RJ数学八下专题课堂(三) 平行四边形的性质与判定（含答案）

RJ数学八下专题课堂(三)　平行四边形的性质与判定
一、平行四边形的性质
【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求 ABCD的面积．
分析：(1)证AB＝BE，AB＝CD，即可得到结论；(2)将 ABCD的面积转化为△ABE的面积求解即可.
【对应训练】
1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3，1)　　B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1)
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是( )
A．2　 　　B．3　 　　C．4　 　　D．5
　　
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，P是 ABCD上一点．已知S△ABP＝3，S△PDC＝2，那么平行四边形ABCD的面积是____________．
4．如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为____________．
5．(2022·烟台)如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
6．如图，在 ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10.
(1)求证：AE⊥BD；
(2)求 ABCD的面积．
二、平行四边形的判定
【例2】如图， ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
分析：利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形．
【对应训练】
7．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_________________.
8．(2022·新疆)如图，在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点，延长DF到点E，使DF＝EF，连接BE.
求证：(1)△ADF≌△BEF；
(2)四边形BCDE是平行四边形．
9．如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN.若BN平分∠DBC，求CN的长．
10．如图①，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形．(四边形AGHD除外)
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参考答案
一、平行四边形的性质
【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求 ABCD的面积．
分析：(1)证AB＝BE，AB＝CD，即可得到结论；(2)将 ABCD的面积转化为△ABE的面积求解即可.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴BE＝CD　
(2)∵AB＝BE，BF⊥AE，∴AF＝FE，又∵∠DAF＝∠CEF，∠AFD＝∠EFC，∴△AFD≌△EFC(ASA)，∴S ABCD＝S△ABE，∵AB＝BE，∠BEA＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝AB＝4.在Rt△BEF中，∠FBE＝90°－∠BEA＝30°，∴EF＝BE＝2，∴BF＝＝＝2，∴S△ABE＝AE·BF＝4，∴S ABCD＝4
【对应训练】
1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( A )
A．(－3，1)　　B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1)
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是( B )
A．2　 　　B．3　 　　C．4　 　　D．5
　　
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，P是 ABCD上一点．已知S△ABP＝3，S△PDC＝2，那么平行四边形ABCD的面积是____________．
【答案】10
4．如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为____________．
【答案】25°
5．(2022·烟台)如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＋∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠ADC＝70°，∴∠AFD＝180°－∠A－∠ADF＝70°，∵DF∥BE，∴∠ABE＝∠AFD＝70°
6．如图，在 ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10.
(1)求证：AE⊥BD；
(2)求 ABCD的面积．
解：(1)过点D作DF∥AE交BC的延长线于点F，∵AD∥BC，∴四边形AEFD为平行四边形，∴EF＝AD＝10，DF＝AE＝9，∵E是BC的中点，∴BE＝BC＝5.∴BF＝BE＋EF＝15，∴BD2＋DF2＝122＋92＝225＝BF2，∴∠BDF＝90°，即BD⊥DF，∵AE∥DF，∴AE⊥BD　
(2)过点D作DM⊥BF于点M，∵BD·DF＝BF·DM，∴DM＝＝，∴S ABCD＝BC·DM＝72
二、平行四边形的判定
【例2】如图， ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
分析：利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE(ASA)，∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形
【对应训练】
7．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_________________.
【答案】平行四边形
8．(2022·新疆)如图，在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点，延长DF到点E，使DF＝EF，连接BE.
求证：(1)△ADF≌△BEF；
(2)四边形BCDE是平行四边形．
证明：(1)∵F是AB的中点，∴AF＝BF，在△ADF和△BEF中，∴△ADF≌△BEF(SAS)　
(2)∵点D，F分别为边AC，AB的中点，∴DF∥BC，DF＝BC，∵EF＝DF，∴EF＝DE，∴DF＋EF＝DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形
9．如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN.若BN平分∠DBC，求CN的长．
解：(1)∵∠A＝∠F，∴DE∥BC，∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2，∴DB∥EC，∴四边形BCED为平行四边形
(2)∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN，∵EC∥DB，∴∠CNB＝∠DBN，∴∠CNB＝∠CBN，∴CN＝BC，由(1)可知四边形BCED是平行四边形，∴BC＝DE＝2，∴CN＝2
10．如图①，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形．(四边形AGHD除外)
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴OE＝OF，同理OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形
(2) GBCH， ABFE， EFCD， EGFH