2023-2024学年新疆乌鲁木齐101中高三（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年新疆乌鲁木齐101中高三（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若复数满足方程为虚数单位，则复数的共轭复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为：：，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中中年人数为人，则( )
A. B. C. D.
4.已知对任意实数，有，，且时，导函数分别满足，，则时，成立的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是( )
A. B. 或
C. ，且 D. ，且
6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
7.已知，，则是的半角( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 面积的最小值为
C. 以焦半径为直径的圆与直线相切
D.
10.下面命题正确的是( )
A. 不等式的解集为
B. 不等式的解集为
C. 不等式在是恒成立，则实数的取值范围为
D. 函数在区间内有一个零点，则实数的范围为
11.已知事件，满足，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么
D. 如果与相互独立，那么
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，且与的夹角为，则 ______．
13.若一个正棱台的棱数大于，且各棱的长度构成的集合为，则的最小值为______．
14.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线的倾斜角，则的所有可能取值区间为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中的内角、、的对边分别是、、，若．
求；
若，点为边上一点，且，求的面积．
16.本小题分
已知正项数列中，，前项和为，且_____请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答．
条件：；．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点在上，且．
在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由；
求二面角的平面角的大小．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，且该抛物线经过点，其焦点在轴上．
Ⅰ求过点且与直线垂直的直线的方程；
Ⅱ设过点的直线交抛物线于，两点，，求的最小值．
19.本小题分
设函数，．
当时，求函数的单调增区间；
若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
若函数在区间内存在两个极值点，，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，解得，
，
，．
则的取值范围是．
故选：．
由，可得，再利用集合的运算性质即可得出．
本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：为虚数单位，，
复数的共轭复数对应的点在第三象限．
故选：．
为虚数单位，可得，利用复数的运算法则化简可得，，利用几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义、几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为：：，
用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中中年人数为人，
则，
解得．
故选：．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得：函数是奇函数，是偶函数，
而时，导函数分别满足，，
故时，递增，递减，
故时，递增，递增，
即时，，，
故选：．
根据函数的奇偶性判断函数的单调性即可．
本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，是一道基础题．
5.【答案】
【解析】解：首先且，因为直线恒过定点，
所以要满足题意，只需在椭圆内，
即，解得，
所以且即为所求．
故选：．
根据直线恒过定点，要使直线与椭圆恒有公共点，只需点在椭圆上或椭圆内即可，据此列出不等式求解．
本题考查直线的性质以及点与椭圆位置关系的判断，属于中档题．
6.【答案】
【解析】，因为函数在上恒增，故其导函数在上恒大于等于，
故，解得，
故选：．
对函数求导后，令导函数恒大于等于，解出的范围即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
又，
．
故选：．
直接利用半角公式求解即可．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，成等差数列，
，
当时，则，解得，不符合题意；
当时，，
化简得，
即，
，解得，
又，，
解得．
故选：．
根据等比数列的通项公式、求和公式及等差中项计算，分，两类讨论即可求出．
本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，等差中项，分类讨论的思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
显然直线的斜率不为，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交，
设直线为，
联立方程，消去得，
则，．
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，
原点到直线的距离，
所以面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为，故B正确；
对于选项C：由题意可知：线段的中点，
则到轴的距离为，
所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于选项D：因为
，
即，故D错误．
故选：．
求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断以及不等式的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
解不等式即可判断选项A；由分式的意义即可判断选项B；分及讨论，综合即可得到的范围，进而判断选项C；举反例当时，符合题意，即可判断选项D．
【解答】
解：对于，不等式即为，解得，选项A正确；
对于，显然，当时，不等式无意义，选项B错误；
对于，当时，恒成立；
当时，当时，不等式为，显然成立，则只需即可，解得；
综上，实数的取值范围为，选项C正确；
对于，当时，满足在区间内有一个零点，则选项D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，，故A错误；
对于选项B，如果 ，那么，故B正确；
对于选项C，如果与互斥，那么 ，故C正确；
对于选项D，如果与相互独立，那么
，故D正确．
故选：．
根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可．
本题考查互斥事件和独立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，与的夹角为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
根据数量积的定义、结合向量模的运算求解即可．
本题考查了数量积的定义，重点考查了向量模的运算，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为正棱台的侧棱有条，底面有条棱，
所以正棱台共有条棱，
由，得，
所以的最小值为．
故答案为：．
根据正棱台的结构，利用棱数列不等式求解即可．
本题考查棱台的结构特征，涉及合情推理的应用，属于基础题．
14.【答案】，
【解析】解：求导，，
在区间上是单调函数，
则有在恒大于等于或恒小于等于，
若在区间上单调减，则，
故即
若在区间上单调增，则，
，
所以即
综上所述，，，
故答案为：，
求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式，结合的范围，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
15.【答案】解：，，
由正弦定理得，，
又，
，
．
，，
由余弦定理，可得，整理可得，解得或舍，
，可得，
，可得，
．
【解析】由题意利用二倍角的正弦公式，正弦定理可得，结合可求的值，利用二倍角的余弦公式即可求解的值．
由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值，由题意可求，，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：选，即有，
由，可得，可得数列是公差为的等差数列，由，可得，即，
则；
选，可得时，，解得；
由，可得，解得，
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
即有，即，，
则，，，，
相加可得，则，对，，都成立，
所以；
证明：，
数列的前项和为．
【解析】选，由因式分解和等差数列的定义和通项公式，可得所求；选，由数列的通项与求和的关系，结合累加法可得所求；
由数列的裂项相消求和和不等式的性质，可得证明．
本题考查等差数列的定义、通项公式和数列的递推式、数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：当是棱的中点时，平面，
证明如下：
取的中点，连接，，，记与交于点，连接，
易得，
平面，平面，
平面，
由，是的中点，知是的中点，
由四边形是正方形，知为的中点，
所以，
平面，平面，
平面，
又，，平面，
平面平面，
平面，
平面．
作交于，作于，连接，
由平面，知平面，
，
，，平面，
平面，
又平面，
，
是二面角的平面角．
由题意得，
在中，，
，
二面角的平面角的大小为．
【解析】分别取中点，中点，连接，，先证明面面平行即平面平面，从而得线面平行平面．
作交于，作于，连接，然后由线面垂直证明线线垂直即，从而得即为所求二面角，再结合几何知识从而可求解．
本题考查空间线面位置关系以及二面角的求法，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ由题意可知抛物线开心向右，
设抛物线方程为，把代入抛物线方程可得：，
即，于是．
又直线的斜率为，故而所求直线斜率为，
所求直线方程为．
Ⅱ设点和的坐标为和，直线的方程是，．
将代入，有，解得，．
由得：，化简得．
．
，当且仅当时取等号，
的最小值为．
【解析】判断抛物线开口得出焦点坐标，再求出直线方程；
设直线的斜率为，联立方程组得出与的关系，根据弦长公式和基本不等式可得结论．
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，则，
由得或，
函数的单调增区间是，；
函数，则，
函数在区间上为减函数，
，成立，即，，
又在上单调递减，即，，
，
的取值范围是；
由得，
函数在区间内存在两个极值点，，则在区间内有两个不等根，，
即，解得，且有，
不妨令，则，
当或时，，当时，，
则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，
由两边平方得，
则，即，
整理得，
联立得，解得，
综上所述，，
实数的取值范围是
【解析】由题意得，则，再求出导函数大于的不等式解集，即可得出答案；
题意转化为，成立，利用分离变量法可得在上恒成立，
由函数的导函数在上恒小于等于即可出的范围；
根据给定条件可得函数在区间内的两个极值一正一负，再列出不等式求解，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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