RJ数学八下专题课堂(七) 特殊平行四边形的性质与判定（含答案）
文档属性
| 名称 | RJ数学八下专题课堂(七) 特殊平行四边形的性质与判定（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-02 09:31:46 | ||
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文档简介
RJ数学八下专题课堂(七) 特殊平行四边形的性质与判定
一、矩形的性质与判定
【例1】如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件________________时，四边形PEMF为矩形．
分析：根据已知条件，矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC＝90°，易得AB＝BC时，满足∠BMC＝90°的条件．
【对应训练】
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为( )
A．4 B．4 C．10 D．8
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A.6 B．8 C．10 D．12
3．【2022·吉林】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝_________．
4．【2022·云南改编】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，则四边形ABCF的面积S为___________．
5．【2023·大庆】如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
二、菱形的性质与判定
【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
分析：(1)易证△FAE≌△CDE，得到AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得BD＝CD，所以AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形．(2)利用(1)的结论和点D是BC的中点，可得菱形ADBF的面积＝S△ABC，然后根据三角形的面积公式列方程即可求解．
【对应训练】
6．把一个长方形的纸片按如图所示折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
7．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是________．
8．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形BEDF是菱形．
9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证：FB＝AO；
(2)当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？证明你的结论．
10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)对角线AC的长是_________，菱形ABCD的面积是__________；
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否会发生变化？请说明理由；
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
三、正方形的性质与判定
【例3】如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC.
(1)请判断四边形ABCD是否是正方形？若是，写出证明过程；若不是，说明理由；
(2)延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数.
分析：(1)通过证AB＝BC，判断矩形ABCD是正方形；(2)连接AC，先证∠BGP＝∠ACB，再根据AC是正方形的对角线即可得出解答．
【对应训练】
11．【2022·重庆】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为( )
A．50° B．55° C．65° D．70°
12．【2023·常德】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为( )
A.80° B．90° C．105° D．115°
13．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH.求证：
(1)AK＝AH；
(2)四边形AKFH是正方形．
14．如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
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参考答案
一、矩形的性质与判定
【例1】如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件________________时，四边形PEMF为矩形．
分析：根据已知条件，矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC＝90°，易得AB＝BC时，满足∠BMC＝90°的条件．
【答案】AB＝BC
【对应训练】
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为( A )
A．4 B．4 C．10 D．8
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为( C )
A.6 B．8 C．10 D．12
3．【2022·吉林】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝_________．
【答案】
4．【2022·云南改编】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，则四边形ABCF的面积S为___________．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∵∠BEA＝∠FED，△BEA≌△FED(ASA)，∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形
(2)18
5．【2023·大庆】如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形，∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是
(2)∵四边形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF，∵CD＝13，CF＝5，∴DF＝＝＝12，∵△ADE≌△FCE，∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝××5×12＝15，平行四边形ABCD的面积＝BC·AC＝5×12＝60，∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积－△ADE的面积＝60－15＝45
二、菱形的性质与判定
【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
分析：(1)易证△FAE≌△CDE，得到AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得BD＝CD，所以AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形．(2)利用(1)的结论和点D是BC的中点，可得菱形ADBF的面积＝S△ABC，然后根据三角形的面积公式列方程即可求解．
解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形
(2)∵四边形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面积＝2S△ABD，∵点D是BC的中点，∴△ABC的面积＝2S△ABD，∴菱形ADBF的面积＝S△ABC＝40，∴AB·AC＝40，∴×8AC＝40，∴AC＝10，∴AC的长为10
【对应训练】
6．把一个长方形的纸片按如图所示折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( D )
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
7．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是________．
【答案】16
8．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形BEDF是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)
(2)如图，连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形
9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证：FB＝AO；
(2)当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？证明你的结论．
解：(1)∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠OCE，又∵BE＝OE，∠BEF＝∠OEC，∴△BEF≌△OEC(AAS)，∴BF＝OC，又∵OC＝AO，∴FB＝AO
(2)当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由：∵FB∥AO，且FB＝AO，∴四边形AFBO是平行四边形，∵平行四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AFBO是菱形
10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)对角线AC的长是_________，菱形ABCD的面积是__________；
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否会发生变化？请说明理由；
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)12 96
(2)OE＋OF的值不变．理由：连接AO，AC，AC交BD于点G，则S△ABD＝S△ABO＋S△ADO，∴BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，即×16×6＝×10OE＋×10OF，可得OE＋OF＝9.6，即OE＋OF的值不变
(3)变化，同(2)方法可求得OE－OF＝9.6
三、正方形的性质与判定
【例3】如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC.
