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专题04 勾股定理（六大题型，60题）（解析版）
目录
一、题型一：勾股数问题，难度三星，10题 1
二、题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积，难度四星，10题 6
三、题型三：勾股定理与折叠问题，难度四星，10题 15
四、题型四：勾股定理的证明方法，难度三星，10题 25
五、题型五：以弦图为背景的计算题，难度四星，10题 37
六、题型六：用勾股定理构造图形解决问题，难度三星，10题 45
一、题型一：勾股数问题，难度三星，10题
1．（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．10，14，15 C．8，11，12 D．6，8，10
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理逐项分析即可解答．
【详解】解：A.因为，则A选项不是勾股数，不符合题意；
B、因为，则B选项不是勾股数，不符合题意；
C、因为，则C选项不是勾股数，不符合题意；
D、因为，则D选项是勾股数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股数、勾股定理逆定理等知识点，已知三角形的三边满足，则三角形ABC是直角三角形；若a、b、c为正整数，则a、b、c为勾股数．
2．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A． B．4，5，6 C． D．10，24，26
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义解答即可；掌握勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方成为解题的关键．
【详解】解：A、，但不是正整数，故选项错误；
B、，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、，但不是正整数，故选项错误；
D、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确．
故选D．
3．（22-23八年级·广东茂名·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．12，16，20 D．
【答案】D
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．
【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意；
B、，是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，不符合题意；
D、，不是勾股数，符合题意；
故选：D．
4．（23-24八年级·四川巴中·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，；，，；，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股数，勾股定理，根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．解题的关键是熟练掌握勾股定理．
【详解】解：∵为正整数，
∴为偶数，设其股是，
∴弦为，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴弦是：．
故选：A．
5．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理数定义及计算，根据勾股定理数定义，逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由，该组数不是勾股数，不符合题意；
B、由勾股数定义可知，各数必须是正整数，0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意；
C、由，该组数不是勾股数，不符合题意；
D、由，该组数是勾股数，符合题意；
故选：D．
6．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意；
C、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意．
故选：B．
7．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．，， C．3，4，5 D．，，
【答案】C
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、1.5，2，2.5都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；
B、都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，所以是勾股数，故符合题意；
D、都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．
8．（21-22八年级·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．， ， C．6，8，10 D．1，2，
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键．
根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可．
【详解】A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，符合题意；
D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
9．（23-24八年级·河北承德·期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）．
【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律等知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，即可求得a的值；再根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，然后按照规律解答即可．
【详解】解：如图：
∵第一个正方形的边长为a,
∴第一个正方形的面积为，
由勾股定理得，，
∴，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为，
∴，即，“生长”第1次后所有正方形的面积和为，
同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为，
……
则“生长”第2024次后所有正方形的面积和为，
故答案为：，．
10．（23-24八年级·湖北恩施·期末）观察下列表格中数组的规律．
组别 数字 等式
1 3，4，5
2 5，12，13
3 7，24，25
4 9，40，41
… … …
根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ．
【答案】
【分析】根据题意，找出规律列式表示即可；本题主要考查勾股数，找规律，准确得出规律并列式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，第一列数字都为奇数，且后一排比上一排大2，第三列比第二列大1，
且三个数成勾股数
根据表格规律：第一列数字是组数的2倍加1
第组第一列数字为,
设第二列数为，则第三列数为，由勾股定理得：
解得：
第组的三个数字满足的等式是：，
故答案为：．
二、题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积，难度四星，10题
11．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，解题的关键是证明 ，得到四边形的面积的面积，得出空白部分的面积正方形的面积的面积，①，，②，由①和②得，即可得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
①，
，
，
，
，
②，
由①和②得，
（舍去负值）．
故选：A．
12．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J，
中，，
，
四边形、四边形、四边形均为正方形，
，
正方形与同底等高，
，
，
正方形与同底等高，
，
，
，
，
故选：A．
13．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，在边长为6的正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别记为，，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．17
