数学：第二章《平面向量教学设计》教案（新人教a版必修4）
文档属性
| 名称 | 数学：第二章《平面向量教学设计》教案（新人教a版必修4） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 273.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-19 07:47:00 | ||
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
人教A版数学必修4第二章平面向量教学设计
一、教材分析
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用．在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力．
1．本单元的教学内容的范围
（1）平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算
① 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
② 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
① 了解平面向量的基本定理及其意义。
② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积
① 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
本章知识结构如下：
根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容
向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学
生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：
向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.
课标要求的具体化和深广度分析
①平面向量的实际背景及基本概念
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 如：用向量a表示向东走了，则-a表示____．一辆汽车从A地出发向西行驶了100，到达B地，可以用向量a表示，那么从B地出发到A达地应如何表示？向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的是（ ）（A）向量a与b反向，则向量a+b与向量a的方向可能相同（B）向量a与b反向，则向量a+b与向量b的方向可能相同（C）向量a与b反向，且，则向量a+b与向量a的方向可能相同（D）向量a与b反向，且，则向量a+b与向量a的方向可能相同 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量
②向量的线性运算
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的线性运算性质及其几何意义． ①如：若向量a表示向东走了，b表示向南走了，则ab表示___________．已知下列各式①；②；③；④；其中结果为零向量的个数为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4② 已知向量a，b满足a+2b，5a+6b，7a2b，则一定共线的三点是（ ）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D③如：在中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设a，b，用a，b表示向量． ①掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义．②掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件．③会进行向量的线性运算．
③平面向量的基本定理及坐标表示
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． ①如：某人在静水中游泳，速度为每小时，水流的速度为每小时，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？ ②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．③如：已知，且点在的平分线上，若，则向量_________．④已知向量，，且A，B，C三点共线，则_________． ①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念 ③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件
④平面向量的数量积
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． ①如：用两根夹角为角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为10，则每根绳子的拉力大小是_________．②如：已知点，，，则在上的投影的值为_________．③如：a=（3，2），b=（4，k），若（5ab）（3ab）=55，求实数k的值．④如：两单位向量a，b的夹角为，则两向量p=2a+b与q=3a+2b的夹角为_________．换垂直的题 ①明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义 ②明确向量b在向量a的方向上的投影③掌握数量积的公式，能进行数量积的运算④明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件．
⑤向量的应用
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力． 如图，在平行四边形中，，与交于，用向量的方法证明：．实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从一岸边的处出发驶向对岸，已知船速为，水速为，欲使航行最短，则所用时间为_________． 掌握平面两点间的距离公式、 掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题
（2）本单元变化之处
①删繁就简，降低了知识的难度
②调整章节，凸显了知识的框架
③贴近生活，重视了知识的应用
（3）人教B版向量一章的教材特点
强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位
向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形
的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(+)又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，≌).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.
几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为
[形到数]——[数的运算]——[数到形]，
则向量方法可简单地表述为
[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].
教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.
说明：由于我们按照必修1，必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。
二、教学方式概述
人教B版教材对教师的教学方式，教师驾驭课堂的能力，教师把握教材的程度提出了更高的要求。
讲授启发式、自主探究式
向量是以往高中课程中已经出现的内容，新课标教材考虑的是通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习，教师改进教学方式，可以提高教学质量，使学生打好数学基础，提高数学思维能力．
1．引导学生用数学模型的观点看待向量内容
2．加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路
3．引导学生认真体会向量法的思想实质
掌握向量法的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
4．注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比
三、教学资源概述
教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规
四、课时建议
本单元教学约需12课时
2.1平面向量的实际背景及基本运算 2课时
2.2平面向量的线性运算 2课时
2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2课时
2.4平面向量的数量积 2课时
2.5平面向量应用举例 2课时
小结 2课时
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第一学时～第二学时
2.1.1 向量的概念
1. 学习目标
1.关于向量的概念
(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何
表示;
(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用
向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
(3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作
用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和
钻研精神.
2.关于向量的线性运算
(1) 通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;
(2) 让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.
(3) 通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.
2. 重点难点
1.关于向量的概念
(1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示;
(2)难点是对向量概念的理解;
2.关于向量的线性运算
(1)重点是向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,法则的理解
及其几何意义;
(2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则,运算律进行向量的线性运算,
并利用向量方法解决几何问题.
