RJ数学八下专题课堂(九) 平行四边形中的折叠问题（含答案）

RJ数学八下专题课堂(九)　平行四边形中的折叠问题
一、平行四边形的折叠
【例1】如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，∠1＝56°，∠ABC＝70°，求∠2的度数．
分析：先由平行四边形的性质和折叠的性质求得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，然后由三角形的外角性质求得 ∠ABD＝∠CDB＝28°，由平行四边形对边平行求得 ∠A＝110°，最后由三角形内角和定理即可求出 ∠2的度数.
【对应训练】
1.如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为(　　)
A.102° B.112°
C.122° D.92°
2.【2023·宜昌】如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A'处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 .
3．如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD.FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为 ．
4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝，∠DAB＝45°，AB＝3，如果把该平行四边形折叠，点A恰好与点C重合，求折痕EF的长．
二、矩形的折叠
【例2】如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O，若AE＝5，BF＝3，求AC的长．
分析：先由平行四边形的性质和折叠的性质求得AE＝AF＝5，再由折叠得FC＝AF，最后由勾股定理即可求出 AC的长．
【对应训练】
5．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长为(　　)
A.－2 B.－1
C. D.
6．【2023·牡丹江】在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②.
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是( )
A．3 B． C．2 D．1
7．如图，将长、宽分别为12 cm，3 cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案(阴影部分)的面积为(　　)
A．(36－6 ) cm2 B．(36－12 ) cm2 C．24 cm2 D．36 cm2
8．如图，矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，求图中阴影部分的面积．
9．如图，将一张矩形纸片ABCD先沿着BE折叠，使点A刚好落在CD边上点G处，再沿着BF折叠(其中点F为CG上的一点)，使点C恰好落在BG上点H处，连接AG，若S△BCF∶S△BGF＝3∶5，AB＝15，求AG的长．
10.（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图①.求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图②.线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由.
三、菱形的折叠
【例3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G(不与B，D重合)，折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，求BE的长．
分析：由菱形的性质易知△ABD为等边三角形，从而得到AB＝BD＝8，由折叠的性质可知，EG＝EA，作EH⊥BD于H，设BE＝x，根据勾股定理列方程求出x即可．
【对应训练】
11．如图，将菱形ABCD的边AD以直线AN为对称轴翻折至AM，使点C恰好落在AM上.若此时CM＝CN，则∠D的度数为(　　)
A．30° B．54° C．45° D．36°
12．如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处，若EG⊥AC，则FG的长为(　　)
A．3 B．6 C．3 D．3
13．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，将菱形沿EF折叠，顶点C恰好落在AB边的中点G处，求BF的长．
14．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．
四、正方形的折叠
【例4】如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，求DP的长．
分析：由正方形的性质和折叠的性质可证明Rt△AFP≌Rt△ADP，所以PF＝PD，设PF＝PD＝x，由勾股定理列方程求出x即可．
【对应训练】
15．如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝3∶1，则线段CH的长是( )
A.3 B． C．1 D．2
16．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E，F，H分别是边BC，CD，AB上的一点，将纸片沿FH折叠，使点D恰好落在BC边的中点E处，点A的对应点为P，则折痕FH的长为　 　 .
17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E.若AE＝5，则GE的长为 .
18．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF.若EF＝2，求BF2的值．
19．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.
(1)求∠EAG的度数；
(2)求证：AG∥CF；
(3)若AB＝6，则△GCF的面积等于 .
20．如图，将一块边长为9的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E处，使DE＝3，折痕为PQ，连接AE交PQ于点M.
求：(1)PA的长；
(2)PM的长．
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参考答案
一、平行四边形的折叠
【例1】如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，∠1＝56°，∠ABC＝70°，求∠2的度数．
分析：先由平行四边形的性质和折叠的性质求得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，然后由三角形的外角性质求得 ∠ABD＝∠CDB＝28°，由平行四边形对边平行求得 ∠A＝110°，最后由三角形内角和定理即可求出 ∠2的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，由折叠的性质得：∠EBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，∵∠1＝∠CDB＋∠EBD＝56°，∴∠ABD＝∠CDB＝28°，∵AD∥BC，∠ABC＝70°，∴∠A＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°，∴∠2＝180°－∠ABD－∠A＝180°－28°－110°＝42°
【对应训练】
1.如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为(　B　)
A.102° B.112°
C.122° D.92°
2.【2023·宜昌】如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A'处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 .
