江西省宜丰中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西省宜丰中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-01 11:51:36 | ||
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文档简介
2023-2024（下）江西省宜丰中学高二4月期中考试数学试卷
一、单选题（40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A．14 B．5 C．1 D．
3．已知命题，命题，则是q的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．在正项等比数列中，已知，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
6．数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（18分）
9．下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．“”是“”的充分不必要条件 D．命题“，”的否定为“，”
10．已知a>b>0，a+b=1．则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为3 D．a+sinb<1
11．已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（ ）
A．实数的取值范围是 B．
C．函数可能有四个零点 D．
三、填空题（15分）
12．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
13．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为 .
14．已知数列的前项和为，，，对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（77分）
15．已知函数在点处的切线的斜率为
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
16．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
18．已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
（3）设，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.
19．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
求函数在处的阶帕德近似.
(2)在（1）的条件下： ①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
2023-2024（下）江西省宜丰中学高二4月期中考试数学参考答案
1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B
7．B【详解】解： 是上“双中值函数”，，又，，
即在上有两个根，令，其对称轴为：，
故，解得：.故选B．
8．A【详解】令，即，当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，则当时，，即，不满足题意；当时，令，则，令，则，因为单调递增，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，有最小值，又对恒成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立. 令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，所以，即，当且仅当，时等号成立，所以的取值范围为. 故选：A
9．ABC
10．BD【详解】解：因为，，所以，，对于A：，当，即时，有最大值，而，取不到最值，A错，对于B：，当且仅当，即当时取等号，所以B正确，对于C：[5+](5+2)=3
当且仅当，即a=0，b=1时等号成立，而a>b>0，所以取不到最值，C错
对于D：因为，所以，所以，设，，则，所以在上递减，所以，所以，故D正确，
11．CD【详解】对于B，，设，则它的定义域为，它关于原点对称，且，所以是奇函数，由题意有三个根，则，故B错误；对于C，由，
所以，所以，
即已经有3个实根，当时，令，则，只需保证可使得方程有4个实根，故C正确；由B可知，，而，又，
所以
，故D正确；对于A，，设，则，所以，从而，故A错误.故选：CD.
12． 13．【详解】函数有唯一的零点2，由题意知函数的零点满足，即.因为，所以，设，则，，当时，，是增函数；当时，，是减函数，所以，又，，所以实数的取值范围为.故答案为：.
14．【详解】数列中，得, 当时，得累加得，可得，则，当时符合上式，则，所以，对于任意的，不等式，即恒成立，∴，设，
可得，即有，解得或，则实数t的取值范围是．
15．【详解】（1），则=, 解得；
（2）由，故，则，，
故当时，，当时，，当时，，故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，故有极大值，有极小值.
16．【详解】（1）设数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，解得或，因为各项均为正数，所以，所以，由，
得，解得，所以.
（2）由（1）知，，则，所以，两式相减可得，
整理可得．
17．【详解】（1）由题意可知的定义域为，
令，则，
①当时，，在上恒成立，在上单调递减．②当时，， 时，，时，，时，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减．③当时，，时，，
时，，时，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，恒成立，故，所以，即，
由得，令（），则，
令，则，在单调递增，则，即在恒成立，故在单调递增．所以，故在恒成立．
由在单调递增，而，，故．
18．【详解】（1）由与的等差中项为得，①, 当时，②
①②得，，有因为在①中令，得, 是以，公比为的等比数列
数列的通项公式为
（2）原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；当为偶数时，等价于恒成立，令，，则等价于对恒成立，故在上递增, 故即故正整数的最大值为
（3）由 及, 得，, 当时，；当时，, ，，，，, 由集合恰有个元素，得
19．【详解】（1）由题可知函数在处的阶帕德近似，则，，，由得，所以，则，又由得，所以，由得，所以，
（2）①令，，因为，
所以在及上均单调递减. 当，，即，
而，所以，即，当，，即，
而，所以，即， 所以不等式恒成立；②由得在上恒成立，令，且，所以是的极大值点，又，故，则，当时，，所以，当时，，，则，故在上单调递增，所以当时，，当时，，令，因为，所以在上单调递减，所以，又因为在上，故当时，，综上，当时，恒成立.
