RJ数学八下专题课堂(八) 平行四边形中的动态问题（含答案）
文档属性
| 名称 | RJ数学八下专题课堂(八) 平行四边形中的动态问题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-02 09:23:14 | ||
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文档简介
RJ数学八下专题课堂(八) 平行四边形中的动态问题
【例】如图所示， ABCD中，∠A＝120°，AB＝3 cm，AD＝5 cm，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)当AE为何值时，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形吗？请说明理由．
分析：(1)证明CG＝DG，EG＝FG即可得到四边形CEDF是平行四边形；(2)①证出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；②证出△CDE是等边三角形，根据菱形的判定推出即可．
【对应训练】
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为( )
A．1 B． C． D．2
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( )
A.逐渐增加 B.恒等于4
C.先减小再增加 D.恒等于2
3．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM＋PN的值( )
A.是定值4 B.是定值8
C.有最小值4 D.有最大值8
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为( )
A. B. C.5 D.7
5．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，
H是CD上一点，且DH＝CD.
(1)连接CG，则∠DCG＝ ；
(2)连接GH，GH的最小值为 ．
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.
(1)如图①，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
(2)若EF＝FG，当EF过AC中点时，AG的长为________.
7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G，H分别是AD，BC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从A，C两点同时以每秒1个单位长度的速度出发相向而行，运动时间为t秒.
（1）当0＜t＜5时，判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）当0＜t＜10时，若四边形EGFH为矩形，请直接写出t的值为 .
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为t s.
(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD
是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【例】如图所示， ABCD中，∠A＝120°，AB＝3 cm，AD＝5 cm，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)当AE为何值时，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形吗？请说明理由．
分析：(1)证明CG＝DG，EG＝FG即可得到四边形CEDF是平行四边形；(2)①证出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；②证出△CDE是等边三角形，根据菱形的判定推出即可．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中， ∴△FCG≌△EDG (ASA)，∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形
(2)①当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝3，∴BM＝1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵AE＝3.5，∴DE＝1.5＝BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC(SAS)，∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形．
②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝5，AE＝2，∴DE＝3，∵CD＝3，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形
【对应训练】
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为( C )
A．1 B． C． D．2
【解析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC－CF＝4－2t求出时间t的值．
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( B )
A.逐渐增加 B.恒等于4
C.先减小再增加 D.恒等于2
3．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM＋PN的值( A )
A.是定值4 B.是定值8
C.有最小值4 D.有最大值8
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为( B )
A. B. C.5 D.7
5．如图，正方形ABCD中，AB＝4 ，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，
H是CD上一点，且DH＝CD.
(1)连接CG，则∠DCG＝ ；
(2)连接GH，GH的最小值为 ．
【答案】45°
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.
(1)如图①，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
(2)若EF＝FG，当EF过AC中点时，AG的长为________.
解：(1)①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵四边形EFGH是矩形，∴FG∥BC，∴∠FGA＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC，∴AF＝FG ②连接BG，∵AB＝BC，点G是AC的中点，∴BG⊥AC，∴∠BGA＝90°，即∠BGF＋∠FGA＝90°，在Rt△ABG中，∠FAG＋∠ABG＝90°，∵∠FAG＝∠FGA，∴∠FBG＝∠FGB，∴BF＝FG
(2)7
7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G，H分别是AD，BC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从A，C两点同时以每秒1个单位长度的速度出发相向而行，运动时间为t秒.
（1）当0＜t＜5时，判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）当0＜t＜10时，若四边形EGFH为矩形，请直接写出t的值为 .
解：（1）四边形EGFH是平行四边形.理由如下：
由题意，得AE＝CF＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠GAE＝∠HCF.
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝AD，CH＝BC.∴AG＝CH.
在△AEG和△CFH中，
∴△AEG≌△CFH（SAS）.
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH.
∴∠FEG＝∠EFH.∴EG∥HF.
∴四边形EGFH是平行四边形.
（2）2或8
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为t s.