【答案】16
3．如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD.FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为 ．
【答案】4a＋2b
4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝，∠DAB＝45°，AB＝3，如果把该平行四边形折叠，点A恰好与点C重合，求折痕EF的长．
解：如图，过A点作CD的垂线，与CD的延长线交于G点，连接AE，CF，∵AD＝，∠DAB＝45°，∴△ADG为等腰直角三角形，AG＝GD＝1，
设AE＝x，由折叠可知，EC＝AE＝x，DE＝3－x，在Rt△AGE中，由勾股定理得：AG2＋GE2＝AE2，即12＋(1＋3－x)2＝x2，解得x＝；在Rt△AGC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，∵EF⊥AC，根据菱形AECF计算面积的方法可知，AG·EC＝EF·AC，即1×＝EF×，解得EF＝
二、矩形的折叠
【例2】如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O，若AE＝5，BF＝3，求AC的长．
分析：先由平行四边形的性质和折叠的性质求得AE＝AF＝5，再由折叠得FC＝AF，最后由勾股定理即可求出 AC的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，由折叠，得∠EFC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝5，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3＋5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4
【对应训练】
5．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长为(　A　)
A.－2 B.－1
C. D.
6．【2023·牡丹江】在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②.
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是( C )
A．3 B． C．2 D．1
7．如图，将长、宽分别为12 cm，3 cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案(阴影部分)的面积为(　A　)
A．(36－6 ) cm2 B．(36－12 ) cm2 C．24 cm2 D．36 cm2
8．如图，矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，求图中阴影部分的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8 cm，BC＝AD＝16 cm，
AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠EDB＝∠CBD.
由折叠可知，∠EBD＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE.
设DE为x cm，则AE＝(16－x) cm，BE＝x cm，
由勾股定理，得AB2＋AE2＝BE2.
∴64＋(16－x)2＝x2，解得x＝10.
∴DE＝10 cm，
∴阴影部分的面积为×DE×AB＝40(cm2)．
9．如图，将一张矩形纸片ABCD先沿着BE折叠，使点A刚好落在CD边上点G处，再沿着BF折叠(其中点F为CG上的一点)，使点C恰好落在BG上点H处，连接AG，若S△BCF∶S△BGF＝3∶5，AB＝15，求AG的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，DC＝AB＝15，
∴FC⊥BC.由折叠得GB＝AB＝15，FC＝FH，
∠C＝∠BHF＝90°，∴FH⊥GB.
∵S△BCF∶S△BGF＝3∶5，∴∶＝3∶5，
∴BC∶GB＝3∶5，∴BC＝GB＝×15＝9，∴AD＝BC＝9，
∴CG＝＝＝12，∴DG＝DC－CG＝15－12＝3，
∴AG＝＝＝3.
10.（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图①.求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图②.线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°.
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A'D，AE＝A'E，∠ADE＝∠A'DE＝45°.
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A'DE＝∠ADE.
∴AD＝AE.∴AD＝AE＝A'E＝A’D.
∴四边形AEA'D是菱形.
∵∠A＝90°，∴四边形AEA'D是正方形.
（2）MC'＝ME.
证明：如图②，连接C'E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC'＝∠B＝90°.
由折叠知，B'C'＝BC，∠B＝∠B'，
∴AE＝B'C'，∠EAC'＝∠B'.
在Rt△EC'A和Rt△C'EB'中，
∴Rt△EC'A≌Rt△C'EB'（HL）.
∴∠C'EA＝∠EC'B'.∴MC'＝ME.
