RJ数学八下专题课堂(六) 构造三角形的中位线（含答案）

RJ数学八下专题课堂(六)　构造三角形的中位线
一、已知两边中点，连接构造三角形中位线
【例1】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．
分析： 连接BD，根据勾股定理逆定理可求出∠BDC＝90°，由三角形的中位线定理可求出∠BDA＝∠AFE＝50°，从而可得出∠ADC的度数．
【对应训练】
1．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG.
(1)求EF的长；
(2)求DG的长.
2．如图，四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，求EF的长．
二、已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线
【例2】如图，M，P分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AM＝BM，AP＝2CP，BP与CM相交于N.已知PN＝1，求PB的长．
分析：取AP的中点，利用三角形的中位线定理即可求解．
【对应训练】
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC＝4 cm，BD＝6 cm，求EF的长度.
4．如图，在△ABC中，AB＝7，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于点F，CF＝11.求AC的长.
三、已知一边中点，延长另一边构造三角形中位线
【例3】如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，求DM的长．
【对应训练】
5．如图，在△ABC中，AB＝9 cm，AC＝5 cm，E是BC的中点.若AD平分∠BAC，CD⊥AD，求DE的长.
6．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，求EF的长.
四、已知四边形对边的中点，取对角线中点构造三角形中位线
【例4】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝CE＝3，M，N分别为线段DE，AC的中点，求线段MN的长.
【对应训练】
7．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB＝6，CD＝3，求MN的取值范围.
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参考答案
一、已知两边中点，连接构造三角形中位线
【例1】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．
分析： 连接BD，根据勾股定理逆定理可求出∠BDC＝90°，由三角形的中位线定理可求出∠BDA＝∠AFE＝50°，从而可得出∠ADC的度数．
解：连接BD，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，∴∠ADB＝∠AFE＝50°，在△BDC中，BD2＋CD2＝122＋92＝225，BC2＝225，∴BD2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°＋50°＝140°
【对应训练】
1．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG.
(1)求EF的长；
(2)求DG的长.
解：(1)EF＝.
(2)连接DE.
∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE＝2且DE∥AC.
∵EF⊥AC，∴DE⊥EF，即∠DEF＝90°.
∵G为EF的中点，∴EG＝，
∴DG＝.
2．如图，四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，求EF的长．
解：如图，取BD的中点P，连接EP，FP.∵E，F分别是AD，BC的中点，AB＝10，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝5，PF∥CD且PF＝CD＝4.又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°－∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝90°，∴在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝
二、已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线
【例2】如图，M，P分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AM＝BM，AP＝2CP，BP与CM相交于N.已知PN＝1，求PB的长．
分析：取AP的中点，利用三角形的中位线定理即可求解．
解：如图所示，取AP的中点D，连接MD，
∵AP＝2CP，∴AD＝DP＝CP，∵AM＝BM，
∴DM是△ABP的中位线，∴DM∥BP，BP＝2DM，
∴PN是△CDM的中位线，
∴DM＝2PN＝2，∴BP＝2DM＝2×2＝4
【对应训练】
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC＝4 cm，BD＝6 cm，求EF的长度.
解：取BC的中点H，连接EH，FH.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EH＝＝2 cm，FH＝＝3 cm，EH∥AC，FH∥BD.
∵AC⊥BD，∴EH⊥FH，即∠EHF＝90°，
∴EF＝ cm.
4．如图，在△ABC中，AB＝7，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于点F，CF＝11.求AC的长.
解：取AC的中点N，连接MN.
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝，MN∥AB，NC＝.
易得∠MNC＝2∠DAC.
∵MF∥AD，∴∠MFN＝∠DAC，
∴∠MFN＝∠FMN，∴FN＝MN＝.
∵CF＝11，∴NC＝CF－FN＝，
∴AC＝2NC＝15.
三、已知一边中点，延长另一边构造三角形中位线
【例3】如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，求DM的长．
解：延长BD交CA的延长线交于点E，∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD＝∠BAD，在△EAD和△BAD中，∴△EAD≌△BAD(ASA)，∴AE＝AB＝12，BD＝DE，∴EC＝AE＋AC＝30，∵BM＝MC，BD＝DE，∴DM是△EBC的中位线，∴DM＝EC＝15
【对应训练】
5．如图，在△ABC中，AB＝9 cm，AC＝5 cm，E是BC的中点.若AD平分∠BAC，CD⊥AD，求DE的长.
解：延长CD交AB于点F.
易证△ADF≌△ADC(ASA)，
∴AF＝AC＝5，CD＝FD，∴BF＝AB－AF＝4.
∵CD＝FD，E为BC的中点，
∴DE＝＝2 cm.
6．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，求EF的长.
解：延长AF，CB交于点G.
易证△ACF≌△GCF(ASA)，
∴CG＝AC＝7，AF＝GF，
∴BG＝CG－BC＝3.
∵AE＝BE，AF＝GF，
∴EF＝＝1.5.
四、已知四边形对边的中点，取对角线中点构造三角形中位线
【例4】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝CE＝3，M，N分别为线段DE，AC的中点，求线段MN的长.
解：连接CD，取CD的中点H，连接MH，NH.
∵M，H分别为DE，CD的中点，
∴MH＝，MH∥CE.
同理可得NH＝，NH∥AD.
∵∠ABC＝90°，即CE⊥AD，
∴MH⊥NH，即∠MHN＝90°，
∴MN＝.
【对应训练】
7．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB＝6，CD＝3，求MN的取值范围.
解：连接BD，取BD的中点E，连接ME，NE.
∵M是AD的中点，E是BD的中点，
∴ME＝＝3.
同理可得NE＝＝1.5，
在△MNE中，3－1.5＜MN＜3＋1.5，
即1.5＜MN＜4.5.