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专题05 勾股定理的应用（八大题型，50题）（解析版）
目录
一、题型一：求梯子滑落高度，10题 1
二、题型二：求旗杆高度，5题 9
三、题型三：求小鸟飞行距离，5题 13
四、题型四：求大树折断前的高度，5题 18
五、题型五：解决水杯中筷子问题，5题 21
六、题型六：解决航海问题，5题 25
七、题型七：判断汽车是否超速，5题 29
八、题型八：求最短路径，10题 33
一、题型一：求梯子滑落高度，10题
1．（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为米．如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，本题中求的长度是解题的关键．
在直角三角形中，已知根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知即可求得的长度，根据即可求得的长度．
【详解】解：在直角中，已知，
则，
∵
∵在直角中，，且为斜边，
，
故选：C．
2．（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端在上运动，量得滑杆底端距点的距离为，当底端向右移动到达点，顶端到达点时，求滑杆顶端下滑 米．
【答案】
【分析】本题考查正确运用勾股定理，由题意可知滑杆与、正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算善于观察题目的信息是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，
，
∴，
∴滑杆顶端下滑米，
故答案为：．
3．（23-24八年级·福建三明·期末）综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，．
（1）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从底部B沿水平方向向前滑动到位置上（云梯长度不改变），则顶端A上滑到，若，求的长度．
（2）【问题解决】在演练中，高24m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被困人员？
【答案】（1）；（2）能够到达
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出；
（2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员．
【详解】解：（1）在中，，
∵，，
∴，
在中，，
∴；
（2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，
∵，，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员．
4．（23-24八年级·江苏常州·期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？
【答案】26米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．作地面于点，于点，在中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，作地面于点，于点，
由题意得：米，米，米．
米， （米．
在中，由勾股定理得，
（米．
答：云梯需要伸长26米才能到达着火处．
5．（23-24八年级·江西九江·期末）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了，木板顶端向下滑动了，求出的距离和这块木板的长度．
【答案】，．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：由题意，得，，，，
设，则，
由勾股定理，得，
解得，，
∴，
答：的距离是，这块木板的长度是．
6．（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？
【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米．
【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可．
本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】过点作交于点，
由题意得，
在中，
，
设，则，
在中，
，哇
∴，
解得，
工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处．
7．（23-24八年级·山东菏泽·期末）如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端与墙的距离长，求这个梯子顶端与地面的距离有多少米？如果梯子顶端下滑了，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了吗？请计算说明．
【答案】，梯子的底端在水平方向上不是滑动了，见解析
【分析】此题考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理求出，再求出，再根据勾股定理求出进而即可求解．
【详解】解：在中，
，
．
，
，
在中，，
．
故这个梯子的顶端距地面．梯子的底端在水平方向上不是滑动了，而是滑动了．
8．（23-24八年级·贵州六盘水·期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯斜靠在墙上，已知米，云梯的长度比云梯底端到墙角距离长18米．
(1)求云梯的长度；
(2)现云梯顶端下方4米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动距离为多少米．
【答案】(1)云梯的长度为25米
(2)为8米
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
（1）设米，则米，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可；
（2）根据题意可得：米，米，（米），则米，根据勾股定理可得（米），最后根据即可求解．
【详解】（1）解：设米，则米，
根据勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴云梯的长度为25米．
（2）解：根据题意可得：米，米，（米），
∴米，
根据勾股定理可得：（米），
∴（米）．
9．（23-24八年级·广东梅州·期中）西城中学“主题开放日”到了，曹师傅正在对活动会场进行精心布置．如图，曹师傅将梯子斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的距离长为．底端到墙面的距离为．
(1)求曹师傅所用梯子的长度；
(2)若梯子的底端B向墙角内移动到时，顶端A向上滑动到，求的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查勾股定理的应用：
（1）利用勾股定理求解；
（2）梯子移动前后长度不变，用勾股定理解求出，即可求出的长．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
由勾股定理得：，
即曹师傅所用梯子的长度为；
（2）解：，
在中，，
由勾股定理得：，
．
即的长为．
10．（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离．
【答案】男子向右移动的距离为7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，米，米，
在中，米.
（米），
在中，米，
（米）.
即男子向右移动的距离为7米.
