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专题07 勾股定理压轴题综合练（几何问题探究，25题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．利用等腰三角形的性质可以得到，设为x，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题．
【详解】解：如图，设为为为，图2中的余角为，
是等腰三角形，
，
,
,
,,
,
设为，
根据勾股定理得，
解得∶，
故选D．
2．（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
【答案】D
【分析】本题考查最短路径，勾股定理，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM交BC于点H，连接CM、BE、BF、FH，可得点H到点E和点F的距离之和最小，求出最小值即可解答，在线段BC找到点H到点E和点F的距离之和最小是解题的关键．
【详解】解：如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，
点E，F将对角线三等分，且
，
点M与点F关于对称，
，
即
则在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为
在点H右侧，当点P与点C重合时，则
点P在上时，，有一个点P使
在点H左侧，当点P与点B重合时，
，，
点P在上时，有一个点P使，
在线段上的左右两边各有一个点P使
同理在线段、上也都存在两个点使
即共有6个点P满足
故选：D．
3．（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，已知等边的边长为4，点分别在边上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识．作于点，作射线，由等边三角形的性质可证明，再由，，证明，推导出，进而证明，得，可知点在经过点且与垂直的直线上运动，作交的延长线于点，可证明点与点关于直线对称，则，由，得，根据勾股定理计算得到问题的答案．
【详解】解：作于点，作射线，则，
和都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点，则，
，
，
，
，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：C．
二、填空题
4．（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，在长方形中，为等腰直角三角形，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可设，则，从而得到，，再由，可得，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
5．（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点．
（1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ；
（2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查动点最值问题，涉及动点最值问题-两点之间线段最短模型、动点最值问题-点线模型，熟练掌握动点最值问题的两个模型是解决问题的关键．
（1）本题考查动点最值问题-两点之间线段最短模型，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案；
（2）本题考查动点最值问题-点线模型，先由等腰三角形性质得到关于对称，由点到直线的距离垂线段最短可得，过点作于点，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：（1）由两点之间线段最短可得，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示：
是等边三角形，点为边中点，
由等腰三角形“三线合一”可得，
在中，，，，则，
若点为边中点，在上存在点，使最小；最小值是；
故答案为：；
（2）是等边三角形，平分交与点，
由等腰三角形“三线合一”可得关于对称，
由点到直线的距离垂线段最短可得，过点作于点，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示：
由等腰三角形“三线合一”可得点为边中点，
在中，，，，则，
若点为边任意一点，在上存在点，使最小；最小值是；
故答案为：．
6．（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在长方形中，，点在上，是上一动点，将四边形沿翻折至四边形的位置，与相交于点，当点从点运动到的中点时，点运动路线的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，长方形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键，如图，当与重合时，此时为的最左边位置，当为的中点时，如图，为最右边位置，再画出图形，结合等腰三角形与勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，当与重合时，
∵长方形，，，
∴，，，
∴，
由对折可得：，
∴，
∴，而，
设，则，
∴由勾股定理可得：，即，
解得：，即，此时为的最左边位置，
当为的中点时，如图，为最右边位置，
过作于，则，，
同理可得：，
设，则，
在，，
∴，
解得：，
∴的运动路径长为：；
故答案为：
7．（23-24八年级·福建厦门·期末）已知中，，，．点在上，，点从点出发，沿的边上运动，最后回到点，在运动的过程中，若满足的点恰好有3个（点，重合不包括在内），则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的加减运算，确定Q的位置是解本题的关键；如图，当时，此时满足条件的Q有2个，即Q，B，求解的长度，如图，当于时，则此时满足条件的Q只有2个，连接，再求解此时的的长度，从而可得答案．
【详解】解：如图，当时，此时满足条件的Q有2个，即Q，B，
∵，，．
∴，，
∴，，
此时，
如图，当于时，则此时满足条件的Q只有2个，连接，
此时，
∵，
∴由勾股定理可得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∴满足的点恰好有3个（点，重合不包括在内），
则的取值范围为．
故答案为：
8．（22-23八年级·浙江台州·期末）如图，在中，，，，，平分，平分，点在边上，作射线交于点．
（1）若，则的长为 ；
（2）若，则的长为 ．
【答案】 2 /0.5
【分析】（1）作于点，于点，根据角平分线定理可得，由，可求的值，在等腰直角中，，即可求解，
（2）作于点，于点，在上截取，由，可得，通过等量代换可得，，设，在中，应用勾股定理，求出的长度，即可求解，
本题考查了角平分线定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是：添加辅助线构造全等三角形．
【详解】解：当时，作于点，与点，连接，
平分，平分，
，
又，，，，
，
即：，解得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
当时，作于点，于点，在上截取，
平分，
，
又，，
，
又，
，
，
，，