(1)请判断四边形ABCD是否是正方形？若是，写出证明过程；若不是，说明理由；
(2)延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数.
分析：(1)通过证AB＝BC，判断矩形ABCD是正方形；(2)连接AC，先证∠BGP＝∠ACB，再根据AC是正方形的对角线即可得出解答．
解：(1)四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，即∠ABP＋∠PBC＝90°，∵AP⊥BP，∴∠ABP＋∠PAB＝90°，∴∠PBC＝∠PAB，∵CE⊥BP，∴∠APB＝∠BEC＝90°，又∵BP＝CE，∴△ABP≌△BCE(AAS)，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形
(2)连接AC，∵△ABP≌△BCE，∴AP＝BE，∵BE＝CF，∴AP＝CF，∵AP⊥BP，CE⊥BP，∴∠APB＝∠CEP＝90°，∴AP∥CF，∴四边形ACFP是平行四边形，∴AC∥PF，∴∠ACB＝∠BGP，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ACB＝45°，∴∠BGP＝45°
【对应训练】
11．【2022·重庆】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为( C )
A．50° B．55° C．65° D．70°
12．【2023·常德】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为( C )
A.80° B．90° C．105° D．115°
13．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH.求证：
(1)AK＝AH；
(2)四边形AKFH是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，∵DH＝CE＝BK，∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，在△ADH和△ABK中，∴△ADH≌△ABK(SAS)，∴AK＝AH
(2)∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD＝∠BAK.∴∠HAK＝90°，同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，∴AH＝AK＝HF＝FK，∴四边形AKFH是正方形
14．如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE
(2)∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠FCP＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∠EDF＝90°，∴∠CPE＝∠EDF＝90°
(3)AP＝CE.理由：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝120°，∴∠EDF＝60°，同(2)可得∠CPE＝∠EDF＝60°，又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE，∵PA＝PE，∴AP＝CE
一、矩形的性质与判定
【例1】如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件________________时，四边形PEMF为矩形．
分析：根据已知条件，矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC＝90°，易得AB＝BC时，满足∠BMC＝90°的条件．
【对应训练】
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为( )
A．4 B．4 C．10 D．8
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A.6 B．8 C．10 D．12
3．【2022·吉林】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝_________．
4．【2022·云南改编】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，则四边形ABCF的面积S为___________．
5．【2023·大庆】如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
二、菱形的性质与判定
【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
分析：(1)易证△FAE≌△CDE，得到AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得BD＝CD，所以AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形．(2)利用(1)的结论和点D是BC的中点，可得菱形ADBF的面积＝S△ABC，然后根据三角形的面积公式列方程即可求解．
【对应训练】
6．把一个长方形的纸片按如图所示折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
7．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是________．
8．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形BEDF是菱形．
9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证：FB＝AO；
(2)当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？证明你的结论．
10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)对角线AC的长是_________，菱形ABCD的面积是__________；
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否会发生变化？请说明理由；
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
三、正方形的性质与判定
【例3】如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC.
(1)请判断四边形ABCD是否是正方形？若是，写出证明过程；若不是，说明理由；
(2)延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数.