二、题型二：求旗杆高度，5题
11．（23-24八年级·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？
小明不完整的求解过程如下：
(1)设米，则 （用含的代数式表示）
(2)请帮小明求出的值．
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题考查勾股定理的应用，
（1）用表示处，在中，根据勾股定理即可用含的代数式表示；
（2）在中，用的代数式表示处，根据，列方程即可解出；
能灵活运用勾股定理列代数式、列方程是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：，，，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题知：，，，，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴旗杆的高度为米．
12．（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，求解即可．
【详解】，，
，
在中
，，
设秋千的绳索长为，则，
，
解得：
绳索的长度．
13．（23-24八年级·山东烟台·期末）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．
(1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度；
(2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方．
【答案】(1)不正确的，10米
(2)388
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出的长是解题的关键．
（1）设米，则米，在中，利用勾股定理列方程，求出x，结合即可得出结论；
（2）由题意得米，则米，在中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：小明的猜想是不正确的；理由如下：
由题意可知：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米；
（2）解：由题意可知：，
，
中，由勾股定理得：，
即，
焊接的钢索BF的长的平方为388．
14．（23-24八年级·河南周口·期末）如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板离地高为，将它往前推进到（即的长为，且），此时踏板离地的高为．求秋千绳索的长度．
【答案】秋千绳索的长度为米
【分析】本题考查了勾股定理的运用，由题意易得，设，在中，由勾股定理建立方程，即可作答．理解题意，利用勾股定理建立方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵踏板A离地高为，为，
∴，
∵的长为，
设，，
∴在中，，即
解得，
故秋千绳索的长度为米．
15．（23-24八年级·甘肃白银·期末）风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为米；（注：）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降米到点的位置，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米
(2)他应该往回收线米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理求出，然后即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，
（米），
风筝的垂直高度为米；
（2）由题意得米，
（米），
（米），
（米）
他应该往回收线米．
三、题型三：求小鸟飞行距离，5题
16．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
由题意可知，，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，
它要飞回巢中所需的时间至少是（），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．
17．（23-24八年级·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键．
如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图：过点D作于点E，则米，
∵米，
∴（米），
在中，由勾股定理得到：（米），
故答案为：2．
18．（23-24八年级·广东河源·期末）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
【答案】15
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，米，米，
设米，则米，
∵两只猴子所经过的距离相等，
∴，即，
∴米，
在中，可有，
即，
解得，
∴米，
即这棵树高15米．
故答案为：15．
19．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)15米；
(2)米
【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，
，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
20．（22-23八年级下·山东聊城·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米；
(2)7米．
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：连接，由题意得，米，
，
（米），
（米），
他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形．
四、题型四：求大树折断前的高度，5题
21．（23-24八年级·山西晋中·期中）如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（ ）
A．1.2米到1.3米之间 B．1.3米到1.4米之间
C．1.4米到1.5米之间 D．1.5米到1.6米之间
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，无理数的估算，先由勾股定理求出的长度，再用“夹逼法”估算即可求解．
【详解】解：由勾股定理，得
(米)
∵，，
∴
∴的长度在1.4米到1.5米之间
故选：C．
22．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
【答案】18
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵是直角三角形，
∴，
∴大树的高度，
故答案为：18．
23．（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，，
，
，
，
这棵树原来的总高度为：．
24．（23-24八年级·山东青岛·期中）如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？
【答案】这个梯子有米长．
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，首先利用勾股定理逆定理求得的长，然后再利用勾股定理求得斜边的长即可，解题的关键是能够从实际问题中抽象出直角三角形．
【详解】解：由已知可得：米，米，米，米，，
∴米，
∴，
∴，
∴，
∵米，
由勾股定理得：，
∴（米），即这个梯子的长应是米，
答：这个梯子有米长．
25．（21-22八年级下·陕西安康·期末）一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为6.5，点在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离．
【答案】大树顶端着地处到小轿车的距离为0.5
【分析】根据题意已知，，然后根据勾股定理求得，即可获得答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴．
∴大树顶端着地处到小轿车的距离为0.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求解是解题关键．
五、题型五：解决水杯中筷子问题，5题
26．（23-24八年级·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设湖水的深度尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，运用勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺，
在直角三角形中，根据勾股定理得，，
解得，
故选：．
27．（23-24八年级·河南焦作·期中）如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 ．