3. 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入新课 对向量全章的的介绍:通过对书上章前话的解读,让学生体会向量的丰富实际背景,了解向量的研究对象和研究方法,初步了解向量与几何代数之间的关系.(2)概念引入与形成 概念应用（1）通过具体的例题1体会向量的概念和几何表示;通过例题2和例题3巩固向量的几何表示,相等,共线向量等概念 让学生了解大致内容和小学习本章的重要性
概念形成 1从常见的物理量力,位移等了解它们的特征是既有大小又有方向的量,建立向量的认知基础,自然引出向量概念;2类比学生熟悉的数量如温度,身高,体积,风速,时间,通过比较,使学生在比较中加深对概念的认识. 3让再举出几个既有大小又有方向的量,以准确抓住向量的特点.(3)表示方法再次类比数的表示方法,引出用有向线段表示向量;(几何表示)用有向线段的方向和长度分别表示向量的方向和大小,赋予向量的几何意义;提出字母表示方法,明确书写上的要求,为向量的运算做好准备. (4)相关概念辨析从向量的模引出零向量和单位向量的概念;让学生了解相等向量规定的合理性,可利用计算机演示向量的平行移动,体会向量的相等,体会向量与有向线段之间的关系;由向量的平行移动体会平行向量和共线向量的等价性; 例1船向南航行100海里和向西航行100海里的位移相等吗 选择适当的比例尺,用有向线段表示这两次航行.例2某人从点出发向西走200到达点,然后朝西偏北45方向走300 到达点,最后又向东走200到达点. (1)按1:10000的比例作出向量和;（2）求和的值.(精确到1)例3在图中的4的方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为向量的起点和终点作向量.(1)其中与相等的向量有几个 （2）与长度相等的共线向量有多少个
归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置
作业：P79练习A,B
2.1.2向量的线性运算
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入新课 1)引入 数因为有了运算而使数的威力无穷,与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢 从向量的物理背景和数的运算中应该可以得到一些启发探究向量加法的定义法则 ①教师提出问题:怎么定义任意二个向量的和？（教师在黑板上画出二个自由向量），让学生小组讨论以后,出现两种不同定义方式三角形法则和平行四边形法则. ②针对两种方式,教师引导学生理解它们的本质的一致性;③同时提出思考问题那种定义更加严密？根据学生的回答，启发学生注意到平行四边形法则对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？④最后看书上相关内容,补充对零向量的运算规定.(5) 向量加法定义的运算律请学生类比实数加法运算律，猜测一下运算律是什么？由学生提出探究的途径,并分组验证,交流作图思路教师投影学生设计，并根据情况进行归纳点评,总结探究过程和探究结论,让学生有一个完整的认识. (6)应用举例通过例5体会向量加法的实际应用;通过例6体会向量加法在几何中的应用.例5一架飞机向南飞行400,然后改变方向向东飞行300,试求飞机飞行的路程和位移.例6在平面内能否构造三个非零向量 使.根据构造结果还可以继续提出若,则三点共线是否正确 3.关于向量的减法运算部分教学内容(1)类比数的减法运算,提出相反向量的概念,定义减法运算;(2)根据减法的定义,探索做出两个向量的差的方法,总结出向量减法的三角形法则;(3)比较加法和减法的三角形法则的区别(4)应用举例通过例7体会向量的加法和减法的三角形法则的混合应用;通过例8体会向量减法的实际应用.例7在五边形中, 若,,求作向量例8已知一艘船从点出发,以的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度为4,求河水的流速的大小. 实验准备 情景1:让两个学生中的甲从教室的某地位移到地,再从地位移到地,乙从直接到达地,观察比较.结论:前者是位移的合成, 两次位移的结果为,而与后者从点直接到点的位移相同;情景2:观看事前由学生做的力的合成的实验经过要求①用二个互相垂直的力把橡皮条拉长一定的距离，再撤去，用一个力作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录的大小和方向;②改变的大小和方向，重复以上实验，探究与的关系.③得出结论：排除误差，合力的方向在以为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形该对角线的长.例4如图，已知向量，，用三角形法则和平行四边形法则求作向量 通过实际例子，使学生学会用向量解决实际问题的方法
归纳小结：使学生理解并掌握向量加法的就几何意义。
作业1：P83练习A,B
作业2：P85练习A,B
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第三学时～第四学时
§2.1.4数乘向量(新教改B版教材)
教学目标:(1)掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；