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质．由图可得，的边长为3，由，，可得，，；然后，分别算出、的面积，即可解答．
【详解】解：如图：
设正方形的边长为，
和都为等腰直角三角形，
，，，
∴，同理可得：，
，又，
，
，即；
的面积为；
，
，
，
，
为的中点，
的边长为3，
的面积为，
．
故选：D．
14．（22-23八年级下·贵州遵义·期中）有一个边长为1的大正方形，经过2次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A．2024 B．2023 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．
【详解】解：由题意得，正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
故选：A．
15．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
，
三个正方形的面积分别为，
，
在及中，由勾股定理可得：
，，
，
，
故选：C．
16．（2024八年级·全国·竞赛）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次为，则之间的关系正确的是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识，由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半圆的面积即可得出答案，熟练运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的三边分别为，则三个半圆的半径分别为
由勾股定理得：即
故选：．
17．（23-24八年级·浙江湖州·期末）如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形CHET的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，根据图形列出面积的等量关系是解题的关键．设四边形的面积为，的面积为，由，列出等式即可求解．
【详解】解：设四边形的面积为，的面积为，
，以，，为边作正方形，正方形，正方形，
根据勾股定理得：，
，
．
故选：．
18．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和9，则b的面积为 ．
【答案】13
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，同角的余角相等等知识．证明出是解题关键．根据正方形的性质得出，，，，再根据同角的余角相等可得出，即可证，最后结合全等三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：如图，
∵a，b，c都为正方形，a，c的面积分别为4和9，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：13．
19．（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
∴阴影部分的面积，
故答案为：14．
20．（23-24八年级·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．
【答案】(1)任选一个即可，证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理．
（1）根据图中面积关系即可得证；
（2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证．
【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：；
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：；
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得：；
（2）解：，，满足的关系是，
，，
，
．
三、题型三：勾股定理与折叠问题，难度四星，10题
21．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，通过勾股定理得，再证明，，进而即可求解.
【详解】解：∵将长方形纸片如图折叠，，两点恰好重合在边上的同一点处，
∴，
∵，，，
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理：，
设纸片宽为h，
∴，
∴，
故选：C．
22．（23-24八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点A在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．则点的坐标为
【答案】/
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，轴对称的性质，勾股定理，根据平行线的性质得出，再根据轴对称的性质得出，则，进而得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D和点C关于成轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得，
即，
解得：，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
23．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出，是解题关键．利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
设，
∵翻折，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴阴影部分面积为．
故答案为：36．
24．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点为轴上一点，把直线沿翻折，点刚好落在轴的负半轴上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，也就求出M的坐标．
【详解】解：如图所示，当点M在y轴正半轴上时，
设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，
则有，
，
，，
，
，
∴点C的坐标为．
设M点坐标为，则，，
，
，
，
．
25．（22-23八年级·浙江绍兴·期中）如图，是一张直角三角形的纸片，，，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
设，则，在中，利用勾股定理求出x，可得的长，然后求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：由折叠得：，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
26．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ．
【答案】5或2
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质．当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可．
【详解】解：当时，如图，
，，
，
，
，
由折叠得，，
，
设，
，
在中，，
，即；
当时，如图，作，
，
，
，
，
，
．
故答案为：5或2．
27．（23-24八年级·宁夏中卫·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得，，，再分当点F靠近点C时，，当点F靠近点O时，则，两种情况利用勾股定理先求出的长，进而得到的长，设出的长，进而得到的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：在长方形中，，，
由折叠的性质可得，，，
恰好是边的三等分点，
∴当点F靠近点C时，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得到，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当点F靠近点O时，则，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得到，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
综上所述，点的坐标是或，
故答案为：或．
28．（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵折叠，
∴，
当为直角三角形时，分两种情况，
①当时，过点作，交的延长线于点，
