2023-2024学年江苏省连云港市海州高级中学高二（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港市海州高级中学高二（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.小明申请了一个电子邮箱，他打算设计密码，准备用三个数字和三个字母组成密码，数字是从，，，，中选三个，字母是用，，，而且字母安排在前面，数字放在后面，则他可选用的密码个数共有( )
A. B. C. D.
3.从名高一学生，名高二学生中选出人，分别负责三项不同的任务，若这人中至少有一名高二学生，则不同的选派方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.已知，，是空间中三个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，若点在矩形内，且平面，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是棱，上的两个动点，且，则异面直线与夹角余弦的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中，则下列结论正确的有( )
A. B. 与共线的单位向量是
C. D. 平面的一个法向量是
10.在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目以下有关排列组合问题中正确的是( )
A. 有种不同的节目演出顺序
B. 当个舞蹈节目接在一起时，有种不同的节目演出顺序
C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序
D. 若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序
11.如图，正方体的棱长为，动点，分别在线段，上，则下列命题正确的是( )
A. 直线与平面所成的角等于
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线和所成的角为
D. 线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若单位向量与向量都垂直，则向量的坐标为______．
13.设为实数，已知，，，若，则的值为______．
14.用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有 种不同的涂色方法用数字回答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从，，，，，，这个数字中取出个数字试问：
有多少个没有重复数字的排列？
能组成多少个没有重复数字的四位数？
16.本小题分
将名男生，名女生排成一排．
若名男生相邻，名女生相邻，求不同的排法种数；
若名女生的身高互不相等，从左到右，名女生从高到矮排列，求不同的排法种数．
17.本小题分
如图所示，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点，试用，，表示以下向量：
；
；
．
18.本小题分
如图，以正四棱锥的底面中心为坐标原点建立空间直角坐标系，其中，，为的中点，正四棱锥的底面边长为，高为．
求；
当是二面角的平面角时，求．
19.本小题分
如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
求证：平面，并求直线和平面的距离；
求二面角的大小；
试在线段上确定一点，使与所成的角是．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的人全排，故有种，
故选：．
先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的人全排即可．
本题考查了分步计数原理，相邻问题用捆绑，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题知，先排后三个数字的位置，
即从个数字中选取个进行排列，有种，
再把个字母安排在前三个位置，有种，
因为是分步进行的，所以共有个可选用的密码．
故选：．
先排后三个数字的位置，即个中选个进行排列，再排字母的位置，再用分步相乘即可．
本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：从人中任选人负责三项不同的任务，共有种选派方法，
选出的人中无高二学生有种选派方法，
若人中至少有一名高二学生，不同的选派方案共有种．
故选：．
首先确定从人中任选人负责三项不同的任务的选派方法；再求得人中无高二学生的选派方法数，利用间接法可得结果．
本题考查了排列的知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选：．
根据已知求出，即可根据投影向量的定义求出答案．
本题考查空间向量的数量积和投影向量，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，是空间中三个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，
对于，若，，则，可能相交，故A错误；
对于，根据面面平行的传递性，若，，则成立，故B正确；
对于，若，，则，又，所以，故C正确；
对于，设直线，的方向向量分别为，，
若，，，则平面，的一个法向量分别为，，且，所以，故D正确．
故选：．
对于，，可能相交；对于，根据面面平行的传递性判断；对于，推导出，再由，得；对于，设直线，的方向向量分别为，，推导出平面，的一个法向量分别为，，且，从而得到．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，得．
设，则，
平面，，
则，解得，．
故．
故选：．
建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于，的方程，确定，的值，即可求解．
本题考查线面垂直的判定与性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，且，，，四点共面，
由空间四点共面的性质可知，即，
，
当时，有最小值．
故选：．
根据空间四点共面及二次函数的最值求解．
本题考查平面向量基本定理及函数的最值，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，，，
以为原点，方向分别为，轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
可得，
，
故异面直线与夹角的余弦值为，
当时取“”．
异面直线与夹角余弦的最大值为．
