湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)
文档属性
| 名称 | 湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-01 21:02:46 | ||
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文档简介
雅礼教育集团2024年上期期中考试
高二数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）
A．65 B．55 C．45 D．35
6．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）
A．180种 B．150种 C．90种 D．60种
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
①有两个极值点 ②的图象关于原点对称
③有三个零点 ④在上单调递减
A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②③
8．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．设，为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的一个对称中心
11．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．若，则关于中心对称
D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知平面向量，若与共线，则实数______．
13．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2），，分别为内角，，的对边，已知，，的面积为，求的周长．
16．（15分）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（15分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。
（1）求a，并估计参与调查者的平均年龄；
（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表。请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年
中老年 10
合计 200
（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
18．（17分）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，
（1）①作出函数在上的图象；
②若方程恰有6个不相等的实根，求头数的取值范围；
（2）对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值．
19．（17分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划．活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售．摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向．假设三个班的人数比例为6:7:8．
（1）现从三个班中随机抽取一位同学；
（ⅰ）求该同学有购买意向的概率；
（ⅱ）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价．若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）．
雅礼教育集团2024年上期期中考试
高二数学答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D【详解】因，则，故．故选：D．
2．B【详解】由已知，所以，选B．
3．A【详解】因为方程表示双曲线等价于，所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
4．B【详解】函数，
有．故选B．
5．D【详解】设数列的公差为，则，．故选：D
6．C【详解】由题意得，先将5名志愿者分成3组，只有2，2，1一种情况，即种分组方法，再将3组志愿者分配给3位老人，则共有种安排方法．故选：C
7．C【详解】函数的定义域为，求导得，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，④正确，因此的极大值为，极小值为，①正确，而，因此函数有三个零点，③正确；又，则函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，②错误。故选C
8．A【详解】过作，
由于圆截直线的弦长为，所以，
由于，所以，结合是的中点，
所以，故，
化简得
所以，故选：A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．BD【详解】A：若且，则m，n可能相交、平行或异面，故A错误；
B：若且，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；
C：若且，根据面面的位置关系定义可得与可能平行也可能相交，故C错误；
D：若且，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确．故选：BD
10．AD【详解】，，A正确；
将的图象右移个单位后，
得函数的图象，
不满足，所以不是奇函数，B错误；
因为，所以不是函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，C错误，D正确．故选：AD．
11．BC【详解】对于A，令，有，所以或，
若，则只令，有，即恒为0，
所以只能，故A错误；
对于B，由A可知，不妨令，有，
即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，所以即为偶函数，故B正确；
对于C，若，令，有，
所以关于中心对称，故C正确；
对于D，关于中心对称，又为偶函数，
所以，所以是周期为4的周期函数，
又，所以，
所以，
所以，故D错误．故选：BC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．2【详解】，
若与共线，则，解得．故答案为：2．
13．7【详解】的展开式中的系数为
，
由二项式展开式的通项公式可得，
令和，则的系数为．故答案为：7．
14．（【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）【详解】（1）因为
，
即，
令，解得，
所以函数的单调增区间为．
（2）由得．
．
，由余弦定理得，
的周长为．
16．（15分）【详解】（1）底面，底面，
．
又平面，
平面．
（2）由题意易知四边形为直角梯形，
．
．
（3）【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
易知平面，
平面的一个法向量．
设平面的法向量，
令
，
．
故平面与平面所成角的余弦值为．
17．（15分）【详解】解：（1），
估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁．
（3）选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，第2组：人，
第3组：人，第4组：人，
第5组：人，
青少年组有人，中老年组有人，
参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题，
选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，
列联表如下；
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年 90 30 120
中老年 70 10 80
合计 160 40 200
零假设：假设关注民生问题与性别相互独立，
根据独立性检验，可以认为零假设不成立，即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关．
（2）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为，将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为，
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，
所以，
所以，．
18．（17分）【详解】（1）①当时，．
列表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4
描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以在上的图象如图所示；
②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；
（2）由题意，，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，
因为在上为增函数，所以在上为增函数，
所以，
由（1）可知在上的最小值为0，
因为，使得成立，
所以，
所以，解得，所以实数的最小值为．
19．（17分）【详解】（1）（ⅰ）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”．由题意可知，，
所以，由全概率公式可得：
（ⅱ）由条件概率可得．
（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为．设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：
①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；
②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为．
于是得到，易得．
由于，