(2)让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；
(3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。
教学重点、难点：
重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。
难点：正确运用法则解决几何问题。
教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问复习提问 (1)前两节我们介绍了解了向量的加法和减法，其中“加法”我们要牢固掌握“三角形法则”和“平行四边形法则”；例如：平面内有向量和，： 和 ①当顺次首尾连结时： ，和向量即为图中所示；(副板书)②当重合起点或终点时，图略，和向量应用“平行四边形法则”求得；而且向量的减法我们可以看成一个向量加上另一个向量的等模、反向、或记住口诀“连结终点，指向被减”直接由代数形式求得结果。例如：－＝（2）下面我们来看这么一道题：1．例：已知如图向量为非零向量，试用作图方式表示＋＋和－+（－） （投影） 师生互答与教师讲解结合师生互答与教师讲解结合 复习旧知识,引出新知识复习旧知识引出新知识
定理形成运算率的形成及证明 一.向量数乘的相关概念及性质:1.向量数乘（实数和向量相乘）的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长.(而且我们可以根据刚才的例题总结出这样的结论:)(0)的方向当2.实数和向量相乘所满足的运算率:(1); (2);(3) (分配率).(以上各运算律证明方法见后面，(3)的证明类似于例1,略,由学生自己证明) 首先我们抓住它的特点，＋＋是区别于一般情况下的三个相同的向量的加法，显然顺次连结首尾，我们依照加法规律可以很容易的得到3的几何表示这一点学生是容易理解并接受的，而－+（－）也是两个和等模反向的向量的和。这时我们会发现：当有非零实数和非零向量相乘时我们只需相应扩大或缩小向量的线段长度，“例如3是将的线段扩大为的三倍”，并且应注意所乘的常数是正数时得到的新向量方向不变，负数时变为和原向量相反即可。若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。并且：特殊地，当实数0和一个向量相乘时，得到的仍为一个向量，且模为0，即“零向量”。（因为零向量的方向不固定且模为0，所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向量”没有几何表示方法，它的代数形式为。） 学生通过对老师利用向量加法的讲解,能够很自然地接受向量和实数相乘的这样一种从一般的加法到乘法的变换,通过观察、比较、抽象、概括出实数与向量相乘的几何表示与代数表示法。发展学生的理性思维的能力。对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并且能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了
应用举例应用举例 1.计算下列各式:(1);(2);(3).解: ;;例2.设是未知向量,解方程: 解:原式可变形为: (例1和例2所需要注意的是书写格式要正确,箭头不要丢掉)例3.如图所示,已知说明向量与的关系.解:因为=+=3+3=3(+)=3 所以与共线且方向相同,长度是的3倍. 例3作图是学生需要锻炼的能力之一,督促学生画好,其次是注意回顾和正确使用向量加法法则,亦可以使用相似先得到线段长度的关系,判断方向,从而得到结论 通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力
布置作业 书后练习A组题目和B组1,2小题. 学生独立完成 巩固所学知识方法
三.教学资源建议:
可以参阅之前向量这一部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
四.教学方法与学习指导策略建议:
本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则,对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。
课文一开始的引入是从图形的放大和缩小是否能使用向量的手段进行解决这个问题入手的，是从向量和实数相乘的用法的角度切入的，可能相当一部分学生对这个问题不怎么感兴趣。而从向量的数乘是向量加法的一种特殊情况入手不仅复习回顾了前面向量的加减运算，而且从加法的特例（即几个相同的向量相加）入手，使得学生能自然地接受几何表示，不会觉得很突兀。其次牢记实数与向量相乘的结果是向量,而不是数,也比较重要，尤其是当向量为零或实数为零时，是讲解的重点。并且对于代数形式，稍加归纳总结即可。运算率可以让学生自己来证明。最后就是在解题的过程中，要强调格式的正确性，因为是高中的新知识，初中没有接触过，所以正确的格式要坚持强调。
§2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
─(新教改B版教材)
教学目标：使学生掌握平面向量共线的条件及简单的证明过程,会使用该定理解题,掌握轴上向量的定义方法,会计算向量的坐标,利用向量的坐标解题。
教学重点难点：重点是平行向量基本定理;
难点是平行向量基本定理的应用.
