RJ数学八下专题课堂(十) 正方形中常见的几何图形结构（含答案）
文档属性
| 名称 | RJ数学八下专题课堂(十) 正方形中常见的几何图形结构（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-02 10:35:16 | ||
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文档简介
RJ数学八下专题课堂(十)正方形中常见的几何图形结构
一、“十字架”结构
正方形中存在端点在正方形的边上且互相垂直的线段，看起来像“十字架”，利用垂直证明三角形全等得出线段或角的关系.
【例1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
A.45° B.60° C.67.5° D.77.5°
【对应训练】
1．(1)如图1，在正方形ABCD中，若CE⊥DF，则线段CE与DF有何数量关系？请说明理由.
(2)如图2，在正方形ABCD中，若GE⊥HF，则线GE与HF有何数量关系？请说明理由.
图1 图2
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE⊥BF于点G，CH⊥BF于点H，BG＝HG.
(1)求证：BH＝AG；
(2)若AB＝4，求CH的长.
3．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥DE交DE于点F，交CD于点G，连接BF.
(1)求证：△ADG≌△DCE；
(2)求证：AB＝FB.
4．在正方形中，P是边BC上一动点（不与点B， C重合），连接AP.
（1）如图①，过点B作BQ⊥AP，垂足为O，交CD于点Q，求证：△ABP≌△BCQ；
（2）如图②，E是AP上的一点，过点E作MN⊥AP，分别交AB，CD于点M，N.求证：AP＝MN.
二、“a＝2b”结构
在正方形中存在直角三角形利用斜边上的中线得 “a＝2b”；或在正方形中存在三角形利用其中位线得 “a＝2b”.
【例2】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，M为AB的中点，连接OM.求证：AB＝2OM.
【对应训练】
5．如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F.求证：CE＝2OF.
三、“a＝”结构
在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”.
【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E为OD上一点，且BE＝BA，连接AE.
(1)求证：AE平分∠DAC；
(2)求证：DE＝.
【对应训练】
6．如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，且ED＝EF.求证：BF＝.
7．如图，P为正方形ABCD边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.求证：CE＝.
四、45°角结构
在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”.
【例4】如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，求正方形的边长．
分析：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，先证△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，设正方形的边长为x，根据勾股定理列方程，求出x即可．
【对应训练】
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（ ）
A.2α B.90°－2α
C.45°－α D.90°－α
9．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，DE＝BF.点G，H分别在边AB，CD上，且GH＝3，GH交EF于M.若∠EMH＝45°，求EF的长．
10．如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，F为AB上一点，AE，CF交于点O.若AB＝6，∠AOF＝45°，求BF的长．
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，∠EAF＝45°.
（1）若EA是∠BEF的平分线，求证：FA是∠DFE的平分线；
（2）若BE＝DF，求证：EF＝BE＋DF.
五、手拉手结构
【例5】如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长.
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参考答案
一、“十字架”结构
正方形中存在端点在正方形的边上且互相垂直的线段，看起来像“十字架”，利用垂直证明三角形全等得出线段或角的关系.
【例1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ C ）
A.45° B.60° C.67.5° D.77.5°
【对应训练】
1．(1)如图1，在正方形ABCD中，若CE⊥DF，则线段CE与DF有何数量关系？请说明理由.
(2)如图2，在正方形ABCD中，若GE⊥HF，则线GE与HF有何数量关系？请说明理由.
图1 图2
解：(1)CE＝DF.理由略.
(2)GE＝HF.理由略.
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE⊥BF于点G，CH⊥BF于点H，BG＝HG.
(1)求证：BH＝AG；
(2)若AB＝4，求CH的长.
解：(1)易证△ABG≌△BCH，∴BH＝AG.
(2)由(1)知△ABG≌△BCH，
∴CH＝BG＝HG.
设CH＝BG＝x，则AG＝2x.
在Rt△ABG中，x2＋(2x)2＝42，
∴x＝(负值舍去)，即CH＝.