【答案】
【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，作直角三角形，再利用勾股定理即可解答．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图所示，是直角三角形，
∵底面半径为，高为，
，，
由勾股定理得：，
∴吸管露在杯口外的长度最少为：，
故答案为：5cm．
28．（21-22八年级下·河北保定·期末）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．图中 尺；水的深度是 尺；这根芦苇的长度是 尺．
【答案】 1 12 13
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，找到解题需要的，设水深为x尺，表示斜边的长，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意可得：尺，
设水深为x尺，芦苇尺，尺
中，由勾股定理：，
解得：，
所以，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
故答案为：1，12，13．
29．（20-21八年级·全国·假期作业）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．
【答案】12
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，
尺，
尺
在中，，
解得，
即芦苇长13尺，
水深为（尺），
故答案为：12．
30．（23-24八年级·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；
(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
【答案】(1)最短路程是20cm
(2)筷子的最大长度是cm
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。
【详解】（1）解：如图1所示：
图1
由题意得：，，
∴，
在中，由勾股定理得；
∴最短路程是20cm；
（2）将筷子斜着放，
∵，，
∴
∴，
即筷子的最大长度是cm．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。
六、题型六：解决航海问题，5题
31．（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，由题意可得，的长，再利用勾股定理求出的长，根据速度路程时间可得答案．熟练掌握方向角的定义、勾股定理是解答本题的关键．
【详解】解：设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，
由题意得，，(海里)，(海里)，
由勾股定理得，OA(海里)，
∴乙轮船的平均速度为2(海里/时)．
故选：D．
32．（23-24八年级·河北保定·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，0.5小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，则乙船的航速是（ ）
A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时
【答案】B
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理求直角三角形的线段长是解题的关键．
由题意知，，，，由勾股定理得，根据乙船的航速是，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
由勾股定理得，
∴乙船的航速是（海里/时），
故选：B．
33．（2024八年级下·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】西北方向
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据路程速度时间分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解．
【详解】解：根据题意，得
（海里），
（海里），
（海里），
，
即，
．
由“远航号”沿东北方向航行可知，，则，
即“海天”号沿西北方向航行．
34．（23-24八年级·福建三明·期中）如图，一艘轮船由港口沿着北偏东的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口．
(1)求，两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)港口在港口的什么方向上？
【答案】(1)
(2)港口在港口的南偏西的方向上
【分析】本题考查了勾股定理的应用和方向角；
（1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长；
（2）由（1）可得，求出即可．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
根据勾股定理，知．
答：A、C两港之间的距离是；
（2）由（1）知，是等腰直角三角形，且，
∴
∴,
∴港口在港口的南偏西的方向上．
35．（23-24八年级·广东深圳·期中）港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【答案】(1)游轮距离岸边还有
(2)绳子被收上来
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用；
（1）在中，运用勾股定理算出，根据题意得出，再在中运用勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理算出即可求解；
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
∴，
∴中，，
∴游轮距离岸边还有．
（2）解：由题知，，
∴，
∴绳子被收上来．
七、题型七：判断汽车是否超速，5题
36．（23-24八年级·宁夏银川·期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行 速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了5秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？
【答案】这辆小汽车没有超速
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长，直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】解：在中，
米，米，且为斜边，
米，
（米/秒）
，
，
这辆小汽车没有超速．
37．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪A间距离为100米．
(1)求的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)
(2)辆小汽车超速了
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据速度=路程÷时间，求出速度即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
根据勾股定理可得：
（2）解：，
∵，
∴辆小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
38．（22-23八年级·陕西榆林·阶段练习）某市规定：小汽车在城市道路上行驶的速度不得超过（约为）．如图，一辆小汽车在该市一条城市道路上由东向西行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为，问这辆小汽车是否超速？请说明理由．
【答案】这辆小汽车没有超速，理由见解析．
【分析】先根据勾股定理求得，再根据题意求得小汽车的速度，然后再与比较即可解答．
【详解】解：这辆小汽车没有超速．理由如下：
根据题意，在中，，
根据勾股定理: ，
所以小汽车的速度为．
因为，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求得是解答本题的关键．
39．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)见解析，80米
(2)超速，见解析
【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）过点A作，交l于点D．
，
在中，，
由勾股定理得
，
新路长度是80米．
（2）该车超速
在中，，
由勾股定理得
，
该车经过区间用时
∴该车的速度为
该车超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
40．（21-22八年级下·云南昭通·期中）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