教学内容安排：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 在学习向量概念的时候,我们已经定义了什么是向量共线(即平行).而我们要知道向量的共线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重合不同,两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时,向量都称为共线(或平行)向量,<因为向量是自由的>。它的表示方法是，而且由于零向量觉得方向不定，所以可以把零向量认为成和任一向量平行的向量。 师生互答与教师讲解结合 复习旧知识,引出新知识
定理形成定理形成定理形成 1.平行向量基本定理:如果,则//;反之,如果//,且,则存在唯一一个实数,使得.(这样我们给出的这个平行向量的基本定理,根据它就可以判断两个向量是否共线了,实际上,给出的这种判断方法是一种代数的判断方法,后面在学习了坐标后我们在判断是否共线时也是根据这种方法来判断的.)2.单位向量:给定一个非零向量,与同方向且长度等于1的向量,叫做向量的单位向量.如果的单位向量记作,由数乘向量的定义可知:=或=.二.轴上向量的坐标及其运算:(对于数轴定义的回忆)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.已知轴.取单位向量,使的方向与同方向,根据向量平行的条件,对轴上任意向量,一定存在唯一实数,使=.反过来,任意给定一个实数,我们总能作一个向量=,使它的长度等于这个实数的绝对值,方向与实数的符号一致.这里的单位向量叫做轴的基向量, 叫做在上的坐标(或数量). 的绝对值等于的长,当与同方向时,是正数,当与反向时, 是负数.1.数轴上两点间的距离公式: ,2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标: 同学们要牢记基本定理,而且这样以来实数与这条轴上的向量建立起一一对应的关系,至此,我们就可以用数值来表示向量.给我们奠定了向量的数量化的基础,也是我们将来平面向量空间向量数量化的基础.那么我们由数轴上两点的距离可以用右边的点的坐标减去左边点的坐标这种方法来计算两点间的距离,所以以这两点为起终点的向量的所在线段的长度就应为下面的公式 学生通过对老师利用向量加法的讲解,能够很自然地接受向量和实数相乘的这样一种从一般的加法到乘法的变换,通过观察、比较、抽象、概括出向量的坐标表示，为以后向量平面的坐标做好准备，是向量坐标非常重要的坐标表示的引理。另一方面有助于发展学生的理性思维的能力，从简单的向量的知识开始，逐步深入，为平面向量的基本定理做好充分的准备。
应用举例 例1.已知数轴上三点的坐标分别是4,-2,-6,求:的坐标长度.过程见课本92页 学生需要锻炼的能力之一,注意回顾和正确使用定理,是平面向量坐标的基础定理。 通过设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生利用现讲的定理解题的能力。
三.教学资源建议:
可以参阅之前向量这一部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
四.教学方法与学习指导策略建议:
本节的知识是在老教科书向量的坐标的基础上为学生能够更顺利的了解向量坐标的相关知识而最新设立的。本小节的开始首先介绍向量共线（即平行）的判定定理。即向量之间有线性关系即表示两个向量共线（即平行），它也是我们今后利用向量证明相关向量结论的基础定理，更是在立体几何使用空间向量来证明时的有力辅助工具。在学习时要注意体会引入的过程，并且记牢。总之，本小节所介绍的内容仍为向量的基本知识，是我们后边学习向量相关知识的基础和保证，一定要重视对这块知识的讲解和对学生的落实。
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第五学时～第六学时
（一）学习目标
11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
14.了解平面向量的基本定理及其意义.
22.通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻研精神.
（二）重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.
（三）教学过程
教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的坐标表示.从而对平面上的任一方向的向量，都可以用相应的轴给出坐标表示，那么能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表示平面上所有向量呢 这种表示唯一吗 让学生回忆轴上向量及其坐标表示相关的概念及思想方法 从一维向二维,从已知到未知，引入新课题
新课探究 借助已经学过的平面直角坐标系.(1)分别确认x轴和y轴上的单位向量e1、e2那么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.例如横轴、纵轴上的向量坐标3分别表示3 e1、3e2(2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向量的线性组合。即：a=xe1+ye2）(3)取平面上两条互相垂直的单位向量e1、e2，那么对该平面内的任意向量a，都存在唯一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2。例如 课本103页练习A第一题证明 课本96页，97页(4)这里｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组正交基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式；（x,y）叫做a关于基底｛e1，e2｝下的坐标，即a＝（x,y）；x(y)是向量a在横(纵)轴上的正投影向量的在(横纵)轴上的坐标。显然0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1)(5)平面直角坐标系中 有序实数对（x,y）就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。(6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积。即：如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1)a∥b的充要条件是x1y2=x 2y1(需要证明)(7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向量e1、e2，那么平面中所有向量a都可以用这两个向量表示。即a=xe1+ye2.这里x、y是唯一确定的一对有序实数。｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式.例如 课本96页图2－34，证明同(3)。 师生共同探究, 对平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受.确认坐标表示向量的可行性,及其具体表示方法这里给出了课本97页的两个概念，学生知道这些名词就可以了向量的直角坐标表示及其运算性质，学生应该容易接受，甚至给出证明。一些学生可能不理解证明的必要性和合法性（不易深究）。一般学生以了解为主，重在以具体问题为载体，落实基本定理的思想方法（消点法）。 感受正交分解产生的合理性.使学生容易接受平面向量的坐标表示,使部分学生感受数学证明的严谨性和必要性.