三、菱形的折叠
【例3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G(不与B，D重合)，折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，求BE的长．
分析：由菱形的性质易知△ABD为等边三角形，从而得到AB＝BD＝8，由折叠的性质可知，EG＝EA，作EH⊥BD于H，设BE＝x，根据勾股定理列方程求出x即可．
解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG＝EA，由题意，得BD＝DG＋BG＝8. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝8，设BE＝x，则EG＝AE＝8－x，在Rt△EHB中，∵∠ABD＝60°，∠BHE＝90°，∴BH＝x，EH＝＝＝x，在Rt△EHG中，EG2＝EH2＋GH2，即(8－x)2＝(x)2＋(6－x)2，解得x＝2.8，即BE＝2.8
【对应训练】
11．如图，将菱形ABCD的边AD以直线AN为对称轴翻折至AM，使点C恰好落在AM上.若此时CM＝CN，则∠D的度数为(　D　)
A．30° B．54° C．45° D．36°
12．如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处，若EG⊥AC，则FG的长为(　C　)
A．3 B．6 C．3 D．3
13．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，将菱形沿EF折叠，顶点C恰好落在AB边的中点G处，求BF的长．
解：过F作FH⊥AB，交AB的延长线于点H，∵∠A＝60°，AD∥BC，∴∠HBF＝60°，∠BFH＝30°，设BH＝x，则BF＝2x，CF＝4－2x＝GF，FH＝x，∵G是AB的中点，∴BG＝2，GH＝2＋x，Rt△FGH中，FH2＋GH2＝GF2，∴(x)2＋(2＋x)2＝(4－2x)2，解得x＝0.6，∴BF＝2x＝1.2
14．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．
解：如图，连接BD，AC，则O为AC与BD的交点．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.
∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.
∴∠ABO＝90°－60°＝30°.
∴AO＝AB＝×2＝1.
设OA与EF的交点为G，由折叠知，
AG＝AO＝，OA⊥EF，
∴由勾股定理，得EG＝，
∴EF＝2EG＝.
四、正方形的折叠
【例4】如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，求DP的长．
分析：由正方形的性质和折叠的性质可证明Rt△AFP≌Rt△ADP，所以PF＝PD，设PF＝PD＝x，由勾股定理列方程求出x即可．
解：连接AP，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E是BC的中点，∴BE＝CE＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中， ∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL)，∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD－PD＝6－x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴(3＋x)2＝32＋(6－x)2，解得x＝2.即DP的长度为2
【对应训练】
15．如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝3∶1，则线段CH的长是( B )
A.3 B． C．1 D．2
16．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E，F，H分别是边BC，CD，AB上的一点，将纸片沿FH折叠，使点D恰好落在BC边的中点E处，点A的对应点为P，则折痕FH的长为　 　 .
【答案】2
17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E.若AE＝5，则GE的长为 .
【答案】
18．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF.若EF＝2，求BF2的值．
解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，
设正方形的边长为x，∵EF＝2，
∴DE＝2，EC＝x－2，AC＝x，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2＋FC2，∴(x－2)2＝4＋(x－x)2，
解得x＝2＋2，∴FC＝x－x＝2，
∵∠ACB＝45°，∴由勾股定理得FG＝CG＝，
∴BG＝＋2，在Rt△BFG中，
BF2＝BG2＋GF2＝(＋2)2＋2＝8＋4.
19．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.
(1)求∠EAG的度数；
(2)求证：AG∥CF；
(3)若AB＝6，则△GCF的面积等于 .
(1)解：∠EAG＝45°.
(2)证明：设BG＝FG＝x，DE＝EF＝a，则BC＝CD＝3a，CE＝2a.
在Rt△ECG中，由勾股定理，得CG2＋CE2＝EG2，
即(3a－x)2＋(2a)2＝(x＋a)2，解得x＝a.
∴FG＝BG＝GC，∴∠GCF＝∠GFC，
∵∠BGF＝∠GCF＋∠GFC＝2∠GCF，∠BGF＝2∠BGA，
∴∠GCF＝∠BGA，∴AG∥CF.
(3)
20．如图，将一块边长为9的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E处，使DE＝3，折痕为PQ，连接AE交PQ于点M.
求：(1)PA的长；
(2)PM的长．
解：(1)如图所示，连接PE，由折叠可得，PQ垂直平分AE，
∴PA＝PE，
设AP＝PE＝x，则PD＝9－x，Rt△DEP中，DE2＋DP2＝PE2，即32＋(9－x)2＝x2，
解得x＝5，∴AP＝5.
(2)Rt△ADE中，AE＝＝＝3，
∴AM＝AE＝ ，
由折叠可得PQ⊥AE，
∴Rt△APM中，
PM＝＝＝.