则四边形为长方形，
∴，
设，则：，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或；
∴；
②当时，此时点与点重合，如图：
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴，
综上：或；
故答案为：或．
29．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
30．（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长．
【答案】的长为
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得的长，从而利用勾股定理可求得的长，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：设
根据翻折的性质可得，
在中，
∴
解得：
∴的长为．
四、题型四：勾股定理的证明方法，难度三星，10题
31．（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．
根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定④；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断①．
【详解】解：如图所示，
∵正方形的面积为49，
∴，
∵是直角三角形，
∴根据勾股定理得：，故④正确；
∵正方形的面积为4，
∴，
∴，故②错误；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故①错误；
故正确的是③④．
故选：C．
32．（23-24八年级·河北石家庄·期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（ ）
甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形
乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形
A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以
C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，掌握数形集合思想是解题的关键．
甲：分别用两种方法表示大正方形的面积，然后化简即可判断；乙：先算出三个正方形的面积，看是否满足即可判断．
【详解】解：甲：大正方形的面积可以表示为：或，即；
先根据正方形的面积计算出，即可；
所以甲、乙均可验证．
故选A．
33．（23-24七年级·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键．
【详解】解：如图，
在直角中，由勾股定理得，
，
，
将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形，
，
，
，
．
故答案为：．
34．（23-24八年级·福建泉州·期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论．
【详解】∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
35．（23-24八年级·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现．
（1） ；
（2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为 ．
【答案】 3 40
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．
（1）过点H作于点M，根据得到，四边形是矩形，继而得到．证明得到，结合正方形的性质，得到，计算即可．
（2）根据(1)，设，则，，
根据得到，继而得到，，利用图形面积分割法计算即可．
【详解】（1）过点H作于点M，
∵，
∴，四边形是矩形，
∴．
∵四边形，四边形，四边形都是正方形，
∴，，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
（2）根据（1），设，则，，
根据
∴，
∴，，
∵四边形的面积为22，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴正方形的面积为，
故答案为：40．
36．（22-23八年级·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，．
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：；
(2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长．
【答案】(1)
(2)小正方形EFGH的边长为3
【分析】
本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，整体思想，面积法，掌握面积法以及整体思想是解题的关键．
（1）将正方形的面积用四个全等的直角三角形的面积加正方形的面积表示，再整理即可；
（2）根据直角三角形的面积为54，列出等式，再求出即可．
【详解】（1）
解：正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，，
，
整理，得；
（2）
直角三角形的面积为54，，
，，
，
小正方形的面积，
小正方形的边长为3．
37．（23-24八年级·江苏南京·期中）如图，，，垂足分别为，，交于点，，．
(1)求证；
(2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键．
（1）根据证明得出，即可推出结论；
（2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论．
【详解】（1）证明：设交于点F，如图，
，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
即．
（2）解：如图，连接、，
，
，，，．
．
，
．
．
即．
38．（23-24八年级·河南驻马店·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，．
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：．
(2)若直角三角形的面积为，，求小正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，算术平方根．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式，算术平方根是解题的关键．
（1）由题意知，，整理作答即可；
（2）由题意知，，根据小正方形的边长为，计算求解即可．
【详解】（1）证明：由题意知，，
∴；
（2）解：由题意知，，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的边长为3．
39．（23-24八年级·四川乐山·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c．
(1)请利用“赵爽弦图”证明：；
(2)若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解题的关键．
（1）根据小正方形的面积加上四个直角三角形的面积等于大正方形的面积即可证明；
（2）根据（1）中得到的计算即可．
【详解】（1）解：直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c，
小正方形的面积四个直角三角形的面积大正方形的面积，
，
，
；
（2）解：由题意可得：，
即，
，
故一个直角三角形的面积为．
40．（21-22八年级·河北石家庄·期末）【问题情境】上课时，小明用4张全等的直角三角形纸片拼成如图1的正方形．
（1）利用此图可以验证勾股定理吗？如果可以，请写出验证过程，如果不可以，请说明理由；
【灵活运用】
（2）现将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为 ；
（3）用三张正方形纸片，按如图3所示方式构成图案，下面是三张正方形纸片面积的选取情况，若要使所围成的三角形是直角三角形，可以选取 ；(填序号)
①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5．
【答案】（1）利用此图可以验证勾股定理；理由见解析；（2）28；（3）①②④
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证及应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）根据空白部分的面积的两种表示方法即可求解；
（2）用边长为c的正方形减去两个三角形的面积即可得出答案；