一、单选题（40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A．14 B．5 C．1 D．
3．已知命题，命题，则是q的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．在正项等比数列中，已知，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
6．数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（18分）
9．下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．“”是“”的充分不必要条件 D．命题“，”的否定为“，”
10．已知a>b>0，a+b=1．则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为3 D．a+sinb<1
11．已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（ ）
A．实数的取值范围是 B．
C．函数可能有四个零点 D．
三、填空题（15分）
12．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
13．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为 .
14．已知数列的前项和为，，，对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（77分）
15．已知函数在点处的切线的斜率为
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
16．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
18．已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
（3）设，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.
19．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
求函数在处的阶帕德近似.
(2)在（1）的条件下： ①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
2023-2024（下）江西省宜丰中学高二4月期中考试数学参考答案
1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B
7．B【详解】解： 是上“双中值函数”，，又，，
即在上有两个根，令，其对称轴为：，
故，解得：.故选B．
8．A【详解】令，即，当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，则当时，，即，不满足题意；当时，令，则，令，则，因为单调递增，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，有最小值，又对恒成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立. 令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，所以，即，当且仅当，时等号成立，所以的取值范围为. 故选：A
9．ABC
10．BD【详解】解：因为，，所以，，对于A：，当，即时，有最大值，而，取不到最值，A错，对于B：，当且仅当，即当时取等号，所以B正确，对于C：[5+](5+2)=3
当且仅当，即a=0，b=1时等号成立，而a>b>0，所以取不到最值，C错
对于D：因为，所以，所以，设，，则，所以在上递减，所以，所以，故D正确，
11．CD【详解】对于B，，设，则它的定义域为，它关于原点对称，且，所以是奇函数，由题意有三个根，则，故B错误；对于C，由，
所以，所以，
即已经有3个实根，当时，令，则，只需保证可使得方程有4个实根，故C正确；由B可知，，而，又，
所以
，故D正确；对于A，，设，则，所以，从而，故A错误.故选：CD.
12． 13．【详解】函数有唯一的零点2，由题意知函数的零点满足，即.因为，所以，设，则，，当时，，是增函数；当时，，是减函数，所以，又，，所以实数的取值范围为.故答案为：.
14．【详解】数列中，得, 当时，得累加得，可得，则，当时符合上式，则，所以，对于任意的，不等式，即恒成立，∴，设，
可得，即有，解得或，则实数t的取值范围是．
15．【详解】（1），则=, 解得；
（2）由，故，则，，
故当时，，当时，，当时，，故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，故有极大值，有极小值.
16．【详解】（1）设数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，解得或，因为各项均为正数，所以，所以，由，
得，解得，所以.
（2）由（1）知，，则，所以，两式相减可得，
整理可得．
17．【详解】（1）由题意可知的定义域为，
令，则，
①当时，，在上恒成立，在上单调递减．②当时，， 时，，时，，时，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减．③当时，，时，，
时，，时，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，恒成立，故，所以，即，
由得，令（），则，
令，则，在单调递增，则，即在恒成立，故在单调递增．所以，故在恒成立．
由在单调递增，而，，故．
18．【详解】（1）由与的等差中项为得，①, 当时，②
①②得，，有因为在①中令，得, 是以，公比为的等比数列
数列的通项公式为
（2）原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；当为偶数时，等价于恒成立，令，，则等价于对恒成立，故在上递增, 故即故正整数的最大值为
（3）由 及, 得，, 当时，；当时，, ，，，，, 由集合恰有个元素，得
19．【详解】（1）由题可知函数在处的阶帕德近似，则，，，由得，所以，则，又由得，所以，由得，所以，
（2）①令，，因为，
所以在及上均单调递减. 当，，即，
而，所以，即，当，，即，
而，所以，即， 所以不等式恒成立；②由得在上恒成立，令，且，所以是的极大值点，又，故，则，当时，，所以，当时，，，则，故在上单调递增，所以当时，，当时，，令，因为，所以在上单调递减，所以，又因为在上，故当时，，综上，当时，恒成立.
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