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专题06 勾股定理的逆定理（六大题型，60题）（解析版）
目录
一、题型一：判断三边能否构成直角三角形，难度三星，10题 1
二、题型二：图形上与已知两点构成直角三角形的点，难度四星，10题 12
三、题型三：在网格中判断直角三角形，难度三星，10题 28
四、题型四：利用勾股定理的逆定理求解，难度三星，10题 39
五、题型五：勾股定理的逆定理，难度三星，10题 46
六、题型六：勾股定理的逆定理拓展问题，难度四星，10题 55
一、题型一：判断三边能否构成直角三角形，难度三星，10题
1．（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）下列各组数中，以，，为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
2．（23-24八年级·四川成都·期末）能判断是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．，
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定等知识，分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
B. ∵，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
C. 设，则，∵，∴是直角三角形，故原选项符合题意；
D. ∵，，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意．
故选：C
3．（23-24八年级·四川成都·期末）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了非负性、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0是解题的关键．由等式可分别得到关于a、b、c的等式，然后得到a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵，且，
∴为等腰直角三角形．
故选：A．
4．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，点是正方形内一点；点到点A，B和的距离分别为和．是等腰直角三角形，连接，延长与相交于点．
(1)求证：．
(2)求的大小．
(3)求正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质可知，再根据等腰直角三角形的性质得到，，然后利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可求出的大小；
（3）作，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到，进而得到，再利用勾股定理即可求出正方形的边长．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
四边形是正方形，
∴，，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：由题意，得：，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
是直角三角形，
，
；
（3）解：作交于点E，
，，
，，
，
，
，
正方形的边长为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握相关性质和判断，灵活运用勾股定理的逆定理是解题关键．
5．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，D是的中点，交于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
（1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论；
（2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】（1）解：连接，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵D是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴设，则，
在中
∴，
解得：
∴．
6．（22-23八年级·四川遂宁·期末）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C受台风台风影响，理由见解析
(2)小时
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、勾股定理实际生活的应用等知识点，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）先根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，过点C作于D，再根据等面积法求得，然后再与比较即可解答；
（2）根据勾股定理求出斜边为的直角边，然后根据行程问题即可解答．
【详解】（1）解：海港C受台风台风影响． 理由如下：
，
，
是直角三角形， ，
过点C作于D，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心以内为内为受影响区，
海港C受台风影响．
（2）解：当时，正好影响C港口，
，
，
台风风的速度25干米/小时时
（小时）．
7．（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）若的三边长a、b、c 满足
(1)求证：是直角三角形；
(2)求其斜边上的高.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理等知识，根据“三个非负数的和为0，则这三个非负数都是0”求出a、b、c的值，熟知勾股定理逆定理是解题关键．
（1）根据几个非负数之和为0，则每个非负性各自为0即可求得a、b、c的值，然后根据勾股定理的逆定理可证明三角形是直角三角形．
（2）利用“面积法”即可求得斜边上的高．
【详解】（1）∵
∴，
∴．
∵，
即，
因此，是直角三角形．
（2）∵
∴c为直角的斜边，设斜边c上的高为h，
则
∴．
即斜边上的高为．
8．（22-23八年级·贵州毕节·期末）如图，在中，点B在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求和的长．
【答案】(1)见解析；
(2)的长为17，的长为9
【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；
（2）设，则，由勾股定理列出方程，计算即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：设，则，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
则，
故的长为17，的长为9．
9．（22-23八年级·四川达州·阶段练习）若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状．
【答案】是等腰直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，求不等组的最大整数解，非负数的性质，先根据非负数的性质求出；再解不等式组求出，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到是等腰直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为5，即，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴是等腰直角三角形．