（3）根据三角形为直角三角形，则面积最大的正方形的面积等于其他两个正方形的面积和，据此逐一判断即可．
【详解】解：（1）空白部分可以看作边长为c的正方形，则正方形的面积为，
空白部分的面积可以用边长为的正方形的面积减去周围4个直角三角形的面积，即中间空白部分面积为：，
∴；
（2）根据勾股定理得：，
∵两个直角三角形向内折叠后没有重叠部分，
∴空白部分的面积为：；
故答案为：28；
（3）若三角形为直角三角形，则面积最大的正方形的面积等于其他两个正方形的面积和，
①当三张纸片面积为1，2，3时，
∵，
∴中间所围成的三角形是直角三角形；
②当三张纸片面积为2，2，4，
∵，
∴中间所围成的三角形是直角三角形；
③当三张纸片面积为3，4，5，
∵，
∴中间所围成的三角形不是直角三角形；
④当三张纸片面积为2，3，5，
∵
∴中间所围成的三角形是直角三角形；
故答案为：①②④．
五、题型五：以弦图为背景的计算题，难度四星，10题
41．（23-24八年级·浙江金华·期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合运算等知识，数形结合是解题的关键．根据勾股定理得到，根据内部小正方形面积为9得到，解得，再由最外围的大正方形的边长是即可求出答案．
【详解】解：小长方形的宽是a，长是b，，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
∵内部小正方形面积为9，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴最外围的大正方形的边长是，
故选：D
42．（23-24八年级·四川成都·期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理在几何图形中的应用，通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后即可求出风车外围的周长，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，又∵为直角三角形，将长度为的边延长一倍长度为，
∴由勾股定理知，延伸后斜边长为，
又∵四个直角三角形全等，
∴这个风车外围周长为，
故选：．
43．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明，设小直角三角形的较长边长为较小直角边长为，根据题意求出的值，再根据图形表示出阴影部分的面积即可求解．
【详解】，设小直角三角形的较长边长为较小直角边长为，
则，
∵直角三角形的一个锐角为，
∴
∴
∴，
由图②可知，阴影部分的面积，
故选：D．
44．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，以及完全平方公式，正确根据图形的关系求得和的值是关键；
求出小直角三角形的面积，得出的值，根据勾股定理求出等于大正方形的面积，然后根据完全平方公式求解即可．
【详解】大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，
一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，
，即，
，
，即，
或（不符合题意舍去），
故选：C．
45．（23-24八年级·浙江湖州·期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理；设，．则正方形ABCD的面积，根据正方形的面积是小正方形面积的倍，得出，即可求解．
【详解】解：由题意可知，
∵正方形的面积是小正方形面积的倍，
∴
∴
∴
即
故选：C．
46．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，分别在，上取点，，使得，得四边形．若大正方形的边长为，且，设四边形的面积为，正方形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，解方程组，面积的计算．设四个全等的直角三角形的两直角边长为，，则由大正方形的边长为，且，可求出，，再求出，，即可解决问题．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长为，（不妨设，
，，
正方形的边长为，
，①
，
，②
解①②得：，，或，（舍去），
，，，，
∴四边形的面积为，
正方形的面积为，
∴，
故选：D．
47．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ．
【答案】32
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．
【详解】解：如图，
由题意得，，是直角三角形，
则大正方形面积，
面积，
阴影部分的面积，
故答案为：32
48．（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为1，连接四条线段得到如图2新的图案，则阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查赵爽弦图，勾股定理，图形面积计算，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
标上必要的字母，利用勾股定理列方程求出的长即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，由题意，得，，，
设，
则，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，（舍去），
阴影部分的面积，
故答案为：5．
49．（23-24八年级·湖南长沙·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．若，，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、全等三角形的判定和性质、三角形的面积的计算、正方形的性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再根据勾股定理和三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，解得：，
∴，
∴，
∴，
如图：连接交于M，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故答案为．
50．（2024八年级·全国·竞赛）国际数学家大会的会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5．则中间小正方形的面积是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，正方形各边长相等的性质，正确列出方程组并且求解是解题的关键．设两条直角边分别为，且，则，再求出的值即可．
【详解】解：设两条直角边分别为，且，
则，
小正方形的面积为．
故答案为：1
六、题型六：用勾股定理构造图形解决问题，难度三星，10题
51．（23-24八年级·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理在实际情况中应用，正确挖掘隐含条件是解题的关键．
通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长即可．
【详解】解：如图：
由题意可知：
∵，
∴，即，
∴，
∴这个风车的外围周长是．
故选：B．
52．（23-24七年级·山东烟台·期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约（ ）米处折断
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意列出方程并解答即可；利用勾股定理列出方程是关键．
【详解】解：如图，由题意知：，
设，
，
，
，
解得：，
∴这棵大树离地面约，
故选：C．
53．（23-24八年级·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为，
根据勾股定理，可得另一直角边长为，
则需购买红地毯的长为，
又因为红地毯的宽，即台阶的宽为，
所以共需购买红地毯．
故选：A．
54．（23-24八年级·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】设绳索的长是，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即绳索的长是，
故选：B．
55．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知．
(1)求当x等于何值时，
(2)当时，求的长．
(3)利用图形求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想
（1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可．
（2）当时，，利用勾股定理计算即可．
（3）根据得，