分析：(1)通过证AB＝BC，判断矩形ABCD是正方形；(2)连接AC，先证∠BGP＝∠ACB，再根据AC是正方形的对角线即可得出解答．
【对应训练】
11．【2022·重庆】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为( )
A．50° B．55° C．65° D．70°
12．【2023·常德】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为( )
A.80° B．90° C．105° D．115°
13．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH.求证：
(1)AK＝AH；
(2)四边形AKFH是正方形．
14．如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
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参考答案
一、矩形的性质与判定
【例1】如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件________________时，四边形PEMF为矩形．
分析：根据已知条件，矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC＝90°，易得AB＝BC时，满足∠BMC＝90°的条件．
【答案】AB＝BC
【对应训练】
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为( A )
A．4 B．4 C．10 D．8
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为( C )
A.6 B．8 C．10 D．12
3．【2022·吉林】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝_________．
【答案】
4．【2022·云南改编】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，则四边形ABCF的面积S为___________．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∵∠BEA＝∠FED，△BEA≌△FED(ASA)，∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形
(2)18
5．【2023·大庆】如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形，∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是
(2)∵四边形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF，∵CD＝13，CF＝5，∴DF＝＝＝12，∵△ADE≌△FCE，∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝××5×12＝15，平行四边形ABCD的面积＝BC·AC＝5×12＝60，∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积－△ADE的面积＝60－15＝45
二、菱形的性质与判定
【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
分析：(1)易证△FAE≌△CDE，得到AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得BD＝CD，所以AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形．(2)利用(1)的结论和点D是BC的中点，可得菱形ADBF的面积＝S△ABC，然后根据三角形的面积公式列方程即可求解．
解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形
(2)∵四边形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面积＝2S△ABD，∵点D是BC的中点，∴△ABC的面积＝2S△ABD，∴菱形ADBF的面积＝S△ABC＝40，∴AB·AC＝40，∴×8AC＝40，∴AC＝10，∴AC的长为10
【对应训练】
6．把一个长方形的纸片按如图所示折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( D )
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
7．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是________．
【答案】16
8．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形BEDF是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)
(2)如图，连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形
9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证：FB＝AO；
(2)当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？证明你的结论．
解：(1)∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠OCE，又∵BE＝OE，∠BEF＝∠OEC，∴△BEF≌△OEC(AAS)，∴BF＝OC，又∵OC＝AO，∴FB＝AO
(2)当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由：∵FB∥AO，且FB＝AO，∴四边形AFBO是平行四边形，∵平行四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AFBO是菱形
10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)对角线AC的长是_________，菱形ABCD的面积是__________；
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否会发生变化？请说明理由；
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)12 96
(2)OE＋OF的值不变．理由：连接AO，AC，AC交BD于点G，则S△ABD＝S△ABO＋S△ADO，∴BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，即×16×6＝×10OE＋×10OF，可得OE＋OF＝9.6，即OE＋OF的值不变
(3)变化，同(2)方法可求得OE－OF＝9.6
三、正方形的性质与判定
【例3】如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC.
(1)请判断四边形ABCD是否是正方形？若是，写出证明过程；若不是，说明理由；
(2)延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数.
分析：(1)通过证AB＝BC，判断矩形ABCD是正方形；(2)连接AC，先证∠BGP＝∠ACB，再根据AC是正方形的对角线即可得出解答．
解：(1)四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，即∠ABP＋∠PBC＝90°，∵AP⊥BP，∴∠ABP＋∠PAB＝90°，∴∠PBC＝∠PAB，∵CE⊥BP，∴∠APB＝∠BEC＝90°，又∵BP＝CE，∴△ABP≌△BCE(AAS)，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形
(2)连接AC，∵△ABP≌△BCE，∴AP＝BE，∵BE＝CF，∴AP＝CF，∵AP⊥BP，CE⊥BP，∴∠APB＝∠CEP＝90°，∴AP∥CF，∴四边形ACFP是平行四边形，∴AC∥PF，∴∠ACB＝∠BGP，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ACB＝45°，∴∠BGP＝45°
【对应训练】
11．【2022·重庆】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为( C )
A．50° B．55° C．65° D．70°
12．【2023·常德】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为( C )
A.80° B．90° C．105° D．115°
13．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH.求证：
(1)AK＝AH；
(2)四边形AKFH是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，∵DH＝CE＝BK，∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，在△ADH和△ABK中，∴△ADH≌△ABK(SAS)，∴AK＝AH
(2)∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD＝∠BAK.∴∠HAK＝90°，同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，∴AH＝AK＝HF＝FK，∴四边形AKFH是正方形
14．如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE
(2)∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠FCP＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∠EDF＝90°，∴∠CPE＝∠EDF＝90°
(3)AP＝CE.理由：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝120°，∴∠EDF＝60°，同(2)可得∠CPE＝∠EDF＝60°，又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE，∵PA＝PE，∴AP＝CE