于是当时，数列是以首项为，公比为的等比数列，
故．
于是
．
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75．
高二数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）
A．65 B．55 C．45 D．35
6．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）
A．180种 B．150种 C．90种 D．60种
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
①有两个极值点 ②的图象关于原点对称
③有三个零点 ④在上单调递减
A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②③
8．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．设，为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的一个对称中心
11．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．若，则关于中心对称
D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知平面向量，若与共线，则实数______．
13．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2），，分别为内角，，的对边，已知，，的面积为，求的周长．
16．（15分）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（15分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。
（1）求a，并估计参与调查者的平均年龄；
（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表。请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年
中老年 10
合计 200
（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
18．（17分）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，
（1）①作出函数在上的图象；
②若方程恰有6个不相等的实根，求头数的取值范围；
（2）对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值．
19．（17分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划．活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售．摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向．假设三个班的人数比例为6:7:8．
（1）现从三个班中随机抽取一位同学；
（ⅰ）求该同学有购买意向的概率；
（ⅱ）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价．若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）．
雅礼教育集团2024年上期期中考试
高二数学答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D【详解】因，则，故．故选：D．
2．B【详解】由已知，所以，选B．
3．A【详解】因为方程表示双曲线等价于，所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
4．B【详解】函数，
有．故选B．
5．D【详解】设数列的公差为，则，．故选：D
6．C【详解】由题意得，先将5名志愿者分成3组，只有2，2，1一种情况，即种分组方法，再将3组志愿者分配给3位老人，则共有种安排方法．故选：C
7．C【详解】函数的定义域为，求导得，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，④正确，因此的极大值为，极小值为，①正确，而，因此函数有三个零点，③正确；又，则函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，②错误。故选C
8．A【详解】过作，
由于圆截直线的弦长为，所以，
由于，所以，结合是的中点，
所以，故，
化简得
所以，故选：A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．BD【详解】A：若且，则m，n可能相交、平行或异面，故A错误；
B：若且，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；
C：若且，根据面面的位置关系定义可得与可能平行也可能相交，故C错误；
D：若且，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确．故选：BD
10．AD【详解】，，A正确；
将的图象右移个单位后，
得函数的图象，
不满足，所以不是奇函数，B错误；
因为，所以不是函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，C错误，D正确．故选：AD．
11．BC【详解】对于A，令，有，所以或，
若，则只令，有，即恒为0，
所以只能，故A错误；
对于B，由A可知，不妨令，有，
即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，所以即为偶函数，故B正确；
对于C，若，令，有，
所以关于中心对称，故C正确；
对于D，关于中心对称，又为偶函数，
所以，所以是周期为4的周期函数，
又，所以，
所以，
所以，故D错误．故选：BC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．2【详解】，
若与共线，则，解得．故答案为：2．
13．7【详解】的展开式中的系数为
，
由二项式展开式的通项公式可得，
令和，则的系数为．故答案为：7．
14．（【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）【详解】（1）因为
，
即，
令，解得，
所以函数的单调增区间为．
（2）由得．
．
，由余弦定理得，
的周长为．
16．（15分）【详解】（1）底面，底面，
．
又平面，
平面．
（2）由题意易知四边形为直角梯形，
．
．
（3）【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
易知平面，
平面的一个法向量．
设平面的法向量，
令
，
．
故平面与平面所成角的余弦值为．
17．（15分）【详解】解：（1），
估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁．
（3）选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，第2组：人，
第3组：人，第4组：人，
第5组：人，
青少年组有人，中老年组有人，
参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题，
选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，
列联表如下；
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年 90 30 120
中老年 70 10 80
合计 160 40 200
零假设：假设关注民生问题与性别相互独立，
根据独立性检验，可以认为零假设不成立，即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关．
（2）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为，将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为，
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，
所以，
所以，．
18．（17分）【详解】（1）①当时，．
列表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4
描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以在上的图象如图所示；
②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；
（2）由题意，，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，
因为在上为增函数，所以在上为增函数，
所以，
由（1）可知在上的最小值为0，
因为，使得成立，
所以，
所以，解得，所以实数的最小值为．
19．（17分）【详解】（1）（ⅰ）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”．由题意可知，，
所以，由全概率公式可得：
（ⅱ）由条件概率可得．
（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为．设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：
①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；
②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为．
于是得到，易得．
由于，
于是当时，数列是以首项为，公比为的等比数列，
故．
于是
．
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75．
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