RJ数学八下专题课堂(四) 利用平行四边形证明线段之间的关系（含答案）
文档属性
| 名称 | RJ数学八下专题课堂(四) 利用平行四边形证明线段之间的关系（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-02 10:32:15 | ||
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文档简介
RJ数学八下专题课堂(四) 利用平行四边形证明线段之间的关系
一、证明线段相等
【例1】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.
分析：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．
【对应训练】
1．(2022·宿迁)如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF＝CE.
2．(2023·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.
3．如图，在 ABCD中，点M，点N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM＝CN，DF＝BE，求证：ME＝NF.
二、证明线段平行
【例2】如图，在 ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：BE∥DF.
分析：证四边形BEDF为平行四边形即可．
【对应训练】
4．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．
5．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.
求证：(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF.
三、证明线段互相平分
【例3】如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N.求证：EF与MN互相平分．
分析：证四边形EMFN为平行四边形即可．
【对应训练】
6．如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分．
7．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：EG与FH互相平分．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
一、证明线段相等
【例1】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.
分析：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．
证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC綊BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFG，∴∠BGD＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC
【对应训练】
1．(2022·宿迁)如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点E，F分别是边AB，CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD.∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE
2．(2023·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AM＝CN，∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN，又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形，∴DM＝BN
3．如图，在 ABCD中，点M，点N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM＝CN，DF＝BE，求证：ME＝NF.
证明：先证△DMF≌△BNE，得EN＝MF，又可证EN∥MF，∴四边形MFNE是平行四边形，∴ME＝NF.
二、证明线段平行
【例2】如图，在 ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：BE∥DF.
分析：证四边形BEDF为平行四边形即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE＝90°，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS).∴DE＝BF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BE∥DF
【对应训练】
4．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．
解：AECF.先证△AOF≌△COE，从而得到OE＝OF，再证四边形AECF是平行四边形，从而可得AECF.
5．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.
求证：(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF.
证明：(1)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.又四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAF＝∠BCE.∴△ADF≌△CBE(SAS)
(2)∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA＝∠BEC.∴EB∥DF
三、证明线段互相平分
【例3】如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N.求证：EF与MN互相平分．
分析：证四边形EMFN为平行四边形即可．
证明：先证四边形BEDF是平行四边形，得AE＝CF，再证四边形AFCE是平行四边形，从而可得AF∥CE，再证四边形EMFN是平行四边形，即可证得EF与MN互相平分
【对应训练】
6．如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分．
证明：连接EH，EF，FG，GH，易证△AEH≌△CGF，∴EH＝GF，同理EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EG与FH互相平分
7．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：EG与FH互相平分．
分析：连接EF，FG，GH，HE，AC，证四边形EFGH是平行四边形即可．
证明：连接EF，FG，GH，HE，AC，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EG与FH互相平分
一、证明线段相等
【例1】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.
分析：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．
【对应训练】
1．(2022·宿迁)如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF＝CE.
2．(2023·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.
3．如图，在 ABCD中，点M，点N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM＝CN，DF＝BE，求证：ME＝NF.
二、证明线段平行
【例2】如图，在 ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：BE∥DF.
分析：证四边形BEDF为平行四边形即可．
【对应训练】
4．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．
5．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.
求证：(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF.
三、证明线段互相平分
【例3】如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N.求证：EF与MN互相平分．
分析：证四边形EMFN为平行四边形即可．
【对应训练】
6．如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分．
7．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：EG与FH互相平分．
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一、证明线段相等
【例1】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.
分析：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．
证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC綊BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFG，∴∠BGD＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC
【对应训练】
1．(2022·宿迁)如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点E，F分别是边AB，CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD.∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE
2．(2023·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AM＝CN，∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN，又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形，∴DM＝BN
3．如图，在 ABCD中，点M，点N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM＝CN，DF＝BE，求证：ME＝NF.
证明：先证△DMF≌△BNE，得EN＝MF，又可证EN∥MF，∴四边形MFNE是平行四边形，∴ME＝NF.
二、证明线段平行
【例2】如图，在 ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：BE∥DF.
分析：证四边形BEDF为平行四边形即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE＝90°，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS).∴DE＝BF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BE∥DF
【对应训练】
4．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．
解：AECF.先证△AOF≌△COE，从而得到OE＝OF，再证四边形AECF是平行四边形，从而可得AECF.
5．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.
求证：(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF.
证明：(1)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.又四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAF＝∠BCE.∴△ADF≌△CBE(SAS)
(2)∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA＝∠BEC.∴EB∥DF
三、证明线段互相平分
【例3】如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N.求证：EF与MN互相平分．
分析：证四边形EMFN为平行四边形即可．
证明：先证四边形BEDF是平行四边形，得AE＝CF，再证四边形AFCE是平行四边形，从而可得AF∥CE，再证四边形EMFN是平行四边形，即可证得EF与MN互相平分
【对应训练】
6．如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分．
证明：连接EH，EF，FG，GH，易证△AEH≌△CGF，∴EH＝GF，同理EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EG与FH互相平分
7．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：EG与FH互相平分．
分析：连接EF，FG，GH，HE，AC，证四边形EFGH是平行四边形即可．
证明：连接EF，FG，GH，HE，AC，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EG与FH互相平分