10．（23-24八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，．
(1)如图①，若，过点作交轴于点，求点的坐标；
(2)如图②，若点在轴正半轴上运动，且，过点作交轴于点，连接，当时，求的度数．
(3)如图③，若是线段上的一个动点，点在内部，，，连结，设，求的面积关于的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的性质与判定；
（1）由可证，可得，即可求解；
（2）由面积法可得，可证，由可证，可得，由三角形内角和定理可求解；
（3）由勾股定理的逆定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由面积关系可求的面积，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，，
，
，
，
，
又， ，
，
，
点；
（2）如图2，过点作于，于，连接，
延长至，使，连接，
由（1）可得
， ， ，
，
，
， ，
平分，
，
，
，
， ，
，
又，
，
，
，
，
．
（3）如图所，连接，过点作于点，于点
，，
，，，
四边形是长方形，
，
，，
的面积为．
二、题型二：图形上与已知两点构成直角三角形的点，难度四星，10题
11．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．（20-21八年级·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
，
解得，m＝，
∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
13．（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个．
【答案】8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；
【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
14．（20-21八年级·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
15．（20-21八年级·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】7或17
【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC==135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
16．（20-21八年级·浙江湖州·期末）如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ．
【答案】(2，0)或（5，0）
【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标．
【详解】与轴交于点，
∴y=0，x=-1，
∴A(-1，0)，
直线与直线交于点，
，
解得，
∴B（2，3），
当点C为直角顶点时，
∴BC⊥AC，
∴BC∥y轴，
B、C横坐标相同，C（2，0），
当点B为直角顶点时，
∴BC⊥AB，
，k=1，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=，
AC==6，
AO=1，
CO=AC-AO=5，
C（5，0），
C点坐标为（2，0）或（5，0）．
故答案为：（2，0）或（5，0）．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键．
17．（21-22八年级·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，﹣8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG＝AF．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)当点E恰好是OD的中点时，求△ACG的面积；
(3)是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)yx﹣8
(2)192
(3)存在，m＝7或4
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b，即可求解；
（2）证明△EDC≌△EOF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝CD＝18，求出AG＝AF＝24，过点C作CH⊥x轴于点H，由三角形面积公式可得出答案；
（3）①当∠FGC＝90°时，AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC＝20，故点F（﹣14，0），即可求解；②当∠CGF＝90°时，则点G（18，0），则AF＝AG＝12，故点F（﹣6，0），即可求解．
【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b，
，
解得：，
∴直线的表达式为：yx﹣8；
（2）当y＝16时，x﹣8＝16，
解得x＝18，
∴点C的坐标为（18，16），
∴CD＝18，
∵E是OD中点，
∴DE＝OE，
∵∠CDE＝∠FOE，∠DEC＝∠OEF，
∴△EDC≌△EOF（ASA），
∴OF＝CD＝18，
∴AG＝AF＝OF+OA＝24，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∴S△ACG24×16＝192；
（3）①当∠FCG＝90°时，
AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC20，
故点F（﹣14，0），
由点C、F的坐标可得：直线CF的表达式为：yx+7，
故点E（0，7），则m＝7；
②当∠CGF＝90°时，则点G（18，0），
则AF＝AG＝12，
故点F（﹣6，0），
同理直线CF的表达式为：yx+4，
故m＝4；
综上可得，m＝7或4．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，直角三角形的存在性问题，灵活运用一次函数的性质和分类讨论思想是解题的关键．
18．（2020八年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A(a，0)点，B(0，b)，且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（3）若为直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）a＝2，b＝4；（2）P(﹣4，0)；（3）P(﹣4，2)或(﹣2，﹣2)
【分析】（1）a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0整理得（a﹣2）2+|2a+b|＝0，再根据非负数的性质求得a，b的值即可；
（2）点 P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB＝45°，得到OP＝OB＝4，即可得到P点坐标；
（3）由题意可知△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，则分∠ABP＝90°或∠BAP＝90°两种情况进行讨论即可.