【详解】解：由题意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，
根据勾股定理，可以求得BC＝40米＝0.04千米，
且2秒时，所以速度为千米/时，
∵72>70，∴该小汽车超速了．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键．
八、题型八：求最短路径，10题
41．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
【答案】C
【分析】
本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案．
【详解】
解：展开图：
（米，
（米，
（米，
故选：C．
42．（22-23八年级·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）cm．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．如图，将长方体侧面展开，连接，求出的长度即可．
【详解】解：将长方体展开，连接，
∵，，
根据两点之间线段最短，．
故选：A．
43．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．
【详解】解∶展开圆柱，侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即，矩形的宽是圆柱的高．
根据两点之间线段最短，
最短路程是矩形的对角线的长，
即，
故选：C．
44．（23-24八年级·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出的距离．
【详解】解：将半圆面展开可得：
米，米，
在中，（米）．
即滑行的最短距离为22米．
故选：C．
45．（22-23八年级·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
∵圆柱底面的周长为，圆柱高为，
∴，
∴，
∴，
∴这圈金属丝的周长最小为．
故答案为：．
46．（22-23八年级·山东青岛·期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为，高为，则一只小虫从下底点处爬到上底处，则小虫所爬的最短路径长是（取3） ．
【答案】15
【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开式关键．
先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【详解】解：展开圆柱的侧面如图，
根据两点之间线段最短就可以得知最短．
由题意，得，
在中，由勾股定理，得．
故答案为：．
47．（23-24七年级·辽宁本溪·阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表而从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：由题意得：
①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：
，
∴在中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
，
∴在中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是25，
由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为：25．
48．（22-23八年级·山东济南·阶段练习）有一个圆柱体放在水平面上，如图，在距离地面的B处有一食物，在A处的蚂蚁为了很快吃到B处的食物，请问在最短时间内能吃到食物，蚂蚁爬的距离是多远？（已知：，底面圆在半径，圆周率）
【答案】
【分析】本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求出结果．
【详解】解：如图，的长就是蚂蚁爬行的最短距离，
根据题意，得，，，
∴，
即蚂蚁爬的距离是．
49．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，蚂蚁在长方体木块的顶点处，长方体木块的长、宽、高分别是，，，在、两点的中点处有一滴蜜糖，蚂蚁要从处爬到处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是多少？
【答案】从处爬到处的最短路程是
【分析】本题考查了平面展开图—路径最短问题，解题的关键是数形结合．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短求解即可．
【详解】解：如图1展开，连接，则的长就是从处爬到处的最短路程，
在中，
，，
由勾股定理得：，
即从处爬到处的最短路程是．
50．（22-23八年级·四川眉山·期末）如图，有一圆柱形物体高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的上端内侧距上底的点处有一苍蝇，求蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长．
【答案】蜘蛛所走的最短路线的长度是．
【分析】本题考查了有关最短路径的问题，熟练掌握勾股定理，把立体图形展开成平面图形，找出最短路径是解答本题的关键．
根据题意，先展开圆柱的侧面，即是长方形，根据蜘蛛在外侧，苍蝇在内测，利用两点之间线段最短，分析得到即为所求，然后利用勾股定理求出答案．
【详解】解：根据题意，如图将圆柱形玻璃容器的侧面展开，线段是蜘蛛由到的最短路程．
，，
．
即蜘蛛所走的最短路线的长度是．
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专题05 勾股定理的应用（八大题型，50题）（原卷版）
目录
一、题型一：求梯子滑落高度，10题 1
二、题型二：求旗杆高度，5题 4
三、题型三：求小鸟飞行距离，5题 6
四、题型四：求大树折断前的高度，5题 8
五、题型五：解决水杯中筷子问题，5题 9
六、题型六：解决航海问题，5题 10
七、题型七：判断汽车是否超速，5题 12
八、题型八：求最短路径，10题 14
一、题型一：求梯子滑落高度，10题
1．（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为米．如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端在上运动，量得滑杆底端距点的距离为，当底端向右移动到达点，顶端到达点时，求滑杆顶端下滑 米．
3．（23-24八年级·福建三明·期末）综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，．
（1）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从底部B沿水平方向向前滑动到位置上（云梯长度不改变），则顶端A上滑到，若，求的长度．
（2）【问题解决】在演练中，高24m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被困人员？
4．（23-24八年级·江苏常州·期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？
5．（23-24八年级·江西九江·期末）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了，木板顶端向下滑动了，求出的距离和这块木板的长度．
6．（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？
7．（23-24八年级·山东菏泽·期末）如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端与墙的距离长，求这个梯子顶端与地面的距离有多少米？如果梯子顶端下滑了，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了吗？请计算说明．
8．（23-24八年级·贵州六盘水·期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯斜靠在墙上，已知米，云梯的长度比云梯底端到墙角距离长18米．
(1)求云梯的长度；
(2)现云梯顶端下方4米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动距离为多少米．
9．（23-24八年级·广东梅州·期中）西城中学“主题开放日”到了，曹师傅正在对活动会场进行精心布置．如图，曹师傅将梯子斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的距离长为．底端到墙面的距离为．
(1)求曹师傅所用梯子的长度；
(2)若梯子的底端B向墙角内移动到时，顶端A向上滑动到，求的长．
10．（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离．
二、题型二：求旗杆高度，5题
11．（23-24八年级·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？
小明不完整的求解过程如下：