，
又平分，
，
又，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，
，即：，解得：，
，
，
故答案为：2；．
三、解答题
9．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图1，在等腰 中，，点 是 外一点，点 在线段 上，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，，过 作 ，垂足为 交 于 ，请探索 之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，线段 与 交于点 （在线段 上），在线段 上取点 ，使得 ． 已知 ，当 的值最小时，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）作于，作于，证明，进而得出结论；
（2）作于，作于，证明，得出，进而借助于（1）可得出结论；
（3）作，并且，连接，，从而，于是，于是当点、（图中、共线时，最小，此时平分，可得出，，，均为等腰直角三角形，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：如图1，
作于，作于，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，
，理由如下：
作于，作于，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）知，
，，
，，
，
；
（3）解：如图3，
作，并且，连接，
，，
，
，
，
当点、（图中、共线时，最小，
，，
时，此时，
如图4，
延长，可得点在上，
，
，
垂直平分，
，，，均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．
(1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．
(2)探索延伸：
如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)能力提高：
如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)24
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形．
（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解；
（）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证；
（3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：（）中的结论仍然成立．
证明：如图中，延长至，使，连接，
∵， ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、．
∵，
∴
∵，
∴，
在和中
∵
∴
∴，
∴，
∴，
在和中
∵ ，
∴
∴，，
∴．
故答案为：24．
11．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，．
(1)如图1，求的长；
(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；
(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值．
【答案】(1)
(2)；见解析
(3)或
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定；
（1）过作的垂线，垂足是，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理，即可求解；
（2）先证明，进而证明，得出，同理，则，在，，根据勾股定理得出，，即可得出结论；
（3）过作于点，作于点，作，与交于点，则，①当点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解．②当点在的延长线上时，同理，即可求解．
【详解】（1）解：过作的垂线，垂足是，在中，
∵，
∴，
∴，
∴，设，
在中，
，，
∵，
∴，
∴，
在中．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
在中，，
在中，，
∴
（3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则，
①当点在线段上时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，则，
∵，
∴，
∴，
综上，当点到直线的距离等于时，或．
12．（23-24八年级·浙江金华·期末）已知正三角形的边长为4，为内部（含边上）的一点，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点．
(1)如图1，点在边上；
①当为中点时，判断点与点G是否重合，并说明理由；
②当时，求出的长；
(2)如图2，点在内部，且在线段上，连结，求的取值范围．
【答案】(1)①点与点G不重合，理由见详解；②，或
(2)
【分析】该题主要考查了等边三角形，含的直角三角形，勾股定理等．解题的关键是掌握等边三角形的性质和判定，所对直角边等于斜边的一半，分类讨论，勾股定理解直角三角形．
（1）①根据是等边三角形，得出，，再结合垂直得出，当为中点时，根据所对直角边等于斜边的一半推出，即可判断；②当时，连结，设，则，表示出，分两种情况，列方程解出值，表示出，，运用勾股定理即可求出；
（2）结合由（1）证出，设，表示出，，运用勾股定理表示出，结合的范围即可求解．
【详解】（1）①∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
当为中点时，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点与点G不重合；
②当时，连结，设，
则，
∴，，
，，
当时，，
解得：，
∴，，
∴；
当时，，
解得，，
∴，，
∴．
过的长为或；
（2）当点在内部，且在线段上，
由（1）知：，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
设，
则，，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．（23-24八年级·江西抚州·期末）的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边．
【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长；
【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证
②试判断与的数量关系并证明；
【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长．
【答案】【特例感知】CM的长为6；【深入探究】①证明见解析；②AB与CM相等，理由见解析；【结论应用】MN的长为5．
【分析】（1）根据是类勾股三角形，为勾股边，有，得到，根据，是中线，可得，即可求解；
（2）①根据，得到，再根据即可求证；②根据，可得，，再根据，可得，进而得到，最后根据，，可得；
（3）连接，由【深入探究】可得：，进而得到，根据为的中点，可得，进而求解.