【详解】解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，
∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，
∴a＝2，b＝4．
（2）由（1）知，b＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵点 P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB＝45°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（﹣4，0）；
（3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，
∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，
①当∠ABP＝90°时，
∵∠BAP＝45°，
∴∠APB＝∠BAP＝45°，
∴AB＝PB，
过点 P 作 PC⊥OB 于 C，
∴∠BPC+∠CBP＝90°，
∵∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BPC，
在△AOB和△BCP中，
∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，
∴△AOB≌△BCP（AAS），
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝2，
∴P（﹣4，2）；
②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA 于 D，
同①的方法得，△ADP'≌△BOA（AAS），
∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣OA＝2，
∴P'（﹣2，2）；
综上，满足条件的点 P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，非负数的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
19．（21-22八年级·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形 若存在，求出点P的坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或
【分析】(1)令，即可求解；
(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解；
(3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
所以点的坐标为；
（2）解：代入A、两点可得：，，
解得：，，
故，，
，
，
设原点到直线的距离为，
则，
解得：，
故原点到直线的距离为；
（3）解：存在，
设点的坐标为，根据题意可知不为直角，
所以当是直角三角形分两种情况：
①当时，此时点的坐标为；
②当，，
故，
解得：，
此时点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想．
20．（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或
(3)t=或2或
【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，，
∴BC=；
（2）解：由题意可知，分两种情况：①；②，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：
∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，
综上所述：当为直角三角形时，t=1或；
（3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③，
①当时，如图所示：
；
②当时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线，
，
；
③当时，如图所示：
设，则，
在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，
，
，
综上所述：t=或2或．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
三、题型三：在网格中判断直角三角形，难度三星，10题
21．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解： A、如图：
，，，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
22．（23-24八年级·河南平顶山·期末）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．点到直线的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，根据勾股定理求得进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A,B选项正确；
∴，故C选项错误；
设点到直线的距离是，则，
∴，故D选项正确
故选：C．
23．（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则 ．
【答案】45
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，从而可得是等腰直角三角形，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
由题意得：，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
24．（23-24八年级·福建福州·期末）如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】取格点E，连接、，根据平行线的性质得出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质求出，证明为直角三角形，，根据等腰三角形性质求出，即可求出结果．
【详解】解：取格点E，连接、，如图所示：
根据格点特点可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理．
25．（2024八年级·全国·竞赛）如图，长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形，现将外围的交点从1号到12号按顺序进行编号，点、分别在2号、6号和10号交点上，如果按顺时针方向同时移动三点，各点每次只移动到下一个交点，这样绕长方形外围一周回到原先的位置，在这个过程中，有 次成为直角三角形．
【答案】6
【分析】根据点的移动规规律、勾股定理及其逆定理即可得到答案，此题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．
【详解】解：共有六次情况成为直角三角形，如图1到图6，
如图1，∵，
∴，
∴是直角三角形，
同理可证其它5个三角形都是直角三角形，即共有6次成为直角三角形，
故答案为：6
26．（23-24八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
