2023-2024学年江苏省常州市北郊高级中学高一（下）学情调研数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省常州市北郊高级中学高一（下）学情调研数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是( )
A. B. C. D.
2.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.设的内角，，的对边分别为，，，且：：：：，则的值为( )
A. B. C. D.
5.在边长为的等边中，，分别在边与上，且，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，、、分别是函数图象与轴交点、图象的最高点、图象的最低点．若，且则的解析式为( )
A. B.
C. D.
8.已知如图中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，直径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 最小正周期为 B. 在区间上的最大值为
C. 图象的一个对称中心为 D. 图象的一条对称轴为直线
10.对于有如下命题，其中错误的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若，，，则的面积为
C. 若，则为等腰三角形
D. ，，则的面积为
11.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是( )
A. 点，，与向量共线的单位向量为
B. 非零向量和满足，则与的夹角为
C. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则
D. 向量，，则在上的投影向量的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.______．
13.如图，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，将角的边绕着原点逆时针旋转得到角，则 ______．
14.如图，在中，，是上的两个三等分点，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求的值；
若，
求的值；
求的值．
17.本小题分
在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．
若，求的值；
求的取值范围．
18.本小题分
设
若，求的值；
求的单调增区间；
设，求在上的最小值．
19.本小题分
定义非零向量若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．
已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围；
已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围；
已知向量的“伴生函数”在时的取值为若在三角形中，，，若点为该三角形的内心，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是正切函数，是奇函数，不满足题意，故A错误；
对于，若，其定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，
又，所以是周期函数，故B正确；
对于，函数的图象如图：
由此可知函数不是周期函数，故C错误；
对于，若，则，所以该函数不是偶函数，故D错误．
故选：．
根据题意，由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项，综合可得答案．
本题考查三角函数的奇偶性和周期性，涉及函数图象的变换，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
由已知求得，再由诱导公式求的值．
【解答】
解：，，，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，解得 ．
故选：．
直接利用向量垂直的坐标表示求解即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的计算问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，：：：：，
由正弦定理可得：：：：，
，，
由余弦定理可得．
故选：．
由正弦定理可得：：：：，进而可用表示，，代入余弦定理化简可得．
本题考查正余弦定理的应用，用表示，是解决问题的关键，属中档题．
5.【答案】
【解析】【分析】
根据是边长为的等边三角形，可得再将向量，表示为，代入数据即可算出．
本题给出正三角形的中线和一边的三等分点，求向量的数量积，着重考查了正三角形的性质和平面向量数量积的运算等知识，属于基础题
【解答】
解是边长为的等边三角形，可得，
，，
，，
，
；
故选A．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，即，
又，
所以，
则．
故选：．
由题意利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象解析式的确定，着重考查向量的数量积的坐标运算及其应用，属于中档题．
由图可设，函数的周期为，则，，易求，，利用向量的坐标运算，将已知坐标化整理，可求得，从而可得的值，由，又，从而可解得的值，即可解得的解析式．
【解答】
解：设，函数的周期为，则，，
，，
，
，
整理得：，
，
解得：，故有：，
，可得，又，解得：．
的解析式为：
故选：．
8.【答案】
【解析】解：据题意可知：正六边形是由六个全等的等边三角形拼成的，且，，
所以，
结合正六边形的性质可知，最小值为等边三角形底边上的高，即，
最大值为，故，所以式的范围是．
故选：．
将向量分别用表示出来，则问题可化为的范围问题，结合正六边形以及圆的性质容易求解．
本题考查平面向量数量积的运算及性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象；
所以函数的最小正周期为，
当时，函数取得最大值．
故选：．
首先利用平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若，则，
所以，即为锐角，但无法确定，的范围，A错误；
若，，，则由正弦定理得，，
所以，即，
所以或，
当时，，的面积为，B错误；
若，则或，
即或，C错误；
若，
则以，为邻边的平行四边形的对角线长都为，
所以四边形为矩形，且对角线长为，
因为，
所以，即，，
的面积，D正确．
故选：．
结合正弦定理及余弦定理检验选项A；结合正弦定理及三角形面积公式检验选项B，结合正弦函数的性质检验选项C；结合向量的线性运算及向量数量积的性质检验选项D．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及向量的线性运算及向量数量积的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，点，，
则，
与向量共线的单位向量为和，
即选项A错误；
对于选项B，非零向量和满足，
则，
则，
则，
即，
则，
则与的夹角为，
即选项B正确；
对于选项C，已知平面向量，，
又向量与的夹角为锐角，
则且与不共线，
则，
即且，
即选项C错误；
对于选项D，向量，，
则在上的投影向量的坐标为，
即选项D正确．
故选：．
由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量夹角及投影的运算逐一判断．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量夹角及投影的运算，属中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两角和与差的正切公式的应用．在应用两角和与差的正切公式时，一般会用到其变形形式：．
直接根据两角和的正切公式的变形形式整理即可得到答案．
【解答】
解：因为
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由于角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，
故，
所以．
故答案为：．
直接利用三角函数的定义和差角的余弦求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的定义，差角的余弦，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
当且仅当时，取“”，
故的最小值是：．
故答案为：．
将，化简，结合三角形的余弦定理得出三边，，之间关系，再利用边，，表示，最后利用基本不等式得出结果．
本题考察向量的运算化简，以及三角形余弦定理和基本不等式求最值，属于中档题．
15.【答案】解：Ⅰ，，
又，
，
．
Ⅱ，，
，
，，
，
．
【解析】Ⅰ依题意，由可求得答案；
Ⅱ利用可求得的值．
本题考查两角和与差的三角函数及同角三角函数间的关系式的应用，考查运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：因为，，
所以，
所以由正弦定理，可得，
所以；
因为，，可得为锐角，
所以，
所以，
因为，
由正弦定理，可得；
(ⅱ)因为，，
所以．
【解析】由题意由同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用正弦定理可得的值；
利用大边对大角可求得为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正弦公式可求的值，根据正弦定理即可求解的值；
(ⅱ)利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角和的余弦公式，即可求解的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦公式，二倍角公式以及两角和的余弦公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：由图知：，
所以，
所以，
又，，，
所以．
由知：，
令且，则，
所以
．
则．
【解析】由，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求即可．
令且，同应用向量数量积的运算律得到关于的表示式，即可求值．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，
解得．
，
令，，解得，，
所以的单调增区间是．
，
因为，从而，
，，令
则，对称轴为，
时，单调递减，则；
时，在上单调递减，在上单调递增，；
时，单调递增，则；
综上，．
【解析】由，齐次式法求的值；
利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求函数单调递增区间；
时，，由，令，则，利用二次函数的性质，分类讨论最小值．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式，正弦函数及二次函数的性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为向量为函数的“源向量”，所以，
则方程上有且仅有四个不相等的实数根，
所以在上有且仅有四个不相等的实数根，
令，，
当时，
，
当时，，
所以，
其图象为：
结合，，，
故当在上有且仅有四个不相等的实数根时，
的取值范围为．
由题意得：
，其中，
当，即时，取最大值，
故，
则，
令，由于，故，
即，则，解得，
所以，因为单调递增，
所以，所以的取值范围为
由题意得，，则，
在三角形中，，，因此，
设三角形外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以，
，
，
代入得：，
所以当时，取得最大值．
【解析】根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可；
根据题中条件求得的值，继而求得，利用二倍角公式求得的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围；
根据条件可先求得，继而根据正弦定理可得角形外接圆半径，则，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可．
本题考查三角函数性质，参变分离，数形结合，换元法构造函数，属于难题．
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