山东省烟台市2023-2024学年高二下学期期中学业水平诊断数学试卷(含答案)

山东省烟台市2023-2024学年高二下学期期中学业水平诊断
数学试卷
注意事项:
1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰;超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1.由1,2,3,4可以组成无重复数字三位数的个数为
A.4 B.24 C.64 D.81
2.如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网,是道路网中的一个交汇处,小明要从道路网的处出发,途经处到达处,则小明可以选择的最短路径条数为
A.6 B.9 C.12 D.18
3.若随机变量,则
A.0.15 B.0.3 C.0.35 D.0.7
4.甲、乙两人各自独立射击,甲射击两次,乙射击一次.若甲每次射击命中目标的概率为,乙每次射击命中目标的概率为,甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响.则在两人三次射击中至少命中目标两次的条件下,甲恰好命中目标两次的概率为
A. B. C. D.
5.若能被8整除,则的值可能为
A.1 B.2 C.4 D.7
6.已知随机变量,若,且,则
A. B. C.5 D.6
7.依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子两次,设事件“第一次出现的点数是奇数”，“第一次出现的点数是1”,“两次的点数之和为奇数”,“两次的点数之和为7”,则下列结论错误的是
A.与相互独立 B.与相互独立 C.与相互独立 D.与相互独立
8.排球比赛一般采用五局三胜制,第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队,在每局比赛中,发球方赢得此球后可获得下一球的发球权,否则交换发球权.甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为.则在第一局比赛中,甲队获得第三个球的发球权的概率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.下列结论正确的有
A.离散型随机变量的方差越大,随机变量取值越集中
B.经验回归方程的决定系数越大,该模型的拟合效果越好
C.回归分析中,两个变量的相关系数的绝对值越大,它们的线性相关程度越强
D.正态曲线是单峰的,其与轴围成的面积是随参数的变化而变化的
10.一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球,其中黄球占比.现从袋子中随机摸出3个球,用X,Y分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数.则
A. B.若,则
C.若,则 D.
11.甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛,约定比赛规则如下:每局比赛获胜的一方积1分,负者积0分,无平局,积分首先达到3分的一方获得最终胜利,比赛结束.若甲每局比赛获胜的概率为,且每局比赛相互独立,表示比赛结束时两人的积分之和,则
A.服从二项分布 B.
C.比赛结束时,甲、乙的积分之比为3:1的概率为 D.随机变量的数学期望为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知的展开式中的系数为21,则实数的值为__________.
13.甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相,若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端,则不同的站法种数为__________.(用数字作答)
14.如果X,Y是离散型随机变量,则在条件下的期望满足,其中是所有可能取值的集合.现甲、乙两选手进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.若表示“甲第一次获胜时已进行的比赛局数”,表示“甲恰好第三次获胜时已进行的比赛局数”,则__________;__________.(两空均用数字作答,本题第一空2分,第二空3分.)
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若,求的值.
16.(15分)兵乓球是我国的国球,是一种世界流行的球类体育项目.某学校为了解学生是否喜欢“乒乓球运动”,从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查.统计数据整理如下:男生喜欢兵乓球运动的人数比女生喜欢乒乓球运动的人数多20人,设事件“喜欢乒乓球运动”,“学生为男生”，.
(1)完成如图列联表;
喜欢乒乓球运动 不喜欢兵乓球运动 合计
男生
女生
合计 100
(2)依据小概率值的独立性检验,能否认为喜欢乒乓球运动与性别有关联
参考公式:,其中..
17.(15分)某小微企业对其产品研发的年投入金额(单位:万元)与其年销售量(单位:万件)的数据进行统计,整理后得到如下的数据统计表:
1 5 7 8 9
2 3 6 8 11
0.7 1.1 1.8 2.1 2.4
(1)公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型,根据上表数据,分别求出两种模型的经验回归方程;
(2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果,若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型,并估计当年投入金额为10万元时的年销售量.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.
参考数据:.