(1)作出关于y轴对称后的图形；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)图形见解析；
(2)为等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）本题考查画轴对称图形，根据对应点的连线被对称轴垂直平分直接画即可得到答案；
（2）本题考查勾股定理及逆定理，等腰三角形的定义，根据勾股定理求出各边，再根据勾股定理逆定理判断即可得到答案；
【详解】（1）解：根据对应点的连线被对称轴垂直平分找到，，，连接，，，如图，即为所求；
；
（2）解：由图像可得，
，，，
，，
，
为等腰直角三角形．
27．（23-24八年级·江苏徐州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．
(1)建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析，
(2)直角三角形，见解析
【分析】本题主要考查坐标与图形：
（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后写出点C的坐标即可；
（2）求出三角形各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图，
点C的坐标为：，
故答案为：；
（2）解：由勾股定理得，，
∴
∴是直角三角形，且．
28．（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图是由边长为1的小正方形拼成的网格图，请按要求画图：
(1)在图1中画一个钝角的等腰三角形，要求顶点C是格点；
(2)在图2中画一个等腰直角三角形，要求顶点D是格点；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征及等腰三角形的判定，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据网格线的特征及等腰三角形的判断作图；
（2）根据网格线的特征、勾股定理及等腰直角三角形的判断作图．
【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求；
∵，
∴
∵
∴为钝角等腰三角形．
（2）解：如图所示，点D即为所求；
∵，
∴，
∵
∴
∴为等腰直角三角形．
29．（23-24八年级·山西晋城·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中，以格点为顶点画一个面积为13的正方形．
(2)在图2中，以格点为顶点画一个三边为、、的三角形，并求出此三角形的面积是________．
(3)在图3中，以格点为顶点画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角三角形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，
(3)图见解析
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，网格图中判断直角三角形．
（1）根据题意，画出一边长为的正方形即可；
（2）根据题意，画出三角形，割补法求三角形的面积即可；
（3）根据题意画出直角三角形即可．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，正方形即为所求；
由勾股定理得：正方形的边长为；
（2）如图，即为所求；
由勾股定理得：；
由图可知：的面积为：．
（3）如图，即为所求；
由勾股定理，得：，
∴；
∴为直角三角形．
30．（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格线的交点上，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系，并写出点A的坐标；
(2)若点关于轴对称的点为，连接，，你认为是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
【分析】（1）根据点的坐标为，点的坐标为即可建立平面直角坐标系，进而即可写出点A的坐标；
（2）先求出点的坐标为，根据勾股定理求出，，，再根据勾股定理逆定理即可得到是直角三角形．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示，点A的坐标为；
（2）解：是直角三角形．
理由如下：由题意可知，点的坐标为．
∵，，
∴根据勾股定理得，，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的建立，关于轴对称的点的坐标特点，勾股定理及其逆定理等知识，熟知相关知识，建立平面直角坐标系是解题关键．
四、题型四：利用勾股定理的逆定理求解，难度三星，10题
31．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，首先根据勾股定理的逆定理可判定此三角形是直角三角形，则最大边上的中线即为斜边上的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴三边长分别为6，8，10的三角形是直角三角形，最大边是斜边为10，
∴最大边上的中线长为5，
故答案为：5．
32．（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）若的三边满足，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式，非负数的性质，三角形的面积，由，可得，根据非负数的性质可得，，，即得到，，，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可求解，由勾股定理的逆定理得到为直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴．
33．（22-23八年级·山东青岛·期中）有一块薄铁皮，，各边的尺寸如图所示，若沿对角线剪开，则得到的两块三角形铁皮的面积分别是多少？
【答案】，．
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先在中，由，可得为直角三角形；根据勾股定理得出，那么，由勾股定理的逆定理可得也为直角三角形．继而可求面积．
【详解】解：连接．
在中，∵，
∴为直角三角形；
∴，；
又∵，而，
∴，
∴为直角三角形．，
所以两块三角形铁皮的面积分别是，．
34．（22-23八年级·江苏扬州·期末）如图，中，，，，，，点是的中点，求的长．
【答案】．
【分析】此题主要考查直角三角形的性质，勾股定理的应用．根据勾股定理与直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形
∵点是的中点，
∴．
35．（23-24八年级·广东梅州·期中）如图是一块四边形草坪，已知，，，，求草坪的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，利用勾股定理求出的长，继而得到是直角三角形，两个直角三角形面积相加即可求得草坪的面积．
【详解】解：，，，
（），
（），
，，
，
是直角三角形，
（），
草坪的面积（）．
36．（23-24八年级·广东梅州·期中）如图，四边形中，，，，且，求：
(1)的长；
(2)的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）利用勾股定理计算即可求解；
（）利用勾股定理的逆定理可得到，又由等腰直角三角形的性质可得，利用角的和差关系即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