深化理解 例11.课本100页例1。在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示。分别求它们的坐标。 所有例题，以教师为主导，关注优秀生是否能从想得通到写得通再到讲得通适当的给他们机会锻炼展示；关注一般同学是否能从想不通到想得通再到写得通给他们充分时间来思考学习教师协调全班讨论 复习巩固初中特殊角三角函数，学会用坐标表示向量，为数量积作准备
例12. 课本102页例5，含101页例2、4已知 ABCD的三个顶点A(-2,1),B(0,3),C(3,4)，求(1)向量BA的坐标、方向和长度；(2)向量BD的坐标、顶点D的坐标。总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量起点的坐标。即AB＝AO+OB＝OB－OA＝(x1－x2,y1－y2) 可以进行多种解法，以达到复习巩固向量的坐标表示，并用于向量的加减及数乘运算，使学生加深理解
例13．课本102页例6，含101页例3已知A(-2,1),B(4,4)，求线段AB的中点M和三等分点P、Q的坐标。注：OM＝OA＋AM＝OA＋0.5AB＝0.5(OA+OB)，这里的向量分解变形是重点也是难点。注：例题到此，应进行学生独立练习巩固 这里，初中学生已经接触过中点坐标公式。学生基础好，可以另用向量的方法给出证明
例21．课本104页例1已知 向量AB=(2,5),向量a=(1,y),若 向量AB∥a.求a的纵坐标y.例22．课本104页例2 直角坐标系xOy内，已知 A(-2,-3),B(0,1),C(2,5)。求证 A,B,C三点共线例31．课本97页例1已知 ABCD的两条对角线相交于点M，试用基底｛AB,AD｝表示向量MA,MB,MC,MD.例32．课本97页例2已知直线AB上任意点P及直线AB外一点O。以｛OA，OB}为基底，写出向量OP的分解式 熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势这是基本定理的例子，渗透了消元法（消点法）思想，练习量依据学生具体情况而定
课堂练习 练习1：课本103页练习A2,4,5;B1,2,3,4练习2：课本105页练习A1,2,3；B1,2练习3：课本98页练习A1,3,5;B1,3,4 对于部分习题师生可以在充分独立思考的基础上，进行小组讨论. 对应学生的差异性，同学们在合作交流中获得不同的发展
归纳小结 今天学会了：①向量的坐标表示②坐标表示的向量的加减及数乘运算③向量平行的坐标条件④平面向量的基本定理 师生共同完成 这是学生总结本课堂研究内容的练习机会，使学生反思学习进程的反馈时间
作业 作业1：课本105页习题2-2A2,3,4,5,6.作业2：课本106页习题2-2B2,3.127页9，11，19 学生自主完成 温习巩固，逐步理解
课后反馈
板书设计一 2．2．2平面向量的正交分解及其坐标表示例1 例3例2
板书设计二 2．2．3用平面向量坐标表示向量共线条件向量共线条件： 平面基本定理介绍例1 例3例2 例4归纳小结： 归纳小结：
（四）教学资源建议
教材、电子版教参中提供的教学课件、人教社网站（）
（五）教学方法与学习指导策略建议
将平面向量的基本定理的内容后置的相关考虑：
（1）平面向量的基本定理由原实验教材的“掌握”变成了新课标中的“了解”。这一基本定理是正交分解的理论基础，是向量恒等变形中“消元”的基本依据，应用这一基本定理可以更加灵活的解决一些向量问题.“了解”更适应数学基础课的要求，适应所有学生的学习要求。
（2）从教学功能上，平面向量的正交分解可以替代基本定理。正交分解可以直接证明，方法及思想与基本定理相同；同样包含了“消元”的基本思想方法（平面中任一向量都能表示成两个基底的线性组合）；正交分解同样有多种选择性。
(3)从学生的主体作用看，先有平面向量的正交分解，再有基本定理，更适合从特殊到一般的研究规律。有学生前面一维向量（轴上向量）的坐标表示，以及平面直角坐标系与数轴的相关研究过程，平面向量用两个互相垂直的单位向量表示，比两个不平行的向量表示应该更自然；基本定理作为所有学生要了解的内容，也是部分同学可以有所拓展的内容，有了之前的正交分解的研究作为基础，更容易通过类比加深理解。
（4）如果允许，可以用三课时完成这部分内容的教学。基础差的班级可以介绍平面向量基本定理，并落实巩固正交分解的方法以及向量平行条件的坐标表示；基础好的班级可以适当拓展非正交分解的思想方法
（六）备注：文中“向量AB”，符号不规范（少上面的前头线），需用正常的公式编辑器修改，为修改方便均在前面注明了“向量”或者“基底｛｝”。
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． ①如：某人在静水中游泳，速度为每小时，水流的速度为每小时，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？（实际速度的正交分解）②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．（向量的坐标表示）③如：已知，且点在的平分线上，若，则向量_________．（定比分点）④已知向量，，且A，B，C三点共线，则_________．（向量共线） ①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念 ③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第七学时～第八学时:第一方案
课题：向量数量积的定义及运算率
教学目标 1、知识与技能 ①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。
2、过程与方法 通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力
3、情感态度价值观 利用向量具有丰富的现实背景和物理背景使学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系，从中感受数学的应用价值。
教学重点 本节教学的重点是平面向量数量积的定义及性质和向量数量积的运算律
教学难点 对平面向量数量积的定义、性质、运算律的理解和应用
教学关键 利用物理背景启发学生探究向量数量积的定义，运用几何直观引导学生理解定义实质，揭示定义的几何意义
教学方法 将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。
教学环节 教学内容 师 生 互 动 设计意图 时间 反思
引言 教师介绍数学发展历程。注意情感教育， 教师引言：对问题的深入研究来源于人类对知识的永不满足，正如过去学过的实数，人们不仅认识实数的分类，还研究实数的运算，并且进一步想弄清楚运算有无规律可循，当然，幸运的是，我们有了“交换率、结合率、分配率”等等，当向量进入我们的视野时，我们与生俱来的好奇心又起作用，“向量是数吗？”“能算吗？ ” 调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性 1
复习提问 承前启后回顾已学习的向量运算 由前面的学习，我们已经知道，向量的运算要比实数的运算复杂的多，不仅有大小还要考虑方向，已经定义了向量的什么运算？这些运算的结果是什么？以加法为例说明我们是按照怎样的顺序研究这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用还可能定义什么运算？期望学生回答：向量相乘 复习向量有关运算 2