3．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥DE交DE于点F，交CD于点G，连接BF.
(1)求证：△ADG≌△DCE；
(2)求证：AB＝FB.
证明：(1)证明略.
(2)延长DE交AB延长线于点H.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE，
∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点.
又∵∠AFH＝90°，∴FB＝＝AB.
4．在正方形中，P是边BC上一动点（不与点B， C重合），连接AP.
（1）如图①，过点B作BQ⊥AP，垂足为O，交CD于点Q，求证：△ABP≌△BCQ；
（2）如图②，E是AP上的一点，过点E作MN⊥AP，分别交AB，CD于点M，N.求证：AP＝MN.
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
∴∠ABQ＋∠CBQ＝90°.
∵BQ⊥AP，∴∠PAB＋∠QBA＝90°.
∴∠PAB＝∠CBQ.
在△ABP和△BCQ中，
∴△ABP≌△BCQ（ASA）.
证明：（2）过点M作MG⊥CD于点G，
则四边形AMGD是矩形，
∴MG＝AD，∠MGN＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD.
∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN.
又∵MN⊥AP，∴∠AEM＝90°.
∴∠AME＋∠BAP＝90°.
又∵∠NMG＋∠AME＝90°，
∴∠NMG＝∠BAP.
∴△ABP≌△MGN（ASA）.
∴AP＝MN.
二、“a＝2b”结构
在正方形中存在直角三角形利用斜边上的中线得 “a＝2b”；或在正方形中存在三角形利用其中位线得 “a＝2b”.
【例2】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，M为AB的中点，连接OM.求证：AB＝2OM.
证明：易证△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF.
∵∠ABO＋∠CBF＝90°，
∴∠ABO＋∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°.
在Rt△ABO中，M是斜边AB的中点，
∴OM＝，即AB＝2OM.
【对应训练】
5．如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F.求证：CE＝2OF.
解：取AE的中点M，连接OM.
易知OA＝OC，MA＝ME，∠OFM＝67.5°，
∴OM＝，OM∥CE，
∴∠MOA＝∠BCA＝45°，
∴∠OMF＝∠EAC＋∠MOA＝67.5°，
∴∠OFM＝∠OMF，∴OF＝OM＝，
∴CE＝2OF.
三、“a＝”结构
在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”.
【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E为OD上一点，且BE＝BA，连接AE.
(1)求证：AE平分∠DAC；
(2)求证：DE＝.
证明：(1)∵∠ABE＝45°，BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°.
∵∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠DAE＝∠OAE＝22.5°，
∴AE平分∠DAC.
(2)过点E作EM⊥AD于点M.
∵AE平分∠DAC，EO⊥AO，EM⊥AD，
∴OE＝EM，∴DE＝.
【对应训练】
6．如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，且ED＝EF.求证：BF＝.
证明：连接BE.易证△CBE≌△CDE，
∴EB＝ED＝EF，∠EBC＝∠EDC＝∠EFD.
∵∠EFD＋∠EFC＝180°，
∴∠EBC＋∠EFC＝180°，
∴∠BEF＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＝90°，∴∠BEF＝90°，
∴BF＝.
7．如图，P为正方形ABCD边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.求证：CE＝.
证明：过点C作CH⊥AE于点H.
∵BG⊥AE，CH⊥AE，
∴∠BGP＝∠CHP＝∠CHE＝90°.
∵P为BC的中点，∴BP＝CP.
易证△BGP≌△CHP，
∴BG＝CH，∠PBG＝∠PCH.
易知AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA.
∵∠ABC＝∠ABG＋∠PBG＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，
∴∠PBG＝∠BAG，∴∠PCH＝∠BEA.
∵AB＝BC，∴BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠HCE＝∠HEC，∴CH＝EH.
∵∠CHE＝90°，∴CE＝.
四、45°角结构
在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”.