37．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，，，计算四边形的面积．
【答案】36
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：，，，
，
在中，，
是直角三角形，
．
答：四边形的面积是36．
38．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于，，，．
(1)求，的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)直角三角形，理由见解答
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键．
（1）在直角中利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】（1）解： ，
，
在 中，，
在 中，；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
由（1）知，
，
，
，
是直角三角形．
39．（21-22八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，是上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的边的长度．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，然后设，则，从而在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：，
，
设，
∵，
，
在中，，
，
，
解得：，
．
40．（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在中，点D是上的一点，，，，．求的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，先根据勾股定理得到的长，再根据线段的和差关系可求的长，注意熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是直角三角形，且，
∵在中，，
∴，
∴．
五、题型五：勾股定理的逆定理，难度三星，10题
41．（22-23八年级·山东青岛·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米，求种植草皮的面积是多少？
【答案】96平方米
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，
∵，
∴，
在中，，
而，
∴，
∴是直角三角形，，
∴种植草皮的面积为（平方米）．
42．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）由，，可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，利用角的和差关系即可求出；
（）由四边形的面积，计算即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，四边形的面积，利用勾股定理的逆定理得出是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴；
（2）解：四边形的面积．
43．（23-24八年级·河南郑州·期末）“农场小达人”社团计划在春天到来之前整修教学楼顶层的平台，用于建设菜园和花圃．如图，处是顶层平台自来水管的位置，，两处分别计划修建菜园和花圃，，两处相距，，两处相距，，两处相距．为了便于用水，小华在图纸上帮助设计了两种水管铺设方案．
甲方案：沿线段，铺设段水管．
乙方案：过点作的垂线，垂足为．沿线段，，铺设段水管
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)小华设计的哪一种方案需要铺设的水管更短？为什么？
【答案】(1)直角三角形，理由见解析
(2)甲方案铺设的水管更短，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由：，，，
，，
，
是直角三角形；
（2）甲方案铺设的水管更短，
理由：，
，
，
，
甲方案铺设的水管更短．
44．（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，米，米，米，米，求绿地的面积．
【答案】74平方米
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接将四边形问题转化为三角形问题是解题的关键．连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则根据四边形的面积直角的面积直角的面积可求出地的面积．
【详解】解：连接．
，米，米．
（米）．
米，米，
，
即，
是直角三角形，且，
（平方米）．
45．（23-24八年级·山东济南·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)千米．
【分析】（）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短解答即可；
（）根据勾股定理解答即可；
本题考查了勾股定理及逆定理及垂线段最短在实际生活中的运用，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用.
【详解】（1）是，理由，
在中，，，
∴，
∴
∴，
根据垂线段最短，则是从村庄到河边的最近路；
（2）设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：原来的路线的长为千米．
46．（23-24八年级·云南文山·期末）“劳动基地”是培养学生劳动意识和创新精神的重要平台，某校在校园一角开辟了一块四边形的“劳动基地”，如图，经过测量得知：，，，，．
(1)连接，判断的形状并说明理由；
(2)若在该基地上种植蔬菜，每平方米需要费用3元，试问种满这块基地共需费用多少元？
【答案】(1)直角三角形，理由见解析
(2)432元
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）求出四边形的面积，即可解决问题．
【详解】（1） 是直角三角形，理由如下：
如图，连接，
，，，
，
，，，
，
是直角三角形，且；
（2）由（1）可知，，
，
，
即四边形的面积为，
（元），
答：种满这块基地共需费用432元．
47．（23-24八年级·贵州贵阳·期末）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
(1)求线段的长；
(2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
【答案】(1)线段的长为5米；
(2)制作这样一块背景板需花费360元．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出的长即可；
（2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题．
【详解】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
48．（23-24八年级·河南驻马店·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，在上有一处古建筑D，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，在测出米后，测量工具坏了，使得的长无法测出，请你想办法求出的长度．