引入新课 以物理背景引入实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（1）力F所做的功W= 。 （2） 请同学们分析这个公式的特点：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，α是 。 我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；问题1：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？期望学生思考后回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。教师要让学生明白：本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化，运算结果是实数。学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，自然引进数量积的定义回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至同起点。回答问题1后定义夹角： P107 设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，概念。 4
定 义 给 出 数量积的定义定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos在此可以强调“请同学们用一句话来概括功的数学本质：显然功是力与位移的数量积”学生应用公式完成例1已知： |a|=5，|b|=4，〈a，b〉=1200，求ab 注意：①=0·=0②“·”并非实数运算中的乘号，既不能写成“”也不能省略在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题问题2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？完成下表：角的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符号不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素， “补充”通过前后呼应达到强化理解、加深认识的目的。 通过此环节为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。对角的范围做好分类讨论的准备 5
数量积的性质 探究数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1ea = ae =|a|cos〈a，e〉2ab ab = 0且ab = 0 ab3 aa = |a|2，即4cos〈a，b〉=5|ab| ≤ |a||b| 学生分组探究，两个向量的数量积的性质，教师指导探究活动，体现特殊化的思想，数形结合思想，基本运算能力培养问题3：简要叙述性质的特征和功能1单位向量的特征？2为什么ab = 0可以用于判断a、b垂直？3aa = |a|2，即的主要功能是什么？4如何求夹角？练习：P109/练习A：1（3）2（1） 培养学生自主探究，引导学生动手动脑解决问题 5
数量积的几何意义 向量在轴上的正射影定义：已知向量和轴l，作=，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量叫做向量在轴l上的正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标称作向量在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量 由此我们知道了向量的数量积的代数定义，总感到意犹未尽，有没有几何特征呢？由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义见P108/图2-50=在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数余弦定义可知：al=cosθ 5
应用 体会公式，应用练习 P108/例1：了解：向量在轴l上的正射影（向量）的坐标在轴l上的数量 2
向量数量积的运算律 向量数量积的运算律交换律ab = b a分配律（a+b）c =ac +bcλ（ab）=（λa）b= a（λb） 从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，从向量数量积的定义和几何意义出发，回答下列问题，课下分组探究运算律， 问题3：向量问题解决思路问题4：单位向量的功能 创设情境，引发思考 3
应用举例 例3、求证：①（+）2=2+.+2②（+） （-）=2_2例4、求证：菱形的两条对角线互相垂直（用向量解决几何问题） 教师引导：考虑运用向量的数量积的性质和运算律，板书例3、求证：①（+）2=2+.+2学生证明②（提示：结论可直接应用）例4（线形运算已涉及）要求学生画出图形，已知条件转化为符号语言，并在图像上找到对应哪条有向线段？ 步骤：用向量表示几何关系进行向量运算还原为几何结论 教师通过板书证明：针对学生比较陌生的内容，说明每部依据 7
随堂练习 测验1、P109/练习A：1（1）2、P109/练习B：1（2）3、P111/练习A：1 题号内容难度成绩自评总评123 6
归纳小结 要点：1、体会数学知识多来源于实际需要2、区分几种运算，数量积结果是实数，联系向量与实数3、运算律不同于实数运算，不能套用，课后思考：结合律适用吗？ 教师引导学生回顾小结向量数量积的概念、几何意义及其运算律，总结用向量解题可以分为三步：用向量表示几何关系进行向量运算还原为几何结论 帮助学生总结知识方法，便于学生系统掌握 3
布置作业 P109/练习A：1（4）2P109/练习B：1，2P111/练习A：2，3P111/练习B：1，2 学生课后独立完成分组探究（自选）：课后思考1、证明两个向量的数量积的性质？课后思考2、分组探究运算律并进行证明？ 课后思考3、结合律适用吗？ 进一步巩固本节所学知识、方法 1
教学资源建议 多媒体演示一物体在力F的作用下产生位移S几何画板反映夹角变化在实际探究活动中，可以登陆查询资料的网站有：中学教育网、K12等 教师在课堂使用多媒体教师为学生课后自主探究提供相应的理论与技术支持对知识与技能目标的达成度，可以通过纸笔测验的方式来检验运用统计方法了解学生对知识的掌握以及对学习数学的信心 为学生的发展提供平台
课题 向量数量积的坐标运算和度量公式
教学目标 1、知识与技能 掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直． （3）掌握平面内两点间的距离公式
2、过程与方法 通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．
3、情感、态度、价值观 通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神．
教学重点 向量数量积的坐标运算和度量公式向量垂直的坐标表示的充要条件．
教学难点 平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。
教学方法 设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究,使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 提问1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？ 由学生口答，教师板书向量数量积的定义及向量的运算律公式 为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础