【详解】（1）解：是类勾股三角形，为勾股边，
，
，
，
，
，是中线，
，
（2）①证明：，
，
，
．
②与相等，理由如下，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：连接，
与都是以为勾股边的类勾股三角形，
为的中点，
由【深入探究】可得：，
，
为的中点，
，
，
【点睛】本题考查的是类勾股三角形的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，正确理解类勾股三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．
14．（23-24八年级·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，．
图1 图2 图3
(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，若，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当是以为腰的等腰三角形时，求运动时间t；
(3)如图3，以为直角边往右上方作等腰直角，，再以为边往右上方作等边，使得，求线段的长度．
【答案】(1)32；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）由，得，则，所以；
（2）由，求得，则，再分两种情况讨论，一是，作于点H，由，得，求得，则，所以，则，求得；二是，则，求得；
（3）以为一边在x轴下方作等边三角形，连接，因为是等边三角形，所以，可证明，得，所以平分，则垂直平分，所以点G、点C的横坐标都是4，作轴于点L，可证明，则，求得，则．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
的面积是32．
（2）解：，
，
∵点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，
，
如图2（甲），是等腰三角形，且，作于点H，
解得
，
解得
如图2（乙），是等腰三角形，且，
，
解得，
综上所述，运动时间t为秒或2秒．
（3）解：如图3，以为一边在x轴下方作等边三角形，连接，则，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，平分，
垂直平分，
∴点G、点C的横坐标都是点A的横坐标的，
∴点G、点C的横坐标都是4，
作轴于点L，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴线段AD的长度是．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
15．（21-22八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探究
【解决问题】
（1）如图1，和都是等边三角形（），将绕着点顺时针旋转，连接、．
①如图2，当点在的延长线上时，_________；
②如图3，当点恰好在边上时，_________；
③如图4，当点在的延长线上时，求证：．
【拓展应用】
（2）如图5，在等边中，是外一点，连接、、，若，，，求的面积．
【答案】（1）①；②；③见解析；（2）．
【分析】（1）①由“”可证，可得，即可求解；
②由①可得，由是等边三角形，可得，，又因为，即可求解；
③由“”可证，可得，可得结论；
（2）由“”可证，可得，由勾股定理可求，由面积和差关系可求解．
【详解】解：（1）①和都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
，
②由①可知，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
③证明：都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
（2）如图，以为边作等边，连接，
，是等边三角形，
，
，
，
．
．
，
．
为直角三角形
，
∴根据勾股定理得，
．
过点作于点，过点作于点，
，
．
在等边中，，
，
∴根据勾股定理可得，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（23-24八年级·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，．
(1)若．
ⅰ）如图1，当时，连接，证明：；
ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长；
(2)如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长．
【答案】(1)ⅰ）证明过程见详解；ⅱ）；
(2)
【分析】（1）ⅰ）用证明，进而证得是直角三角形，即可得结论；
ⅱ）连接，作交的延长线于点G，用证明，得，都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接，
作于P，用证明，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
【详解】（1）ⅰ）证明：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G，
，，，
，都是等边三角形，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即线段的长为．
（2）解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接，
作于P，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
中，，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，，
是线段的垂直平分线，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得，，
所以线段的长为．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B．点P从O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．设点P的运动时间为．
(1)过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)存在，或或
【分析】本题考查了函数上的点，全等三角形的判定，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；
（1）由点在函数图象上得，由勾股定理得，①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，即可求解；
（2）①当时，点在线段的垂直平分线上，作， ②当时，③当时，过点作，即可求解；
掌握判定方法，能根据点的不同位置和等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：为正比例函数的图象上一点，
，
，
，
，
，
①如图，当点在线段上时，
，
，
，
；
②如图，当点在的延长线上时，
，
，
，
；
综上所述：t的值或；
（2）解：存在；
①如图，当时，点在线段的垂直平分线上，
作，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，当时，
，
；
③如图，当时，过点作，
，
，
，
解得：，
，
；
；
故的值为或或．
18．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接．
(1)当秒时，求的面积；
(2)若平分，求的值；
(3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；