【答案】米
【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出的长，然后加上的长就可以求出的长．
【详解】解：如图，在，，
，
，即，
在中，，
∴，
∴．
49．（23-24八年级·河南南阳·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
【答案】(1)30
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；
（2）过A作交于点D．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：30；
（2）解：过A作交于点D．
设，则．
在和
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得,
∴．
50．（23-24八年级·海南儋州·期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
(1)四边形的面积；
(2)点D到的距离．
【答案】(1)四边形的面积为
(2)点D到的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答．
（2）过点D作于点E，利用等面积法计算即可．
【详解】（1）解：连结，
在中，∵，，
∴
在中，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴
答：四边形的面积为．
（2）过点D作于点E
∵
∴；
答：点D到的距离为．
六、题型六：勾股定理的逆定理拓展问题，难度四星，10题
51．（20-21八年级·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=，
综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
52．（23-24八年级·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可．
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一个因式为，
，
∴另一个因式为．
53．（23-24八年级·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形
当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时，为锐角三角形；
当时，为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当为锐角三角形时，，
；
当为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
54．（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)BN＝12或13
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30 AM BN＝25 x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30 AM BN＝25 x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25 x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25 x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
55．（20-21九年级·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．
56．（20-21八年级·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；
（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3）
【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）∵第一组：，，；
第二组：，，；
第三组：，，；
第四组：，，；
，
∴第组：，，．
（2）直角三角形；
证明：为正整数，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列：，，，
即，，．
，
．
，，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．
57．（20-21八年级·全国·假期作业）（1）已知三角形的三边分别为a，b，c，且a＝m﹣1，b＝2，c＝m＋1（m＞1）．请判断这个三角形的形状．
（2）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a＋15，b的立方根是﹣2．求﹣2a﹣b的算术平方根．
【答案】（1）这个三角形一定是直角三角形；（2）4
【分析】（1）先计算a2，b2，c2，然后根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状为Rt△；
（2）先依据平方根的性质列出关于a的方程，从而可求得a的值，然后依据立方根的定义求得b的值，最后，再进行计算即可．
【详解】解：（1）∵（m﹣1）2＋（2）2
＝m2﹣2m＋1＋4m＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2，
∴a2＋b2＝c2，
∴这个三角形一定是直角三角形；
（2）∵某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a＋15，b的立方根是﹣2，
∴a﹣3＋2a＋15＝0，b＝﹣8，
解得a＝﹣4，
∴﹣2a﹣b＝16，
∴﹣2a﹣b的的算术平方根是4．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，平方根、立方根、算术平方根的定义.解题的关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
58．（20-21八年级·福建泉州·期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在中，、、是其三条边，已知，，，判断的形状．
解：在中，因为，，所以．所以是直角三角形．
认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：
(1)填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．
(2)已知三边分别为，求证：是直角三角形．
(3)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)等腰三角形或直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，乘法公式．熟练掌握勾股定理逆定理判断三角形的形状是解题的关键．
（1）根据，进行作答即可．
（2）根据，由，可得，进而结论得证；
（3）根据整式的乘法公式变形化简可得或，然后判断三角形的形状即可．
【详解】（1）解：∵，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
∴是直角三角形；
（3）解：∵，
∴，
∴
∴或，