【例4】如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，求正方形的边长．
分析：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，先证△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，设正方形的边长为x，根据勾股定理列方程，求出x即可．
解：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，在△ABG和△ADF中， ∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝∠BAE＋∠GAB＝∠GAE＝45°，∴∠EAF＝∠GAE.在△AEG和△AEF中，∴△AEG≌△AEF(SAS).∴GE＝EF，
设正方形的边长为x，DF＝x－4，EC＝x－3，GE＝EF＝BG＋BE＝DF＋BE＝x－4＋3＝x－1，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2，即(x－1)2＝(x－3)2＋42，解得x＝6，即正方形的边长为6
【对应训练】
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（ A ）
A.2α B.90°－2α
C.45°－α D.90°－α
9．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，DE＝BF.点G，H分别在边AB，CD上，且GH＝3，GH交EF于M.若∠EMH＝45°，求EF的长．
解：连接CE，CF，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，BC＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠FBC＝90°＝∠D，在△FBC和△EDC中， ∴△FBC≌△EDC (SAS)，∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECD，∴∠ECF＝∠ECB＋∠FCB＝∠ECB＋∠ECD＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠EFC＝45°，EF＝CF，∵∠EMH＝45°，
∴∠EFC＝∠EMH，∴GH∥FC，∵AF∥DC，
∴四边形FCHG是平行四边形，∴CF＝GH＝3，
∴EF＝CF＝3
10．如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，F为AB上一点，AE，CF交于点O.若AB＝6，∠AOF＝45°，求BF的长．
解：过点C作CM∥AE交AD于点M，延长AD到点N，使得DN＝BF，连接CN，FM，如图所示，在正方形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴∠NDC＝∠B＝90°，∴△NDC≌△FBC(SAS)，∴CF＝CN，∠DCN＝∠BCF，
∵∠AOF＝45°，CM∥AE，∴∠MCF＝∠AOF＝45°，∴∠MCN＝∠MCD＋∠DCN＝45°，∴∠MCF＝∠MCN，
在△MCF和△MCN中， ∴△MCF≌△MCN (SAS)，∴MF＝MN，∵AD∥BC，AE∥MC，∴四边形AECM是平行四边形，∴CE＝AM，∵E是BC的中点，∴M是AD的中点，∵AB＝6，∴AD＝AB＝6，∴AM＝DM＝3，设BF＝x，则DN＝x，AF＝6－x，∴MF＝MN＝3＋x，在Rt△AFM中，根据勾股定理，得32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，∴BF＝2
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，∠EAF＝45°.
（1）若EA是∠BEF的平分线，求证：FA是∠DFE的平分线；
（2）若BE＝DF，求证：EF＝BE＋DF.
证明：（1）过点A作AH⊥EF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.
∵∠AHE＝90°，∴∠B＝∠AHE.
∵EA是∠BEF的平分线，
∴∠AEB＝∠AEH.
在△ABE与△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（AAS）.∴AB＝AH.
∵AB＝AD，∴AH＝AD.
在Rt△AHF与Rt△ADF中，
∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL）.∴∠AFE＝∠AFD.
∴FA是∠DFE的平分线.
证明：（2）如图，过点A作∠GAB＝∠FAD，且G为CB边延长线上一点.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD.
∴∠ABG＝90°.∴∠ABG＝∠D.
在△GAB和△FAD中，
∴△GAB≌△FAD（ASA）.∴BG＝DF，AG＝AF.
∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAB＋∠FAB＝90°.∴∠GAF＝90°.
∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°.
在△GAE和△FAE中，
∴△GAE≌△FAE（SAS）.∴GE＝EF.
∵GE＝BG＋BE，∴DF＋BE＝EF.
五、手拉手结构
【例5】如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长.
解：（1）证明：∵四边形ABCD，
AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG.
∴∠EAB＝∠GAD.
在△AEB和△AGD中，
∴△EAB≌△GAD（SAS）.
解：（2）∵△EAB≌△GAD，∴EB＝GD.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝＝6.