（）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可；
（）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴当秒时，求的面积为；
（2）解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，， ，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
（3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使．
19．（23-24八年级·山东济宁·期末）如图1，在中，，，点和点是边上两点，连接，得到是一个等边三角形．
(1)求证：；
(2)将等边绕点旋转至如图2所示的位置，点仍然在边上，点落在边外，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，进而根据证明；
（2）以为边作等边三角形，连接，则，证明，得出，进而证明，即可得证；
（3）过点作于点，延长交于点，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）证明：如图所示，以为边作等边三角形，连接，则，
∵，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在中，
∴
∴
∴
在中，
∴
∴．
（3）解：如图所示，过点作于点，延长交于点，
∵
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，则是等腰直角三角形，
∴，，
在中，，，
∴，，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（23-24八年级·浙江宁波·期末）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，将等腰按如图放置，直角顶点在原点，若顶点落在点处．则的长为______；点的坐标为______（直接写结果）；
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰按如图放置，直角顶点在处，点，点为轴上一点．当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）拓展研究：如图3，在（2）的条件下，已知点，若点为射线上一动点，连结，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）点的坐标为或；（3）点坐标为或或．
【分析】（1）由可得，，，，证，，，因此；
（2）同（1）求得，设，由，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，以及一次函数的性质列式求解即可．
【详解】解：（1）如图1，作轴，轴．
，
，，，
，，
，
，，
．
故答案为：，；
（2）如图，过点作轴．设，
∵，，
∴，，
同理，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，即，
∴，
解得，
∴点的坐标为或；
（3）∵，，
∴设的解析式为，
∴，
解得，
∴的解析式为，
当点在x轴上的如图位置时，
设，作轴，轴，垂足分别为，
同理，，
∴，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
解得，
∴点坐标为；
当点在x轴上的如图位置时，
设，作轴，轴，垂足分别为，
同理，，
∴，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
解得，
∴点坐标为；
当点在y轴上的如图位置时，
设，作轴，轴，垂足分别为，
同理，，
∴，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
解得，
∴点坐标为；
综上，点坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
21．（23-24八年级·吉林长春·期末）解答
（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则．
（2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为 ．
（3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．
i．如图②，连结，当时，求的面积．
ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）i．；ii．
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由，，得到，由得到，又由已知，即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则，又由，即可证明结论；
（3）i．作于点M，交的延长线于点N，依次求出，，则，由是等腰直角三角形，且，得到，由（1）可得，则根据三角形面积公式即可得到答案；
ii．连接，作于点G，交的延长线于点H，依次求出，，由（1）可得，，则得到，则，即可证明是等腰直角三角形，进一步得到，即可，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：如图①，∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）如图①，∵，
∴
∴
∵，
∴，
故答案为：
（3）i．如图②，作于点M，交的延长线于点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
由（1）可得，
∴
∴，
即的面积为．
ii．如图③，作于点G，交的延长线于点H，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴
∴，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点E到边的距离为．
22．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在四边形中，．
(1)在图（1）中连接，并证明平分；
(2)如图（2），连接对角线，若，的面积为3，求的长；
(3)如图（3），点在的延长线上，且满足，点是线段的中点，连接，探究与的关系并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)，证明见详解
【分析】（1）过点作交延长线与点，证明，，根据，得，可得，由题意知，可得平分；
（2）过点作，连接，证明，得，
，根据的面积为3，可得，根据，，整理可得，解得（舍去），从而可得，，；
（3）取中点，连接，连接，证明，得，，根据，可得，从而可得是等腰直角三角形，故，
设，则可得，，可得，即．
【详解】（1）解：过点作交延长线与点，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,，
平分；
（2）解：过点作，连接如图：
，，
，
,，
，
，
，
的面积为3，
,即，
，
，
整理可得：，
解得:（舍去），
，
，
；
（3）解：取中点，连接，连接，如图
，，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
为中点，
故，，
设，则，
可得，
，
可得，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，是四边形综合题，利用数形结合思想是解题关键．
23．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接．
(1)如图1，若，．求的长度．
(2)如图2，若，求证：．
