湖南名校联考联合体2023-2024学年高二下学期第二次（期中）联考试卷(无答案)

名校联考联合体2024年春季高二年级第二次（期中）联考
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.设集合.若，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A. B. C.8 D.12
4.已知，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.关于中心对称
C.关于直线对称 D.的值域为
5.已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）
A.0.85 B.0.8 C.0.75 D.0.7
6.已知均为锐角，且.则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在矩形中，分别是上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A.48 B.49 C.50 D.51
8.已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.函数在上单调递增
B.函数是奇函数
C.函数与的图象关于原点对称
D.
10.已知椭圆的左 右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ）
A.存在点，使.
B.
C.的最小值为
D.周长的最大值为8
11.已知数列满足，的前项和为，下列结论正确的是（ ）
A.数列是等比数列
B.
C.
D.当时，数列是单调递减数列
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则__________.
13.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为__________.
14.如图所示，过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若，双曲线的离心率为表示不超过的最大整数，则的值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，点为的重心.
（1）求证：；
（2）经过点及直线作截四棱锥的截面，设截面平面，请画出直线，判断直线与平面的位置关系，并进行证明；
（3）求二面角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
现有标号依次为的个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止：
（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
（3）记号盒子中红球的个数为，求的期望.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若（e为自然对数的底数），求函数的极值；
（2）若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.