练习2：已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.练习3：设i，j为正交单位向量，则 ① _______② ____________③ ________ ④ ____________ 学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质
引入新课及公式推导 向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？问题1如果已知 ，怎样用 、 的坐标表示 呢？ 推广1：设，则或(长度公式)推广2：设 、 则(距离公式)推广3： cos =（）(夹角公式) 学生独立进行每个公式的证明，教师个别指导 教师小结：（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即(2) 向量的长度、距离和夹角公式 在充分复习的基础上，培养学生用旧知解决新问题的能力，独立思考探索的意识
问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？ 教师小结：向量垂直的充要条件设，，则
应用举例 设 = (3, 1)， = (1, 2)，求， 教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。 巩固向量数量积的坐标运算和度量公式的基本应用
已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形 （1）教师引导，师生共同完成。(2)教师提问：该题还有其他证明方法吗？（提示可计算 、 、 ，然后用勾股定理验证） 运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学公式解决问题的能力
已知A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的值。 教师引导，师生共同完成。 应用夹角的坐标公式，揭示向量与三角的联系,训练学生的运算能力
已知 ，求与 垂直的单位向量 教师讲解，学生归纳方法
课堂练习 练习A 1（1），（2） 学生独立完成，教师指导 巩固新知
归纳小结 1、向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角. （2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。 师生共同完成 使学生养成归纳总结的习惯，主动独立思考问题的能力
布置作业 练习A 1（3）（4）,2,3练习B 1 学生独立完成 巩固新知
教学资源建议 教材、教参、多媒体、尺规
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第七学时～第八学时:第二方案
2.3.1 平面向量数量积的物理背景及定义
一、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义
2.过程与方法：
（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系
（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别
（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法
3.情感、态度与价值观：
通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点
重点：平面向量数量积的定义
难点：数量积的性质及运算率
三、教学方法：
探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入 以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角 教师提出问题，学生思考 由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系
定义形成 问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0 教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量 让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性
定义深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1、 = =||cos2、 = 03、 = ||2或4、cos =5、|| ≤ ||||问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？如何验证。结论：向量数量积满足的运算率：；； 学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案 养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯
应用举例 已知｜｜＝5，｜｜＝4，<,>=，求·练习1、 已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·练习2、判断正误，并简要说明理由（若易混淆可调整顺序）·＝；②0·＝０；③－＝；④｜·｜＝｜｜｜｜；⑤若≠，则对任一非零有·≠０；⑥·＝０，则与中至少有一个为；⑦对任意向量，，都有（·）＝（·）；⑧与是两个单位向量，则求证：（1）.;(2).；(3).例3、ABC为等腰直角三角形，且斜边AC=，求的值练习：P109 练习A（分组做） 学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律（类比多项式的运算） 让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入
课堂小结 平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项；平面向量的数量积的运算性质（注意结合率和消去率不成立）对于平面向量的几种运算进行比较总结 让学生写出基本框架，然后添加具体内容 进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力和习惯
作业 看书反思本节内容；P111 练习A---1、2、3 练习B---2 养成学生看书的习惯
2.3.2 向量数量积的坐标运算
一、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积坐标运算及应用
2.过程与方法：
（1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性；
（2）从具体应用体会向量数量积的作用
3.情感、态度与价值观：
学会对待不同问题用不同的方法分析的态度
二、教学重点、难点
重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
难点：条件和公式的应用
三、教学方法
用学过的知识带动学生探求新知识
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 平面向量基本定理及向量的坐标表示向量数量积的定义及性质、运算率 学生思考回答上节课内容 温故知新