(1)设米，则 （用含的代数式表示）
(2)请帮小明求出的值．
12．（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
13．（23-24八年级·山东烟台·期末）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．
(1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度；
(2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方．
14．（23-24八年级·河南周口·期末）如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板离地高为，将它往前推进到（即的长为，且），此时踏板离地的高为．求秋千绳索的长度．
15．（23-24八年级·甘肃白银·期末）风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为米；（注：）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降米到点的位置，则他应该往回收线多少米？
三、题型三：求小鸟飞行距离，5题
16．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
17．（23-24八年级·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
18．（23-24八年级·广东河源·期末）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
19．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
20．（22-23八年级下·山东聊城·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
四、题型四：求大树折断前的高度，5题
21．（23-24八年级·山西晋中·期中）如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（ ）
A．1.2米到1.3米之间 B．1.3米到1.4米之间
C．1.4米到1.5米之间 D．1.5米到1.6米之间
22．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
23．（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
24．（23-24八年级·山东青岛·期中）如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？
25．（21-22八年级下·陕西安康·期末）一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为6.5，点在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离．
五、题型五：解决水杯中筷子问题，5题
26．（23-24八年级·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
27．（23-24八年级·河南焦作·期中）如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 ．
28．（21-22八年级下·河北保定·期末）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．图中 尺；水的深度是 尺；这根芦苇的长度是 尺．
29．（20-21八年级·全国·假期作业）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．
30．（23-24八年级·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；
(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
六、题型六：解决航海问题，5题
31．（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时
32．（23-24八年级·河北保定·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，0.5小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，则乙船的航速是（ ）
A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时
33．（2024八年级下·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
34．（23-24八年级·福建三明·期中）如图，一艘轮船由港口沿着北偏东的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口．
(1)求，两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)港口在港口的什么方向上？
35．（23-24八年级·广东深圳·期中）港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
七、题型七：判断汽车是否超速，5题
36．（23-24八年级·宁夏银川·期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行 速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了5秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？
37．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪A间距离为100米．
(1)求的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
38．（22-23八年级·陕西榆林·阶段练习）某市规定：小汽车在城市道路上行驶的速度不得超过（约为）．如图，一辆小汽车在该市一条城市道路上由东向西行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为，问这辆小汽车是否超速？请说明理由．
39．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
40．（21-22八年级下·云南昭通·期中）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
八、题型八：求最短路径，10题
41．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
42．（22-23八年级·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）cm．
A． B．
C． D．
43．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
44．（23-24八年级·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
45．（22-23八年级·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ．
46．（22-23八年级·山东青岛·期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为，高为，则一只小虫从下底点处爬到上底处，则小虫所爬的最短路径长是（取3） ．
47．（23-24七年级·辽宁本溪·阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表而从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
48．（22-23八年级·山东济南·阶段练习）有一个圆柱体放在水平面上，如图，在距离地面的B处有一食物，在A处的蚂蚁为了很快吃到B处的食物，请问在最短时间内能吃到食物，蚂蚁爬的距离是多远？（已知：，底面圆在半径，圆周率）
49．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，蚂蚁在长方体木块的顶点处，长方体木块的长、宽、高分别是，，，在、两点的中点处有一滴蜜糖，蚂蚁要从处爬到处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是多少？
50．（22-23八年级·四川眉山·期末）如图，有一圆柱形物体高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的上端内侧距上底的点处有一苍蝇，求蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长．
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