故选：．
设，，，以为原点，方向分别为，轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与夹角余弦的最大值．
本题考查异面直线所成角、正三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：已知空间中，
对于：，所以，故A正确；
对于：，则单位向量为，故B错误；
对于：，所以，故C正确；
对于：设平面的法向量为，
所以，整理得，解得．
故平面的一个法向量是，故D正确．
故选：．
直接利用向量的垂直的充要条件和单位向量的定义及向量的模的运算和平面的法向量判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，平面的法向量，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
10.【答案】
【解析】解：对于：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确；
对于：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列，
有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序，
所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误；
对于：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法，
所以共有种不同的演出顺序，故C正确；
对于：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序，
而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确．
故选：．
利用全排列判断，利用捆绑法判断，利用插空法判断，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断．
本题主要考查了排列组合知识，考查了捆绑法和插空法的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
对于，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，
则，，
直线与平面所成的角等于，故A正确；
对于，点到面的距离为：
，故B正确；
对于，，，
，，
两条异面直线和所成的角为，故C错误；
对于，设，则，，则，
则，当，时，的长最小，最小值为，故D正确．
故选：．
以为坐标原点建立空间直角坐标系，
对于，求出平面的法向量，利用向量法求出直线与平面所成的角；
对于，利用向量法求出点到面的距离；
对于，求出，，利用向量法求出两条异面直线和所成的角；
对于，设，则，，则，利用两点间的距离公式可求最小值．
本题考查命题真假的判断，考查线面角、点到平面的距离、异面直线所成的角、两点间的距离的最小值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：设向量的坐标为，
单位向量与向量都垂直，
，，
向量的坐标为，
为单位向量，
，
故向量的坐标为．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及单位向量的定义，即可求解．
本题主要考查向量的数量积公式，以及单位向量的定义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
则，，
，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分步讨论区域和区域的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分步进行分析：
对于区域，三个区域两两相邻，有种涂色方法，
对于，若与同色，有种涂色方法，
若与不同色，都只有一种涂色方法，
则区域有种涂色方法，
故有种涂色方法，
故答案为：．
15.【答案】解：从，，，，，，这个数字中取出个数字，
有个没有重复数字的排列；
从，，，，，，这个数字中取出个数字，
能组成个没有重复数字的四位数．
【解析】由排列的定义，结合排列数的运算求解；
由排列的定义，结合排列数的运算求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
16.【答案】解：若名男生相邻，名女生相邻，不同的排法共有种；
因为名女生的身高互不相等，从高到矮、从左到右排列，所以不同的排法只有种．
【解析】用捆绑法可解决此问题；根据题意可知符合条件排列只有种．
本题考查排列组合应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为是的中点，所以；
因为是的中点，所以；
因为是的中点，所以，
又，
所以．
【解析】根据向量加法的三角形法则表示即可；
根据空间向量的线性表示，用，和分别表示出和，求和即可．
本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，属于基础题．
18.【答案】解：由题意，得，，，，，
，，
；
是二面角的平面角，
，
，
化简得：，又，
，

【解析】直接由题写出坐标，由向量的坐标运算即可求；
由是二面角的平面角，建立向量间的关系，再结合即可求
本题主要考查利用空间向量知识解决立体几何问题，意在考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】证明：记与的交点为，连接，设直线和平面的距离为，
、分别是、的中点，四边形是矩形，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
，
即，则．
解：在平面中过作于，连接，
正方形与矩形所在的平面互相垂直，且相交于，
，在矩形内，所以，
则，又，，、平面
平面，
是在平面上的射影，
由三垂线定理得，
是二面角的平面角，
在中，，，
，
所以，
二面角的大小为；
解：分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图：
设，则，，
由题意，
解得，
所以点应在线段的中点处．
【解析】利用线面平行的判定定理，即可证明平面，即可得解；
利用面面垂直的性质及线面垂直的判断，可得是二面角的平面角，解直角三角形，即可得到二面角的大小；
建立空间直角坐标系，利用空间向量，即可得到结论．
本题考查线面平行判定定理，考查二面角及面面垂直性质、线面垂直判定定理，用空间向量求直线与直线夹角，属于中档题．
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