(3)如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）取，连接,过点D作于M，证明可得，，继而得到，是含的直角三角形，从而求出，，再得到是等腰直角三角形，从而得解；
（2）由得到，过点A作交于N，则是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，从而得到，即得证；
（3）先求出，可知旋转的角度是，在的下方，作过点P作于Q，可得，继而得到当A、P、Q共线，且即为点A到的垂线段时取得最小值．作，于Q，交于P，则，将绕点B逆时针旋转度得到，此时点恰好在线段上，连接，过点作于H，过点作于R，连接，证明，，可得，从而得出，再用勾股定理求得，
再利用求得，利用，，，求得，最后用面积公式求解即可．
【详解】（1）解：绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
取，连接,过点D作于M，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解： ∵，，即，
∴，
过点A作交于N，则是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
在的下方，作，过点P作于Q，
则，，，
∴，
由垂线段最短可知，当A、P、Q共线，且为点A到的垂线段时取得最小值．
如下图，作，于Q，交于P，则，
将绕点B逆时针旋转度得到，此时点恰好在线段上，连接，过点作于H，过点作于R，连接，
∵，，于Q
∴，，
∴，，，
又∵，
∴，，，
∴，
由旋转的知识可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的面积为：．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，正确作图能找到取最值的情况是解题的关键．
24．（23-24八年级·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，．
(1)写出点的坐标____________；
(2)如图②，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边，连接并延长交轴于点．
①求证：；
②求点的坐标 ．
(3)在（2）的条件下，如图③，连接，当的和取最小值时，则的值为 ．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
(3)
【分析】（1）在直角三角形中，利用含的直角三角形性质求出即可得到答案；
（2）①连接，证明，由全等三角形的性质得出，由等边三角形性质及含直角三角形性质找到边角关系，利用三角形全等的判定即可证明为等边三角形，由①的结论，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，则可得出答案；
（3）在（2）的基础上，利用动点最值问题-将军饮马模型可知，的最小值为，根据含直角三角形性质求出线段长代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，，，
，
，
．
故答案为：；
（2）①证明：连接，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
②解：，
，即，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为；
（3）解：如图所示：
由（2）知，与关于对称，连接于的交点为，则根据动点最值问题-将军饮马模型可知，的最小值为，
在中，由（2）知，设，则，由勾股定理可得，解得，即；
在中，，则由勾股定理可得；
，
故答案为：．
【点睛】本题是几何综合，考查了等边三角形的判定与性质，含直角三角形性质，轴对称的性质，勾股定理，动点最值问题-将军饮马模型，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（23-24八年级·浙江宁波·期末）【问题情境】
（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】
（2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
【拓展运用】
（3）如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
【答案】（1）B；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）由已知和作图能得到，，再加上对顶角相等，即可根据“边角边”证明三角形全等；
（2）延长至点，使得，连结，先证明，得到，，再根据角平分线及平行线可逐步推得结论成立；
（3）延长至点，使得，连结，过点C作于点H，设，分别求出，，，可得，由勾股定理求得，再求出，由勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】（1）延长至点，使得，连结，
是的中点，
，
，
；
故选B．
（2）延长至点，使得，连结，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）延长至点，使得，连结，过点C作于点H，
设，则，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【点睛】本体考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等腰三角形两底角相等，等腰三角形三线合一性质及勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
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专题07 勾股定理压轴题综合练（几何问题探究，25题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
3．（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，已知等边的边长为4，点分别在边上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题
4．（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，在长方形中，为等腰直角三角形，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ．
5．（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点．
（1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ；
（2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ．
6．（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在长方形中，，点在上，是上一动点，将四边形沿翻折至四边形的位置，与相交于点，当点从点运动到的中点时，点运动路线的长为 ．
7．（23-24八年级·福建厦门·期末）已知中，，，．点在上，，点从点出发，沿的边上运动，最后回到点，在运动的过程中，若满足的点恰好有3个（点，重合不包括在内），则的取值范围为 ．
8．（22-23八年级·浙江台州·期末）如图，在中，，，，，平分，平分，点在边上，作射线交于点．
（1）若，则的长为 ；
（2）若，则的长为 ．
三、解答题
9．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图1，在等腰 中，，点 是 外一点，点 在线段 上，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，，过 作 ，垂足为 交 于 ，请探索 之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，线段 与 交于点 （在线段 上），在线段 上取点 ，使得 ． 已知 ，当 的值最小时，求 的面积．