(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD
是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知，AP＝t cm，CQ＝2t cm，∴DP＝AD－AP＝(12－t)cm，∵AD∥BC，若要PQ∥CD，则四边形PQCD为平行四边形，∴DP＝CQ，∴12－t＝2t，∴t＝4，即t＝4时，PQ∥CD
(2)不存在，理由：∵四边形PQCD是菱形，∴CQ＝CD，∴2t＝10，∴t＝5，此时，DP＝AD－AP＝12－5＝7(cm)，而DP≠CD，∴四边形PQCD不可能是菱形
(3)∵∠B＝90°，AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形PQBA是矩形，即t＝18－2t，解得t＝6，∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形
(4)不存在．理由：由当t＝6时，四边形PQBA是矩形，可得AP＝6 cm，∵AB＝8 cm，∴AP≠AB，∴矩形PQBA不能是正方形，即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形
【例】如图所示， ABCD中，∠A＝120°，AB＝3 cm，AD＝5 cm，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)当AE为何值时，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形吗？请说明理由．
分析：(1)证明CG＝DG，EG＝FG即可得到四边形CEDF是平行四边形；(2)①证出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；②证出△CDE是等边三角形，根据菱形的判定推出即可．
【对应训练】
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为( )
A．1 B． C． D．2
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( )
A.逐渐增加 B.恒等于4
C.先减小再增加 D.恒等于2
3．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM＋PN的值( )
A.是定值4 B.是定值8
C.有最小值4 D.有最大值8
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为( )
A. B. C.5 D.7
5．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，
H是CD上一点，且DH＝CD.
(1)连接CG，则∠DCG＝ ；
(2)连接GH，GH的最小值为 ．
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.
(1)如图①，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
(2)若EF＝FG，当EF过AC中点时，AG的长为________.
7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G，H分别是AD，BC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从A，C两点同时以每秒1个单位长度的速度出发相向而行，运动时间为t秒.
（1）当0＜t＜5时，判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）当0＜t＜10时，若四边形EGFH为矩形，请直接写出t的值为 .
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为t s.
(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD
是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【例】如图所示， ABCD中，∠A＝120°，AB＝3 cm，AD＝5 cm，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)当AE为何值时，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形吗？请说明理由．
分析：(1)证明CG＝DG，EG＝FG即可得到四边形CEDF是平行四边形；(2)①证出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；②证出△CDE是等边三角形，根据菱形的判定推出即可．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中， ∴△FCG≌△EDG (ASA)，∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形
(2)①当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝3，∴BM＝1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵AE＝3.5，∴DE＝1.5＝BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC(SAS)，∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形．
②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝5，AE＝2，∴DE＝3，∵CD＝3，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形
【对应训练】
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为( C )
A．1 B． C． D．2
【解析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC－CF＝4－2t求出时间t的值．
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( B )
A.逐渐增加 B.恒等于4
C.先减小再增加 D.恒等于2
3．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM＋PN的值( A )
A.是定值4 B.是定值8
C.有最小值4 D.有最大值8
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为( B )
A. B. C.5 D.7
5．如图，正方形ABCD中，AB＝4 ，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，
H是CD上一点，且DH＝CD.
(1)连接CG，则∠DCG＝ ；
(2)连接GH，GH的最小值为 ．
【答案】45°
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.
(1)如图①，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
(2)若EF＝FG，当EF过AC中点时，AG的长为________.
解：(1)①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵四边形EFGH是矩形，∴FG∥BC，∴∠FGA＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC，∴AF＝FG ②连接BG，∵AB＝BC，点G是AC的中点，∴BG⊥AC，∴∠BGA＝90°，即∠BGF＋∠FGA＝90°，在Rt△ABG中，∠FAG＋∠ABG＝90°，∵∠FAG＝∠FGA，∴∠FBG＝∠FGB，∴BF＝FG
(2)7
7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G，H分别是AD，BC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从A，C两点同时以每秒1个单位长度的速度出发相向而行，运动时间为t秒.
（1）当0＜t＜5时，判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）当0＜t＜10时，若四边形EGFH为矩形，请直接写出t的值为 .
解：（1）四边形EGFH是平行四边形.理由如下：
由题意，得AE＝CF＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠GAE＝∠HCF.
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝AD，CH＝BC.∴AG＝CH.
在△AEG和△CFH中，
∴△AEG≌△CFH（SAS）.
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH.
∴∠FEG＝∠EFH.∴EG∥HF.
∴四边形EGFH是平行四边形.
（2）2或8
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为t s.
(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD
是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知，AP＝t cm，CQ＝2t cm，∴DP＝AD－AP＝(12－t)cm，∵AD∥BC，若要PQ∥CD，则四边形PQCD为平行四边形，∴DP＝CQ，∴12－t＝2t，∴t＝4，即t＝4时，PQ∥CD
(2)不存在，理由：∵四边形PQCD是菱形，∴CQ＝CD，∴2t＝10，∴t＝5，此时，DP＝AD－AP＝12－5＝7(cm)，而DP≠CD，∴四边形PQCD不可能是菱形
(3)∵∠B＝90°，AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形PQBA是矩形，即t＝18－2t，解得t＝6，∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形
(4)不存在．理由：由当t＝6时，四边形PQBA是矩形，可得AP＝6 cm，∵AB＝8 cm，∴AP≠AB，∴矩形PQBA不能是正方形，即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形