解得或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
59．（20-21八年级·浙江宁波·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）下列四边形是勾股四边形的有 ．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）①③；（2）（3，4）或（4，3）；（3）见解析
【分析】（1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意；
（2）OM＝AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；
（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形．
【详解】（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形
故答案为：①③；
（2）如图1所示：M（3，4）或（4，3）；
故答案为（3，4）或（4，3）；
（3）证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
∵∠CBE＝60，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴DC2+EC2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
60．（20-21八年级·四川·阶段练习）如图所示，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）求的周长．
（2）判断的形状，并求其面积．
（3）求边上的高．
【答案】（1）；（2）锐角三角形，；（3）
【分析】（1）根据勾股定理求得△ABC的三条边长后，再来求该三角形的周长；
（2）利用勾股定理的逆定理判断三角形的性质，然后根据S△ABC=S正方形BDEF-S△BCD-S△ACE-S△ABF计算即可；
（3）设边上的高是h，则根据三角形的面积公式知AB h=，据此可以求得h的值．
【详解】解：（1），
，
，
∴的周长；
（2）如图，
∵，
∴为锐角三角形，
；
（3）设边上的高为，
则，
∴，
即边上的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，面积法求线段的长，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
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专题06 勾股定理的逆定理（六大题型，60题）（原卷版）
目录
一、题型一：判断三边能否构成直角三角形，难度三星，10题 1
二、题型二：图形上与已知两点构成直角三角形的点，难度四星，10题 3
三、题型三：在网格中判断直角三角形，难度三星，10题 6
四、题型四：利用勾股定理的逆定理求解，难度三星，10题 9
五、题型五：勾股定理的逆定理，难度三星，10题 11
六、题型六：勾股定理的逆定理拓展问题，难度四星，10题 14
一、题型一：判断三边能否构成直角三角形，难度三星，10题
1．（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）下列各组数中，以，，为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（23-24八年级·四川成都·期末）能判断是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．，
3．（23-24八年级·四川成都·期末）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
4．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，点是正方形内一点；点到点A，B和的距离分别为和．是等腰直角三角形，连接，延长与相交于点．
(1)求证：．
(2)求的大小．
(3)求正方形的边长．
5．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，D是的中点，交于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
6．（22-23八年级·四川遂宁·期末）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
7．（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）若的三边长a、b、c 满足
(1)求证：是直角三角形；
(2)求其斜边上的高.
8．（22-23八年级·贵州毕节·期末）如图，在中，点B在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求和的长．
9．（22-23八年级·四川达州·阶段练习）若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状．
10．（23-24八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，．
(1)如图①，若，过点作交轴于点，求点的坐标；
(2)如图②，若点在轴正半轴上运动，且，过点作交轴于点，连接，当时，求的度数．
(3)如图③，若是线段上的一个动点，点在内部，，，连结，设，求的面积关于的解析式．
二、题型二：图形上与已知两点构成直角三角形的点，难度四星，10题
11．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
12．（20-21八年级·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
13．（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个．
14．（20-21八年级·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形．
15．（20-21八年级·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ．
16．（20-21八年级·浙江湖州·期末）如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ．
17．（21-22八年级·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，﹣8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG＝AF．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)当点E恰好是OD的中点时，求△ACG的面积；
(3)是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
18．（2020八年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A(a，0)点，B(0，b)，且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（3）若为直角三角形，求点P的坐标．
19．（21-22八年级·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形 若存在，求出点P的坐标.
