别交于点和点．直线，是常数且与轴交于点，与直线交于点．
(1)求字母k，b，m，n，a的值；
(2)直线与轴交于点，求四边形的面积；
(3)不等式组的解集为__________．
16．（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2．
(1)求一次函数的表达式．
(2)观察图象，请直接写出满足时x的取值范围．
17．（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）一次函数（k，b是常数，）和的图象交于点A．
(1)若点A在x轴上，求的值．
(2)若点，当时，，直接写出k的取值范围．
(3)若，点在一次函数图象上，求证：．
18．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法，善于学习的小明在学习了一次方程（组），对相关知识进行了归纳整理．
(1)如他在同一个直角坐标系中画出一次函数和的图象（图1），并归纳：
一次函数与方程的关系 （1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程； （2）点B的横坐标是方程①_____的解： （3）点的坐标的，的值是方程组②_____的解．
一次函数与不等式的关系 （1）函数的函数值大于0时，自变量的取值范围就是不等式③_____的解集； （2）函数的函数值小于0时，自变量的取值范围就是不等式④_____的解集．
请根据图1和以上方框中的内容，在下面数字序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ．
(2)若已知一次函数和的图象（如图2），求出它们的交点（坐标同图1），写出不等式的解集．
19．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，直线与直线相交于点．
(1)求的值；
(2)直接写出关于的不等式的解集；
(3)垂直于轴的直线与直线分别交于点C，D．若线段长为2，求的值．
20．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线与x轴、y轴分别交于点C，D，的解析式为，的解析式为且，两直线的交点．
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
21．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点，结合图象回答下列问题：
(1)求的值和一次函数的表达式；
(2)当为何值时，？
22．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，过点的直线：与直线：交于点．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)当时，x的取值范围是__________．
(3)求两条直线与x轴围成的三角形的面积．
23．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求此函数表达式和自变量x的取值范围．
(2)当时，求自变量x的取值范围．
(3)若，，对应的函数值分别为，．比较与的大小．
24．（23-24八年级·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，两直线与轴分别交于点，点．
(1)求的值；
(2)若点是轴上一点，，求点的坐标；
(3)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数，直接写出的取值范围．
25．（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)填空：______．正比例函数的表达式为______；当时，x的取值范围______．
(2)若点M是直线上一动点，连接．当的面积是面积的时，请求出符合条件的点M的坐标；
(3)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
26．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数的图象分别交于点C、D，点D的坐标为．
(1)关于x、y的方程组的解为 ；
(2)关于x的不等式的解集为 ；
(3)求四边形的面积；
(4)在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（23-24八年级·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点点，直线和相交于点．
(1)求的值以及点的坐标；
(2)关于的不等式组的解集为______；
(3)判断的形状，并说明理由．
28．（22-23八年级·安徽亳州·期末）直线与直线与y轴分别交于点A，B，两直线的交点为C．
(1)根据题意画出图象；
(2)根据图象，直接写出当时x的取值范围；
(3)求的面积．
29．（23-24八年级·江苏南京·期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”．
当时，；当时，，可以记作分段函数．
(1)若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质．
(2)正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______；
(3)已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围．
30．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴分别交于点A、B两点，与直线交于点， 点在直线上运动，过M作直线垂直于x轴，垂足为D，该直线与直线交于点N．
(1)求t、b的值；
(2)若点在内部，直接写出q的取值范围_________；
(3)若点在线段CB上运动．
①若，求四边形的面积；
②若点M是线段的三等分点，求m的值．
(4)如图2，点在直线上，过A点作直线，垂足为H，将沿直线翻折得，当点M从点B运动到点E的过程中，点也随之运动，请直接写出点运动的路径长为___________．
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