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3.
∵AG＝3，∴OG＝OA＋AG＝6.
∴GD＝＝＝3.
∴EB＝3.
一、“十字架”结构
正方形中存在端点在正方形的边上且互相垂直的线段，看起来像“十字架”，利用垂直证明三角形全等得出线段或角的关系.
【例1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
A.45° B.60° C.67.5° D.77.5°
【对应训练】
1．(1)如图1，在正方形ABCD中，若CE⊥DF，则线段CE与DF有何数量关系？请说明理由.
(2)如图2，在正方形ABCD中，若GE⊥HF，则线GE与HF有何数量关系？请说明理由.
图1 图2
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE⊥BF于点G，CH⊥BF于点H，BG＝HG.
(1)求证：BH＝AG；
(2)若AB＝4，求CH的长.
3．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥DE交DE于点F，交CD于点G，连接BF.
(1)求证：△ADG≌△DCE；
(2)求证：AB＝FB.
4．在正方形中，P是边BC上一动点（不与点B， C重合），连接AP.
（1）如图①，过点B作BQ⊥AP，垂足为O，交CD于点Q，求证：△ABP≌△BCQ；
（2）如图②，E是AP上的一点，过点E作MN⊥AP，分别交AB，CD于点M，N.求证：AP＝MN.
二、“a＝2b”结构
在正方形中存在直角三角形利用斜边上的中线得 “a＝2b”；或在正方形中存在三角形利用其中位线得 “a＝2b”.
【例2】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，M为AB的中点，连接OM.求证：AB＝2OM.
【对应训练】
5．如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F.求证：CE＝2OF.
三、“a＝”结构
在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”.
【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E为OD上一点，且BE＝BA，连接AE.
(1)求证：AE平分∠DAC；
(2)求证：DE＝.
【对应训练】
6．如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，且ED＝EF.求证：BF＝.
7．如图，P为正方形ABCD边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.求证：CE＝.
四、45°角结构
在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”.
【例4】如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，求正方形的边长．
分析：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，先证△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，设正方形的边长为x，根据勾股定理列方程，求出x即可．
【对应训练】
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（ ）
A.2α B.90°－2α
C.45°－α D.90°－α
9．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，DE＝BF.点G，H分别在边AB，CD上，且GH＝3，GH交EF于M.若∠EMH＝45°，求EF的长．
10．如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，F为AB上一点，AE，CF交于点O.若AB＝6，∠AOF＝45°，求BF的长．
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，∠EAF＝45°.
（1）若EA是∠BEF的平分线，求证：FA是∠DFE的平分线；
（2）若BE＝DF，求证：EF＝BE＋DF.
五、手拉手结构
【例5】如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
一、“十字架”结构
正方形中存在端点在正方形的边上且互相垂直的线段，看起来像“十字架”，利用垂直证明三角形全等得出线段或角的关系.
【例1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ C ）
A.45° B.60° C.67.5° D.77.5°
【对应训练】
1．(1)如图1，在正方形ABCD中，若CE⊥DF，则线段CE与DF有何数量关系？请说明理由.
(2)如图2，在正方形ABCD中，若GE⊥HF，则线GE与HF有何数量关系？请说明理由.
图1 图2
解：(1)CE＝DF.理由略.
(2)GE＝HF.理由略.
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE⊥BF于点G，CH⊥BF于点H，BG＝HG.
(1)求证：BH＝AG；
(2)若AB＝4，求CH的长.
解：(1)易证△ABG≌△BCH，∴BH＝AG.
(2)由(1)知△ABG≌△BCH，
∴CH＝BG＝HG.
设CH＝BG＝x，则AG＝2x.
在Rt△ABG中，x2＋(2x)2＝42，
∴x＝(负值舍去)，即CH＝.
3．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥DE交DE于点F，交CD于点G，连接BF.
(1)求证：△ADG≌△DCE；
(2)求证：AB＝FB.
