2023-2024学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和，则数列的通项公式为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知数列是等比数列，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在处可导，则“”是“是的极值点”的( )
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若数列满足，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象如图所示，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为，，，，，，，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列为“斐波那契数列”，为数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.和的等差中项是______．
12.已知一个物体在运动过程中，其位移单位：与时间单位：之间的函数关系为，则物体在到这段时间里的平均速度为______；物体在时的瞬时速度为______．
13.记为等差数列的前项和，公差为，若，，，则整数的一个值可以为 ．
14.对于数列，定义数列为数列的“差数列”若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则 ______；数列的前项和 ______．
15.设函数．
若，则的最大值为 ；
若无最大值，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
设为等差数列的前项和，，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求；
Ⅲ若，，成等比数列，求的值．
18.本小题分
已知数列是首项为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且数列的前项和为再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若函数，求证：当时，．
20.本小题分
某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加．
设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；
Ⅱ若该生产线前年每年的平均维护费用大于万元时，需要更新生产线，求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
21.本小题分
已知函数．
求函数在区间上的最大值；
求函数零点的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
可求出导函数，然后根据即可求出的值．
本题考查了幂函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，数列的前项和，
当时，有，
当时，有，
不符合，
故．
故选：．
根据题意，分与两种情况求出的表达式，综合可得答案．
本题考查数列的前项和与通项公式的关系，涉及数列的表示方法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由已知结合函数的平均变化率的定义即可求解．
本题主要考查了函数平均变化率的定义的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：等比数列中，，，
所以，解得，所以，．
故选：．
根据等比数列的定义与性质，求解即可．
本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：已知函数的导数为，由，得，但此时函数单调递增，无极值，充分性不成立．
根据极值的定义和性质，若是的极值点，则成立，即必要性成立，
故是的必要不充分条件，
故选：．
根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．
6.【答案】
【解析】解：由数列满足，
，解得，
同理，，
所以可知数列是周期为的周期数列，
所以，
故答案为：．
通过递推公式由首项求出数列的前四项，从而确定数列周期为，再由数列周期从而求出．
本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的最小项问题，属于中档题．
根据已知条件得出最小项为，利用累加法，即可得出答案．
【解答】
解：，
当时，，当时，，，显然的最小值是，
又，且，
，即的最小值是．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：依题意，，，
即，，
可得，，
且，是的两个根，
则，
于是．
故选：．
依题意，可得，由此可得，的值，再根据，是的两个根，结合韦达定理即可得解．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
因为，
则．
故选：．
结合已知定义，找出与的递推关系即可求解．
本题主要考查了数列的和与项及项与项的递推关系的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的极值点，属于中档题．
先求导函数，函数有两个极值点，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图可求得实数的取值范围．
【解答】
解：函数，
则，
令得，
函数有两个极值点，
等价于有两个零点，
等价于函数与的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象如图，
当直线与的图象相切时，设切点为，
对于，，
则，解得，
由图可知，当时，
与的图象有两个交点．
则实数的取值范围是
故选B．
11.【答案】
【解析】解：和的等差中项为：．
故答案为：．
根据已知条件，结合等差中项的定义，即可求解．
本题主要考查等差中项的定义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设，
则物体在到这段时间里的平均速度为，
因为，
则．
故答案为：；．
由已知结合函数平均变化率及瞬时变化率的定义即可求解．
本题主要考查了函平均变化率及瞬时变化率定义的应用，属于基础题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的前项和公式，属于基础题．
利用等差数列前项和的基本量计算可求得．
【解答】
解：因为，所以，
所以，
故的整数解为，，．
故答案为：答案不唯一．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
所以，，，，
故时，以上个式子相加得，，
故，，
时，显然适合，
故，即是以为首项，以为公比的等比数列，
则；
所以．
故答案为：；．
由已知定义可得，，，然后结论累加法可求，进而可求，然后结合等比数列的求和公式即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了数列的递推关系在通项公式求解中的应用，还考查了累加法的应用及等比数列的求和公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，难度中档．
将代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当时，的最大值为；
根据与有三个交点，结合无最大值，可得答案．
【解答】
解：若，则，
则，
当时，，此时函数为增函数，
当时，，此时函数为减函数，
故当时，的最大值为；
对于，可知，
令得，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
且易知与有三个交点，坐标为，，，
若无最大值，则，
故答案为：，．
16.【答案】解：Ⅰ 由题意知，，即切点为，又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为：，即．
Ⅱ令，，解得，．
当时，可得，即的单调递减区间为，
当或，可得，所以函数单调递增区间为，．
所以的极大值点为，，
因为，，
所以函数的最大值为，最小值为．
【解析】Ⅰ求出函数的导数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
Ⅱ求解极值点，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
本题主要考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，切线方程的求法，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ由题意得，
解得；
故的通项公式为；
Ⅱ由Ⅰ知，；
因为，，成等比数列，
所以，
所以，
即，
又因为，则解得．
【解析】Ⅰ由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
Ⅱ结合等差数列的求和公式即可求解；
Ⅲ结合等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
则，
因为数列的前项和为，
当时，，解得，
因为公比，
由等比数列的通项公式可得，，
当时，，
即，解得，
由等差数列的通项公式可得，；
Ⅱ方案一：选择条件，
由Ⅰ可得，，
则，
，
两式相减，可得
所以．
方案二：选择条件，
由Ⅰ可得，，
则
；
方案三：选择条件，
由Ⅰ可得，，
则
，
所以．
【解析】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可分别求出公差及，进而可求，；
Ⅱ若选，利用错位相减求和即可求解；
若选，利用裂项求和即可求解；
若选，利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，求和公式的应用，还考查了裂项求和，分组求和及错位相减求和方法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：，．
令，解得．
在内是增函数，在内是减函数．
当时，取得极大值，无极小值．
证明：，令，．
当时，，，从而，
，在是增函数．
，即当时，．
【解析】先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；
令，求出其导函数利用导函数的值来判断其在上的单调性，进而证得结论．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：当时，数列是首项为，公差为的等差数列，；
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又，
的表达式为；
设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，分
当时，由，．
该生产线前年每年的平均维护费用
当时，为增数列，
当时，，也为增数列，
又，，，
则第年初需要更新该生产线．
【解析】当时，数列是首项为，公差为的等差数列；当时，数列是首项为，公比为的等比数列，故可求年该生产线的维护费用的表达式；
设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，，该生产线前年每年的平均维护费用，且为增数列，从而可求第年初需要更新该生产线．
本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的通项及求和公式的运用，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型．
21.【答案】解：，
令，则，
所以，所以，所以在上单调递增，
又，
，
故存在唯一，使得，
故为上的极小值，
又，，
故函数在区间上的最大值为．
函数的定义域是，
当时，，，
所以，所以在上单调递减，
又，所以，故此时的零点为；
当时，由知，函数在区间上有唯一零点；
当时，令，，
则，
所以在上单调递增，
所以．
又，故对任意，都有，
所以函数在区间上没有零点，
综上，函数有且仅有个零点．
【解析】求出函数的导数，判断函数在上的单调性，即可求得答案；
分区间讨论，结合函数的导数，判断函数的单调性，结合零点存在定理以及函数值的正负情况，即可求得结论．
本题主要考查利用导数研究函数的最大值，函数零点个数的判断，考查运算求解能力，属于中档题．
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