福建省莆田市锦江中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)

莆田锦江中学2023-2024学年（下）期中测试
数学试卷
一、单选题
1．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
2．已知变量与之间的一组数据如表：
2 4 5 6 8
30 50 70
若与的线性回归方程为，则的值为（ ）
A．60 B．70 C．100 D．110
若函数的导函数图象如图所示，则（ ）
A.的解集为
B．是函数的极小值点
C．函数的单调递减区间为
D．是函数的极小值点
4．设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P a b
A． B． C． D．
5．5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间 1 2 3 4 5
销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数
B．线性回归方程中
C．当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.24个单位
D．可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只）
6．正方体中，是中点，则直线与线所成角的余弦值是（ ）
B．
C． D．
7．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得直线与直线相交
B．存在点，使得直线平面
C．直线与平面所成角的大小为
D．平面被正方体所截得的截面面积为
二、多选题
9．（多选）下列结论正确的是（　　）
A．已知向量a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），则a在b上的投影向量为（1，2，2）
B．若对空间中任意一点O，有则P，A，B，C四点共面
C．已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一组基底
D．若直线l的方向向量为e＝（1，0，3），平面α的法向量n＝（－2，0，），则直线l⊥α
10．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服正态分布，，则
11．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为 ．
13．甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 .
14．人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，己知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现己知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为 ，直线l与平面所成角的正弦值为 .
四、解答题
15．已知曲线在点处的切线的斜率为1.
(1)求实数a的值；
(2)求函数的单调区间与极值.
16．软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美，还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．越来越多的家长开始注重孩子的书法教育，某书法培训机构统计了其招收的所有学生中每种软笔书法学习人数（每人只学习一种书体）的情况，得到相关统计数据如下：
书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书
人数 24 16 10 20 10
(1)该培训机构统计了某周学习软笔书法学生的作业完成情况，得到下表：
认真完成 不认真完成 总计
男生 7 27
女生
总计 65
补全2×2列联表，并判断能否有的把握认为是否认真完成作业与性别有关；
(2)现从该培训机构学习楷书与行书的学生中，按学生学习的书体用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：．
0.25 0.15 0.10
1.323 2.072 2.706
17．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．
(1)求直线与平面所成角的大小；
(2)求点到平面的距离．
18．盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球.
(1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
(2)设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列.
19．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．D
【详解】因为，则，
∴.
2．C
【详解】因为，又与的线性回归方程为，
所以，即，解得.
3．D
【详解】对于A，由图可知，的解集即函数的单调递减区间，为，故A错误；
对于B，由图，的左右两边，所以不是函数的极值点，故B错误；
对于C，由图当时，所以的单调递减区间为，故C错误；
对于D，由图当时，单调递减，当时，，单调递增，
所以是函数的极小值点，故D正确.
4．B
【详解】由题意得，，
解得，
故.
5．B
【详解】从数据看随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故A正确；
由已知数据得，，
代入中得到，故B错；
根据线性回归方程可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故C正确.
将代入中得到，故D正确.
6．A
【详解】依题意建立空间直角坐标系，如图，

不妨设，则，
故，
所以，
所以直线与线所成角的余弦值为.
7．C
【详解】函数，
可得，
若，此时单调递增，无极值点，
故，令，解得，
当时，，当时，，
故是的极值点
由于函数有大于零的极值点，
，解得．
8．C
【详解】
连接，，所以，，取的中点，连接，
所以，点到线段的最短距离大于，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确；
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，即，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确；
因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，，
所以为直线与平面所成角，
因为，在中，，
所以，因为与全等，所以，故正确；
延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点，
连接，，，，，，
平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，
所以截面面积为，故不正确.
9．ABC
【详解】因为a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），所以a在b上的投影向量为·＝·b＝·（1，2，2）＝（1，2，2），故A正确；因为＋＋＝1，故B正确；{a，b，c}是空间的一组基底，m＝a＋c，所以{a，b，a＋c}两向量之间不共线，所以{a，b，m}也是空间的一组基底，故C正确；因为直线l的方向向量为e＝（1，0，3），平面α的法向量n＝（－2，0，），e·n＝－2＋0＋2＝0，则直线l∥α或l α，故D错误．
10．CD
【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，，
则，故A错误；
对于B，若随机变量的方差，则，故B错误；
对于C，若随机变量服从二项分布，
则，故C正确；
对于D，若随机变量服正态分布，，
则，故D正确.
11．ACD
【详解】对于A：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令，得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减，且，
若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点，
则不妨取，
当时，，
所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D：明显，所以是函数的一个零点，且，
函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1），
因为，
所以，
设，则
当时，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点，
所以，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，
所以，所以，D正确.
12．
【详解】因为，则，
所以切点为，且，
则，
由直线的点斜式可得，化简可得，
所以切线方程为.
故答案为：
13．
【详解】
因为，
所以,
14． /
【详解】显然平面的一个法向量可以为,
易知平面的法向量为，平面的法向量为，
且直线l的方向向量为，故，，令，
解得，，故，设直线l与平面所成角为，
则.
15．(1)1
(2)递减区间为，递增区间为；极小值为，极大值为.
【详解】（1）由，得，
曲线在点处的切线的斜率为1，
故；
（2）由（1）知，，
令，则或；
令，则；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
故函数的极小值为，极大值为.
16．(1)表格见解析，没有
(2)分布列见解析，
【详解】（1）补全的列联表如下：
认真完成 不认真完成 总计
男生 20 7 27
女生 45 8 53
总计 65 15 80
则，
因为，
所以没有的把握认为是否认真完成作业与性别有关．
（2）因为学习楷书与行书的人数之比为.
所以抽取的10人中，学习楷书的有6人，学习行书的有4人.
所以的所有可能取值为.
，
，
．
所以的分布列为
0 1 2 3 4
所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为平面，，
如图以为原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，
则，

所以，
因为，
所以.
（2）设平面的法向量，，
则，即，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，又，
所以，所以直线与平面所成角的大小为.
（3）设点到平面的距离为，因为，
所以，所以点到平面的距离为.
18．(1)；
(2)分布列见解析.
【详解】（1）因一局比赛后盒中恰有3个新球，则本局比赛取到了一个旧球，一个新球.
因一共有6个球，则总情况数为，取到一个新球，一个旧球的情况数为，
则相应概率为： ；
（2）设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
第二局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4.
；
；
；
；
.
则分布列如下：
0 1 2 3 4
19．(1)
(2)
【详解】（1）由于，故，切点为，
，
所以切线的斜率为0，在点处的切线方程为．
（2）令，则，
所以为R上单调递增函数，
因为，所以时，时，，
所以在单调递减，在单调递增．
若对于任意，都有恒成立，即只需．
因为在单调递减，在单调递增，
所以的最大值为和中最大的一个，
所以，
设，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
，故当时，．
当时，，则成立．
当时，由的单调性，得，即，不符合题意．
当时，，即，也不符合题意．
综上，的取值范围为.