证明：(1)证明略.
(2)延长DE交AB延长线于点H.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE，
∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点.
又∵∠AFH＝90°，∴FB＝＝AB.
4．在正方形中，P是边BC上一动点（不与点B， C重合），连接AP.
（1）如图①，过点B作BQ⊥AP，垂足为O，交CD于点Q，求证：△ABP≌△BCQ；
（2）如图②，E是AP上的一点，过点E作MN⊥AP，分别交AB，CD于点M，N.求证：AP＝MN.
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
∴∠ABQ＋∠CBQ＝90°.
∵BQ⊥AP，∴∠PAB＋∠QBA＝90°.
∴∠PAB＝∠CBQ.
在△ABP和△BCQ中，
∴△ABP≌△BCQ（ASA）.
证明：（2）过点M作MG⊥CD于点G，
则四边形AMGD是矩形，
∴MG＝AD，∠MGN＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD.
∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN.
又∵MN⊥AP，∴∠AEM＝90°.
∴∠AME＋∠BAP＝90°.
又∵∠NMG＋∠AME＝90°，
∴∠NMG＝∠BAP.
∴△ABP≌△MGN（ASA）.
∴AP＝MN.
二、“a＝2b”结构
在正方形中存在直角三角形利用斜边上的中线得 “a＝2b”；或在正方形中存在三角形利用其中位线得 “a＝2b”.
【例2】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，M为AB的中点，连接OM.求证：AB＝2OM.
证明：易证△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF.
∵∠ABO＋∠CBF＝90°，
∴∠ABO＋∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°.
在Rt△ABO中，M是斜边AB的中点，
∴OM＝，即AB＝2OM.
【对应训练】
5．如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F.求证：CE＝2OF.
解：取AE的中点M，连接OM.
易知OA＝OC，MA＝ME，∠OFM＝67.5°，
∴OM＝，OM∥CE，
∴∠MOA＝∠BCA＝45°，
∴∠OMF＝∠EAC＋∠MOA＝67.5°，
∴∠OFM＝∠OMF，∴OF＝OM＝，
∴CE＝2OF.
三、“a＝”结构
在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”.
【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E为OD上一点，且BE＝BA，连接AE.
(1)求证：AE平分∠DAC；
(2)求证：DE＝.
证明：(1)∵∠ABE＝45°，BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°.
∵∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠DAE＝∠OAE＝22.5°，
∴AE平分∠DAC.
(2)过点E作EM⊥AD于点M.
∵AE平分∠DAC，EO⊥AO，EM⊥AD，
∴OE＝EM，∴DE＝.
【对应训练】
6．如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，且ED＝EF.求证：BF＝.
证明：连接BE.易证△CBE≌△CDE，
∴EB＝ED＝EF，∠EBC＝∠EDC＝∠EFD.
∵∠EFD＋∠EFC＝180°，
∴∠EBC＋∠EFC＝180°，
∴∠BEF＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＝90°，∴∠BEF＝90°，
∴BF＝.
7．如图，P为正方形ABCD边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.求证：CE＝.
证明：过点C作CH⊥AE于点H.
∵BG⊥AE，CH⊥AE，
∴∠BGP＝∠CHP＝∠CHE＝90°.
∵P为BC的中点，∴BP＝CP.
易证△BGP≌△CHP，
∴BG＝CH，∠PBG＝∠PCH.
易知AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA.
∵∠ABC＝∠ABG＋∠PBG＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，
∴∠PBG＝∠BAG，∴∠PCH＝∠BEA.
∵AB＝BC，∴BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠HCE＝∠HEC，∴CH＝EH.
∵∠CHE＝90°，∴CE＝.
四、45°角结构
在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”.