18.(17分)某校为了解本校学生每天的体育活动时间,随机抽取了100名学生作为样本,统计并绘制了如下的频率分布直方图:
(1)估计这100名学生的平均体育活动时间;
(2)从这100名学生中按照等比例分层抽样的方式在体育活动时间位于[40,60]和[60,80]的两组学生中抽取12名学生,再从这12名学生中随机抽取3人,用表示这3人中属于[40,60]的人数,求的分布列和数学期望;
(3)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率,若从该校学生中随机抽取且名学生,求当为何值时,“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大
19.(17分)已知编号为1,2,3的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球,其中1号袋子内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号袋子内装有两个1号球,一个3号球;3号货袋子内装有三个1号球,两个2号球和一个3号球.现按照如下规则连续摸球两次:第一次先从1号袋子中随机摸出1个球,并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中,第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球.
（1）若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自1,2,3号袋子的概率;
（2）设X,Y是样本空间上的两个离散型随机变量,则称是上的二维离散型随机变量.设的一切可能取值为,记表示在中出现的概率,其中.若表示第一次摸出的是号球,表示第二次摸出的是号球.
①求;
②证明:.
20232024学年度第二学期期中学业水平诊断
高二数学参考答案
一、选择题
BBACDCCB
二、选择题
9.BC 10.ABD 11.BCD
三、填空题
12.3 13.24 14.
四、解答题
15.解(1)二项式的展开式中的第项为,………………………………2分
由题得,解得,……………………………………………………………………4分
所以展开式中其9项,第5项的二项式系数最大，………………………………………………….5分
第5项为;.…………………………………………………………………6分
(2)由(1)知,,
所以,分
令,得,……………………………………………………………10分
令,得,……………………………………………………………………12分
所以.……………………………………………………13分
16.解:(1)设抽取100名学生中男生有人,则女生人,
因为,所以女生中喜欢乒乓球运动的有人,.………………………………2分
又因为,所以,
所以喜欢乒乓球运动的共有人,………………………………………4分
所以,解得,……………………………………………………5分
所以抽取100名学生中男生55人,则女生45人,
所以喜欢乒乓球运动的女生为20人，不喜欢乒乓球运动的女生为25人，
喜欢乒乓球运动的男生为40人,不喜欢乒乓球运动的男生为15人,……………………………….6分
所以列联表为:
喜欢乒乓球运动 不喜欢兵乓球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
……………………………………………………………………………………………………………………10分
（2）零假设为:是否喜欢乒乓球运动上性别无关联.……………………………………………………11分
根据列联表中数据,计算得到…………………………………………………14分
依据小概率值的独立性检验,可以推断不成立,即认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联.
…………………………………………………………………………………………………………………15分
17.解:(1)由题知,,
…………………………………………………………………2分
所以.………………………3分
所以,…………………………………………………………….5分
所以模型①的经验回归方程为.………………………………………………………6分
由,两边取以为底的对数得,即,………………………………7分
所以,.……………………………………………………9分
所以模型②的经验回归方程为.……………………………………………………………10分
(2)因为,即②的残差的平方和较小,所以,模型②的拟合效果更好.…………………………12分
所以,当时,.……………………………………………………14分
即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件.……………………………………15分
18.解:(1)这100名学生的平均活动时间
…2分
(2)因为体育活动时间位于[40,60]和[60,80]的频率分别为0.28和0.2,
所以抽取的12名学生中,位于[40,60]的有人，
位于[60,80]的有人，…………………………………………………………………………4分
所以随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,且服从超几何分布,……………………………………5分
故
………………………………………………………………………………………8分
所以的分布列为
0 1 2 3
所以.………………………………………………10分
（3）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为:
………………………………………………11分
设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为,则,且………………………………………………………………………12分
设,则当“抽取的名学生中恰有5人每天的运动时间不低于40分钟”的概率最大时,有,
即,………………………………………………………………14分
化简得,解得,………………………………………………………………16分
因为旦,所以.…………………………………………………………………………17分
19.解:(1)设第一次摸到第号球的事件分别为,第二次摸到3号球的事件为,第二次在第号袋子中摸到3号球的事件为,则两两互斥,且,,…………………………………………………………………………………………2分
所以,,即第一次摸到3号球的概率为.………………………………………………………………………………4分
所以，第二次摸到的是3号球,它此次来自1号袋子的概率
………………………………………………6分
第二次摸到的是3号球,它此次来自2号袋子的概率
………………………………………………8分
第二次摸到的是3号球,它此次来自3号袋子的概率
………………………………………………10分
（2）①由题知，即第一次摸出的是1号球放回1号袋子中,第二次从该袋子里摸出的是2号球，
所以.………………………………………………………………………………13分
②由定义及全概率公式知，
…………………………………………………………………………17分