构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可．
【详解】（1）根据题意，，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（2）根据题意，，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
故．
（3）根据得，
构造．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长到点F，过点A作于点F，
则四边形是矩形，
故．
故．
56．（23-24八年级·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．
【答案】绳子的长度为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，四边形是矩形，，设绳子的长度为，则，再由勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，根据勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，，四边形是矩形，
，
，
设绳子的长度为，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：绳子的长度为．
57．（23-24八年级·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积．
【答案】这块地的面积是．
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接，根据勾股定理先求出，再利用周长求出，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可解答．
【详解】解：连接，
，，
在中，根据勾股定理，得
，
四边形的周长为，
，
，
在中，，
，
，
为直角三角形，
，
答：这块地的面积是．
58．（23-24八年级·吉林四平·期末）一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识．连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到，
利用割补法即可求出该田地的面积．
【详解】解：连接，
在中，根据勾股定理，可得，
∵，
∴
∴是直角三角形，
∴，
∴该田地的面积＝的面积-的面积
=
答：该田地的面积是．
59．（22-23八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
(1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）
(2)此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】(1)米
(2)不能
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键．
（1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可；
（2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可．
【详解】（1）解：∵，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴求男子需向右移动的距离为米；
（2）解：由题意知，需收绳的绳长（米），
∴此人的收绳时间为秒，
∵，
∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
60．（23-24八年级·贵州贵阳·期中）如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【答案】
【分析】本题考查蚂蚁爬行最短距离问题，涉及圆柱的侧面展开图、勾股定理求线段长等知识，读懂题意，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可得到答案，掌握此类题型的解题方法，熟悉圆柱侧面展开图是解决问题的关键．
【详解】解：由题意侧面展开得到下图所示：
圆柱底面半径为，高为，
，，
在中，，则由勾股定理可得，
答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是．
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专题04 勾股定理（六大题型，60题）（原卷版）
目录
一、题型一：勾股数问题，难度三星，10题 1
二、题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积，难度四星，10题 2
三、题型三：勾股定理与折叠问题，难度四星，10题 5
四、题型四：勾股定理的证明方法，难度三星，10题 8
五、题型五：以弦图为背景的计算题，难度四星，10题 11
六、题型六：用勾股定理构造图形解决问题，难度三星，10题 14
一、题型一：勾股数问题，难度三星，10题
1．（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．10，14，15 C．8，11，12 D．6，8，10
2．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A． B．4，5，6 C． D．10，24，26
3．（22-23八年级·广东茂名·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．12，16，20 D．
4．（23-24八年级·四川巴中·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，；，，；，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13
6．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．，， C．3，4，5 D．，，
8．（21-22八年级·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．， ， C．6，8，10 D．1，2，
9．（23-24八年级·河北承德·期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）．
10．（23-24八年级·湖北恩施·期末）观察下列表格中数组的规律．
组别 数字 等式
1 3，4，5
2 5，12，13
3 7，24，25
4 9，40，41
… … …
根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ．
二、题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积，难度四星，10题
11．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为( )
A． B．
C． D．
13．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，在边长为6的正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别记为，，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．17
14．（22-23八年级下·贵州遵义·期中）有一个边长为1的大正方形，经过2次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A．2024 B．2023 C． D．
15．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．
16．（2024八年级·全国·竞赛）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次为，则之间的关系正确的是（ ）
A．或 B．
C． D．
17．（23-24八年级·浙江湖州·期末）如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形CHET的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和9，则b的面积为 ．
19．（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ．
20．（23-24八年级·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．
三、题型三：勾股定理与折叠问题，难度四星，10题
21．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 ( )
A． B．
C． D．