10．（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．
(1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．
(2)探索延伸：
如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)能力提高：
如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ．
11．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，．
(1)如图1，求的长；
(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；
(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值．
12．（23-24八年级·浙江金华·期末）已知正三角形的边长为4，为内部（含边上）的一点，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点．
(1)如图1，点在边上；
①当为中点时，判断点与点G是否重合，并说明理由；
②当时，求出的长；
(2)如图2，点在内部，且在线段上，连结，求的取值范围．
13．（23-24八年级·江西抚州·期末）的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边．
【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长；
【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证
②试判断与的数量关系并证明；
【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长．
14．（23-24八年级·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，．
图1 图2 图3
(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，若，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当是以为腰的等腰三角形时，求运动时间t；
(3)如图3，以为直角边往右上方作等腰直角，，再以为边往右上方作等边，使得，求线段的长度．
15．（21-22八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探究
【解决问题】
（1）如图1，和都是等边三角形（），将绕着点顺时针旋转，连接、．
①如图2，当点在的延长线上时，_________；
②如图3，当点恰好在边上时，_________；
③如图4，当点在的延长线上时，求证：．
【拓展应用】
（2）如图5，在等边中，是外一点，连接、、，若，，，求的面积．
16．（23-24八年级·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，．
(1)若．
ⅰ）如图1，当时，连接，证明：；
ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长；
(2)如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长．
17．（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B．点P从O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．设点P的运动时间为．
(1)过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
18．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接．
(1)当秒时，求的面积；
(2)若平分，求的值；
(3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？
19．（23-24八年级·山东济宁·期末）如图1，在中，，，点和点是边上两点，连接，得到是一个等边三角形．
(1)求证：；
(2)将等边绕点旋转至如图2所示的位置，点仍然在边上，点落在边外，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长度．
20．（23-24八年级·浙江宁波·期末）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，将等腰按如图放置，直角顶点在原点，若顶点落在点处．则的长为______；点的坐标为______（直接写结果）；
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰按如图放置，直角顶点在处，点，点为轴上一点．当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）拓展研究：如图3，在（2）的条件下，已知点，若点为射线上一动点，连结，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
21．（23-24八年级·吉林长春·期末）解答
（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则．
（2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为 ．
（3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．
i．如图②，连结，当时，求的面积．
ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离．
22．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在四边形中，．
(1)在图（1）中连接，并证明平分；
(2)如图（2），连接对角线，若，的面积为3，求的长；
(3)如图（3），点在的延长线上，且满足，点是线段的中点，连接，探究与的关系并说明理由．
23．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接．
(1)如图1，若，．求的长度．
(2)如图2，若，求证：．
(3)如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值．
24．（23-24八年级·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，．
(1)写出点的坐标____________；
(2)如图②，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边，连接并延长交轴于点．
①求证：；
②求点的坐标 ．
(3)在（2）的条件下，如图③，连接，当的和取最小值时，则的值为 ．
25．（23-24八年级·浙江宁波·期末）【问题情境】
（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】
（2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
【拓展运用】
（3）如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
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