福建省永春第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

永春一中高二年级期中考试数学科试卷（2024.4）
考试时间120分钟，试卷总分150分
一、单选题
1．若函数的导函数图象如图所示，则（ ）
的解集为
函数有两个极值点
函数的单调递减区间为
是函数的极小值点
2．为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（ ）
A．< B．=
X 0 1 2 3
P a
C．> D．、关系不能确定
3．已知离散型随机变量X的分布列如右表：
若离散型随机变量，则（ ）．
A． B． C． D．
4．掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A与B是独立事件；②事件B与C是互斥事件；③事件C与D是对立事件；④.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．180种
6．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，随机变量，其中，则（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
二、多选题
9．某种产品的价格（单位：元）与日需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示：
数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（ ）
10 15 20 25 30
11 10 8 6 5
变量与呈负相关
回归直线经过点
C．
D．该产品价格为元时，日需求量大约为
10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．
三、填空题
12．某市2022年高二数学联考学生成绩，且.现从参考的学生中随机抽查3名学生，则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为 .
13．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为 .
14． 已知直线与曲线相切,则的最小值是__________.
四、解答题
15．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
青年人 中年人 老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求 200
对短视频剪接成长视频的APP无需求 150
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
临界值表：
16如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面是棱的中点.
(1)证明：//平面;
(2)若,且为棱上一点，与平面所成角的大小为,求的值.
17．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.
(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望；
(2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和；
(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值.
18．设分别为椭圆的左 右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.
(1)求椭圆的方程；
(2)求点到直线的距离的最大值；
(3)判断的面积是否为定值，并说明理由.
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．
高二年数学期中考参考答案：
1．D 【详解】A. 的解集为函数的单调递减区间，为，故A错误；
B.函数只有1个变号零点，所以函数有1个极值点，故B错误；
C.当时，，所以函数的单调递减区间为，故C错误；
D.当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，故D正确.
2．A 【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以<，故选：A.
3．A 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ，
由 ， 等价于 ，由表可知 ；
4．A 【详解】掷一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，
事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，
对于①， ， ，，
，事件与是独立事件，故①正确；
对于②，事件与事件不能同时发生，事件与事件是互斥事件，故②正确；
对于③，事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误；
对于④，，故④错误．
5．B 【详解】要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有
种.
6．D 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故所以
，，故选：D．
7．A 【详解】令，则，所以由，
得，则通项公式为，
令，得，所以，所以，
因为随机变量，所以，
8．D 【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，
即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为（个），
9．ABC 【详解】，，∴回归直线经过点，B正确，将， 代入得，∴变量与呈负相关，A、C正确，
当产品价格为元时，代入得，∴日需求量大约为，D错误，
10．ABD 【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，
第3个路口是红灯，所以概率为，故A正确；对B：用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则，，，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为，
所以此密码被破译的概率为，故B正确；对C：由题意可得，即，
即，即，又，故，∴，故C错误；对D：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有，共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，则概率，故D正确；
11．AC 【详解】的定义域为，且.令，得在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得极大值正确.
令，解得，故函数有且仅有一个零点，错误.由在上单调递减，得，则正确.因为，即，所以，则错误.
12．/.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，
所以恰有1名学生的成绩超过100分的概率为.
13．504 【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，排法有种，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，①若“乐”在第二周，则射有四种选法，然后剩余四项全排列，则共有种排法②若“乐”不在第二周，则“射”与乐共有种选法，然后剩余四项全排列则共有种，由分类加法原理可得总的排法数为，故答案为：504.
14．【答案】
【解析】直线与曲线相切,设切点为,
则,所以,
因为,所以,
即,又,,故,
将代入得,,
解得,
故,
令,
则,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故在处取得极小值,也时最小值,
故,故的最小值为.
故答案为:.
15．【详解】（1）由题意可得：，解得．
（2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异．作出列联表：
青年人 中老年人 合计
对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550
对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450
合计 400 600 1000
可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人有差异．
16．【答案】见解析
【解析】(1)证明:如图,连接AC交BD于点M,连接EM,
因为M是AC的中点,E是PC的中点,所以PA//EM
又ME平面BDE,PA平面BDE,
所以平面BDE

(2)因为，所以，所以，故以为坐标原点,为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系,

则
设平面的法向量为，则，即，
故取,设,则
因为直线与平面所成角的大小为,
所以，即
解得,故此时.
17．【详解】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到1份文旅纪念品；
既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得2份文旅纪念品，则的可能取值为，
其中，，，
，所以的分布列为
3 4 5 6
.
（2）因为个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，于是，则，
于是，
两式相减，得
，所以.
（3）设只游览冰雪大世界的人数为，则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为，
因此游客得到纪念品的总个数，此时，
假定取最大值，必有，于是，
即，整理得，
解得，而，则，则，
所以当取最大值时，.
18．【详解】（1）由题意得，整理得，
解得，所以椭圆的方程为；
（2）当直线斜率不存在时，设，根据题意有.
因为原点是的重心，所以，解得，.
将，代入，解得，所以由知或.
所以到直线的距离为.
即直线斜率不存在时，到直线的距离为.
当斜率存在时，设所在直线方程为，.
由，得，且，即.
所以.
因为原点是的重心，所以，
所以，即.
将点代入椭圆方程得并整理可得，
所以点到直线的距离为
.
综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大为；
（3）的面积为定值，理由如下：
当直线斜率存在时，由（2）知，
且点到直线的距离为，
，
所以的面积为；
当直线斜率不存在时，由（2）知
的面积为.
综上，的面积为定值.
19【详解】（1）因为，则，
令得或，
当与时，；当时，；
所以在，单调递增，在单调递减．
（2）由（1）得，，
（ⅰ）直线的方程为，即，
由，得，
设，则，
令得，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
因为，，，
所以有且仅有2个零点，，其中，
这表明方程的解集为，
即直线AB与曲线交于另一点C，且C的横坐标为，
（ⅱ）由（ⅰ）得，即，
假设存在常数，使得，则，
所以，代入可得．设，则．令得．
当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．
因为，，，所以存在唯一的，使得．此时．
因此，存在常数，使得，且．