22．（23-24八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点A在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．则点的坐标为
23．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．
24．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点为轴上一点，把直线沿翻折，点刚好落在轴的负半轴上，则点的坐标为 ．
25．（22-23八年级·浙江绍兴·期中）如图，是一张直角三角形的纸片，，，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 ．
26．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ．
27．（23-24八年级·宁夏中卫·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ．
28．（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ．
29．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
(1)求的长；
(2)求的长．
30．（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长．
四、题型四：勾股定理的证明方法，难度三星，10题
31．（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
32．（23-24八年级·河北石家庄·期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（ ）
甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形
乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形
A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以
C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以
33．（23-24七年级·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ．
34．（23-24八年级·福建泉州·期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ．
35．（23-24八年级·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现．
（1） ；
（2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为 ．
36．（22-23八年级·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，．
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：；
(2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长．
37．（23-24八年级·江苏南京·期中）如图，，，垂足分别为，，交于点，，．
(1)求证；
(2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理．
38．（23-24八年级·河南驻马店·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，．
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：．
(2)若直角三角形的面积为，，求小正方形的边长．
39．（23-24八年级·四川乐山·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c．
(1)请利用“赵爽弦图”证明：；
(2)若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．
40．（21-22八年级·河北石家庄·期末）【问题情境】上课时，小明用4张全等的直角三角形纸片拼成如图1的正方形．
（1）利用此图可以验证勾股定理吗？如果可以，请写出验证过程，如果不可以，请说明理由；
【灵活运用】
（2）现将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为 ；
（3）用三张正方形纸片，按如图3所示方式构成图案，下面是三张正方形纸片面积的选取情况，若要使所围成的三角形是直角三角形，可以选取 ；(填序号)
①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5．
五、题型五：以弦图为背景的计算题，难度四星，10题
41．（23-24八年级·浙江金华·期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
42．（23-24八年级·四川成都·期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A． B． C． D．
43．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
44．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
45．（23-24八年级·浙江湖州·期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（ ）．
A． B．
C． D．
46．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，分别在，上取点，，使得，得四边形．若大正方形的边长为，且，设四边形的面积为，正方形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
47．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ．
48．（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为1，连接四条线段得到如图2新的图案，则阴影部分的面积为 ．
49．（23-24八年级·湖南长沙·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．若，，则的面积为 ．
50．（2024八年级·全国·竞赛）国际数学家大会的会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5．则中间小正方形的面积是 ．
六、题型六：用勾股定理构造图形解决问题，难度三星，10题
51．（23-24八年级·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
52．（23-24七年级·山东烟台·期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约（ ）米处折断
A． B． C． D．
53．（23-24八年级·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（ ）
A． B． C． D．
54．（23-24八年级·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C．6 D．
55．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知．
(1)求当x等于何值时，
(2)当时，求的长．
(3)利用图形求代数式的最小值．
56．（23-24八年级·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．
57．（23-24八年级·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积．
58．（23-24八年级·吉林四平·期末）一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积．
59．（22-23八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
(1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）
(2)此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
60．（23-24八年级·贵州贵阳·期中）如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
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