【例4】如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，求正方形的边长．
分析：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，先证△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，设正方形的边长为x，根据勾股定理列方程，求出x即可．
解：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，在△ABG和△ADF中， ∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝∠BAE＋∠GAB＝∠GAE＝45°，∴∠EAF＝∠GAE.在△AEG和△AEF中，∴△AEG≌△AEF(SAS).∴GE＝EF，
设正方形的边长为x，DF＝x－4，EC＝x－3，GE＝EF＝BG＋BE＝DF＋BE＝x－4＋3＝x－1，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2，即(x－1)2＝(x－3)2＋42，解得x＝6，即正方形的边长为6
【对应训练】
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（ A ）
A.2α B.90°－2α
C.45°－α D.90°－α
9．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，DE＝BF.点G，H分别在边AB，CD上，且GH＝3，GH交EF于M.若∠EMH＝45°，求EF的长．
解：连接CE，CF，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，BC＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠FBC＝90°＝∠D，在△FBC和△EDC中， ∴△FBC≌△EDC (SAS)，∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECD，∴∠ECF＝∠ECB＋∠FCB＝∠ECB＋∠ECD＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠EFC＝45°，EF＝CF，∵∠EMH＝45°，
∴∠EFC＝∠EMH，∴GH∥FC，∵AF∥DC，
∴四边形FCHG是平行四边形，∴CF＝GH＝3，
∴EF＝CF＝3
10．如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，F为AB上一点，AE，CF交于点O.若AB＝6，∠AOF＝45°，求BF的长．
解：过点C作CM∥AE交AD于点M，延长AD到点N，使得DN＝BF，连接CN，FM，如图所示，在正方形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴∠NDC＝∠B＝90°，∴△NDC≌△FBC(SAS)，∴CF＝CN，∠DCN＝∠BCF，
∵∠AOF＝45°，CM∥AE，∴∠MCF＝∠AOF＝45°，∴∠MCN＝∠MCD＋∠DCN＝45°，∴∠MCF＝∠MCN，
在△MCF和△MCN中， ∴△MCF≌△MCN (SAS)，∴MF＝MN，∵AD∥BC，AE∥MC，∴四边形AECM是平行四边形，∴CE＝AM，∵E是BC的中点，∴M是AD的中点，∵AB＝6，∴AD＝AB＝6，∴AM＝DM＝3，设BF＝x，则DN＝x，AF＝6－x，∴MF＝MN＝3＋x，在Rt△AFM中，根据勾股定理，得32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，∴BF＝2
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，∠EAF＝45°.
（1）若EA是∠BEF的平分线，求证：FA是∠DFE的平分线；
（2）若BE＝DF，求证：EF＝BE＋DF.
证明：（1）过点A作AH⊥EF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.
∵∠AHE＝90°，∴∠B＝∠AHE.
∵EA是∠BEF的平分线，
∴∠AEB＝∠AEH.
在△ABE与△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（AAS）.∴AB＝AH.
∵AB＝AD，∴AH＝AD.
在Rt△AHF与Rt△ADF中，
∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL）.∴∠AFE＝∠AFD.
∴FA是∠DFE的平分线.
证明：（2）如图，过点A作∠GAB＝∠FAD，且G为CB边延长线上一点.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD.
∴∠ABG＝90°.∴∠ABG＝∠D.
在△GAB和△FAD中，
∴△GAB≌△FAD（ASA）.∴BG＝DF，AG＝AF.
∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAB＋∠FAB＝90°.∴∠GAF＝90°.
∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°.
在△GAE和△FAE中，
∴△GAE≌△FAE（SAS）.∴GE＝EF.
∵GE＝BG＋BE，∴DF＋BE＝EF.
五、手拉手结构
【例5】如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长.
解：（1）证明：∵四边形ABCD，
AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG.
∴∠EAB＝∠GAD.
在△AEB和△AGD中，
∴△EAB≌△GAD（SAS）.
解：（2）∵△EAB≌△GAD，∴EB＝GD.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝＝6.
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3.
∵AG＝3，∴OG＝OA＋AG＝6.
∴GD＝＝＝3.
∴EB＝3.