江苏省盐城中学、南京二十九中联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题(含答案)

江苏省盐城中学2023—2024学年度第二学期期中考试
高二年级数学试卷（2024.4）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填写在答题卡上.
1.关于的一组样本数据，，，…的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数r为（ ）
A． B． C．1 D．2
2.已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3.已知随机变量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知点，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E 5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（ ）种.
A．120 B．96 C．240 D．144
6.设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，若部分选对得部分分，若错选不得分。请把答案填写在答题卡上.
9.下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，满足，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是e和2
C．已知，，若，则事件M，N相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
10.已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数（a为常数），若函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于98至102之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得至多为 .
（若，则）
13.已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点，，则三棱锥A-MBC的体积是 .
14.从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则选法有 种.
四、解答题：本题共5题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
（1）求展开式中的常数项；
（2）已知，，的展开式中含x项的系数为5，含项的系数为4，求的近似值.（精确到0.01）
16.（本题满分15分）
某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7
女生 16 30
合计 21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”。在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率。若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”.在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望
附：，
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17.（本题满分15分）
如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形.
（1）求证：平面PAC；
（2）若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.
18.（本题满分17分）
现有n枚硬币，，…，.对于每个k（，2，…，m），硬币是有偏向的，即向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为.
（1）将，这2枚硬币抛起，设落下时正面朝上的硬币个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）将这n枚硬币抛起，求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率，
19.（本题满分17分）
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
（1）求曲线在的曲率；
（2）已知函数（），求曲率的平方的最大值；
（3）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.
2023—2024学年度第二学期期中考试
高二年级数学试卷（2024.4）参考答案
一、单项选择题
1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.A 8.C
二、多项选择题
9.BCD 10.ACD 11.ABD
【详解】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点.
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
且当时，，如下图所示：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
对于A选项，由已知可得，消去a可得，A对；
对于B选项，设（），因为，则，
所以，，，
由，得，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，故，B对；
对于C选项，设，取，则，所以，，故，C错；
对于D选项，，则（），
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则，D对.
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
三、填空题
12.1 13.4
14.665
【详解】
当A为空集时，B可以包含1，2，3，4，5，6个元素，
所以共有种选法：
当A只含有1个元素时，B可以包含2，3，4，5，6个元素，
所以共有种选法：
当A只含有2个元素时，B可以包含3，4，5，6个元素，
所以共有种选法：
当A只含有3个元素时，B包含4，5，6个元素，
所以共有种选法：
当A有4个元素时，B包含5，6个元素，
所以共有种选法：
当A有5个元素时，B包含有6个元素，
所以共有种选法；
故共有.
故答案为：665
四、解答题
15.【答案】（1）60 （2）2.02
（1）【详解】，
的展开式的通项公式为，
，
令，则，
令，r不存在
所以的展开式中常数项为.
故答案为：60.
（2）根据题意得，即.①
的展开式中的系数为.
将①变形为代入上式，得的系数为，
故当，或，时，
16.【答案】（1）见解析 （2）
【详解】
（1）根据题意可得列联表如下；
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7 23 7
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率.即可得.
故，.
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3；
且Y服从超几何分布：
，
，
，
故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
可得
17.【答案】（1）见解析 （2）
【详解】
（1）证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，所以，
又平面平面ABC，且平面平面，平面ABC，
所以平面PAC
（2）由E，F分别是PC，PB的中点，连结AE，EF，所以，
由（1）知平面PAC。
又平面PAC，所以，所以，
所以在Rt△AFE中，∠AFE就是异面直线AF与BC所成的角.
因为异面直线AF与BC所成角的正切值为，所以，即
又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，
又平面ABC，平面平面，所以
所以在平面ABC中，过点A作BC的平行线即为直线l.
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，从而
由已知E，F分别是PC，PB的中点，所以
则，，，
所以，，
所以，，
因为，所以可设，平面AEF的一个法向量为，
则，
取，得，
又，则.
设直线PQ与平面AEF所成角为，则.
所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为.
18.【答案】（1）分布列见解析， （2）
【解析】
（1）设事件表示第i枚硬币正面朝上，则事件有表示第i枚硬币正面朝下，其中，2，3，X的可能取值为0、1、2，
则
，
，
则其分布列为：
X 0 1 2
P
期望
（2）设将这n枚硬币抛起，落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率为
则，
当时，有，
即，
即，
又，
即数列为以1为公差，以1为首项的等差数列，
即，故.
19.【答案】（1） （2）1 （3）
【详解】
（1）因为，则，，
所以.
（2）因为（），则，，
所以，
则，
令，则，，
设，则，
显然当时，，单调递减，
所以，所以最大值为1.
（3）∵，，
∴，
∴，，
因为在两个不同的点处曲率为有两个大于0的实数解有两个大于0的零点.
令（），
∵，
∴在上单调递增，且值域为R，
有两个大于0的不同的零点，
等价于，有两个不同的零点.
令，，则，
令得，时，，即单调递减；
时，，即单调递增；
又因为有两个不同的零点，
∴，
∴.
下面证明当时，有两个零点：
①因为，，且函数图象连续不间断，所以，
使得
②因为，所以，
又，且函数图象连续不间断，所以，使得
综上，m的取值范围为.
没有用到零点存在性定理，是不严谨的.只能得2分，建议找到点再给3分.如果用参变量分离方法且答案正确没有找点给3分.