20．（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
三、题型三：在网格中判断直角三角形，难度三星，10题
21．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24八年级·河南平顶山·期末）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．点到直线的距离是2
23．（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则 ．
24．（23-24八年级·福建福州·期末）如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为 ．
25．（2024八年级·全国·竞赛）如图，长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形，现将外围的交点从1号到12号按顺序进行编号，点、分别在2号、6号和10号交点上，如果按顺时针方向同时移动三点，各点每次只移动到下一个交点，这样绕长方形外围一周回到原先的位置，在这个过程中，有 次成为直角三角形．
26．（23-24八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
(1)作出关于y轴对称后的图形；
(2)判断的形状，并说明理由．
27．（23-24八年级·江苏徐州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．
(1)建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为
(2)判断的形状，并说明理由．
28．（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图是由边长为1的小正方形拼成的网格图，请按要求画图：
(1)在图1中画一个钝角的等腰三角形，要求顶点C是格点；
(2)在图2中画一个等腰直角三角形，要求顶点D是格点；
29．（23-24八年级·山西晋城·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中，以格点为顶点画一个面积为13的正方形．
(2)在图2中，以格点为顶点画一个三边为、、的三角形，并求出此三角形的面积是________．
(3)在图3中，以格点为顶点画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角三角形．
30．（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格线的交点上，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系，并写出点A的坐标；
(2)若点关于轴对称的点为，连接，，你认为是直角三角形吗？请说明理由．
四、题型四：利用勾股定理的逆定理求解，难度三星，10题
31．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 ．
32．（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）若的三边满足，求的面积．
33．（22-23八年级·山东青岛·期中）有一块薄铁皮，，各边的尺寸如图所示，若沿对角线剪开，则得到的两块三角形铁皮的面积分别是多少？
34．（22-23八年级·江苏扬州·期末）如图，中，，，，，，点是的中点，求的长．
35．（23-24八年级·广东梅州·期中）如图是一块四边形草坪，已知，，，，求草坪的面积．
36．（23-24八年级·广东梅州·期中）如图，四边形中，，，，且，求：
(1)的长；
(2)的度数．
37．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，，，计算四边形的面积．
38．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于，，，．
(1)求，的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
39．（21-22八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，是上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的边的长度．
40．（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在中，点D是上的一点，，，，．求的长．
五、题型五：勾股定理的逆定理，难度三星，10题
41．（22-23八年级·山东青岛·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米，求种植草皮的面积是多少？
42．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
43．（23-24八年级·河南郑州·期末）“农场小达人”社团计划在春天到来之前整修教学楼顶层的平台，用于建设菜园和花圃．如图，处是顶层平台自来水管的位置，，两处分别计划修建菜园和花圃，，两处相距，，两处相距，，两处相距．为了便于用水，小华在图纸上帮助设计了两种水管铺设方案．
甲方案：沿线段，铺设段水管．
乙方案：过点作的垂线，垂足为．沿线段，，铺设段水管
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)小华设计的哪一种方案需要铺设的水管更短？为什么？
44．（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，米，米，米，米，求绿地的面积．
45．（23-24八年级·山东济南·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
46．（23-24八年级·云南文山·期末）“劳动基地”是培养学生劳动意识和创新精神的重要平台，某校在校园一角开辟了一块四边形的“劳动基地”，如图，经过测量得知：，，，，．
(1)连接，判断的形状并说明理由；
(2)若在该基地上种植蔬菜，每平方米需要费用3元，试问种满这块基地共需费用多少元？
47．（23-24八年级·贵州贵阳·期末）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
(1)求线段的长；
(2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
48．（23-24八年级·河南驻马店·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，在上有一处古建筑D，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，在测出米后，测量工具坏了，使得的长无法测出，请你想办法求出的长度．
49．（23-24八年级·河南南阳·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
50．（23-24八年级·海南儋州·期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
(1)四边形的面积；
(2)点D到的距离．
六、题型六：勾股定理的逆定理拓展问题，难度四星，10题
51．（20-21八年级·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
52．（23-24八年级·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
53．（23-24八年级·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
54．（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
55．（20-21九年级·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
56．（20-21八年级·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；
（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
57．（20-21八年级·全国·假期作业）（1）已知三角形的三边分别为a，b，c，且a＝m﹣1，b＝2，c＝m＋1（m＞1）．请判断这个三角形的形状．
（2）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a＋15，b的立方根是﹣2．求﹣2a﹣b的算术平方根．
58．（20-21八年级·福建泉州·期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在中，、、是其三条边，已知，，，判断的形状．
解：在中，因为，，所以．所以是直角三角形．
认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：
(1)填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．
(2)已知三边分别为，求证：是直角三角形．
(3)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状．
59．（20-21八年级·浙江宁波·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）下列四边形是勾股四边形的有 ．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．
60．（20-21八年级·四川·阶段练习）如图所示，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）求的周长．
（2）判断的形状，并求其面积．
（3）求边上的高．
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