定义形成 向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。那么这一定义如何由它的代数性反映出来？ 那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？结论：已知两个非零向量，则从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）向量的长度、距离和夹角公式（1）设，则或(长度公式)（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(距离公式)(3) cos =（）(夹角公式)向量垂直的充要条件设，，则 教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算 。从而很容易推导出三个公式和一个条件 让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣
定义深化 对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识向量在轴上的正射影：作图 定义：||cos叫做向量在所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为||；当 = 180时正射影为||挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）练习：P108 例1 学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题注意：射影是可正可负可为零的 教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象
应用举例 例1.已知=（3，-1），=（1，-2），求，||，||，<,>例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求的正弦值练习.已知=(3,4)，求：（1）的单位向量；（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量 主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观 熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解
课堂小结 1.数量积的定义、性质、运算率 2.几种特殊情况的讨论（注意事项）教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？ 主要学生总结，教师不做过多引导 让学生掌握最主要的内容；让大多数学生知道还有某些注意事项
作业 看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）P115练习B---2（1）（2）、3 练习A---1（1）（2） 习题A---2 习题B---4
注意：
1、 找向量夹角时，向量必须同起点；
2、 定义中注意垂直时数量积为0；
3、 两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”
4、 数量积不满足结合率和消去率：
在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0
已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是ab = bc a = c
在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)
5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第九学时～第十学时
2.4.1 向量在平面几何中的应用
一、教学目标
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法
3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.
难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.
三、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
四、教学内容安排：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习准备 课前复习任务（由学生总结成书面材料）（1）向量的线性运算是怎样的 （2）平面向量共线的含义及条件是什么？（3）平面向量的基本定理及向量的坐标运算有哪些？（4）平面向量的数量积中有哪些主要内容？ 讨论：（1）若O为重心,则++= （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系 让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行
新课引入 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设＝,＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为 讨论（让学生回顾学过的知识，有利于本课的顺利进行）：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．（3）向量平行、垂直的判定方法 让学生掌握用向量方法解平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．
应用举例 例1：如图2-55，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来 问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2 选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3 由学生总结解题方法 通过分步设问，引导学生展开思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法
例2：求证平行四边形对角线互相平分．小结：法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底和，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。 问题4 如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条对角线互相平分，可以证明，或。前一种方法可以建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示后即可；后一种方法就是课本提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给出证明过程 本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，点出方法，又不直接说怎么做，引导学生再去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。
例3：已知正方形ABCD（图2-57），P为对角线AC上任意一点，于点E，于点F，连接DP，EF。求证DPEF。小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。 问题5 如何证明？能否用坐标法完成？学生思考，回答 老师点评学生思路：要证明两条直线（段）互相垂直，可以证明=，也可以证明两向量数量积为0。前一种方法可以建立平面直角坐标系，点用坐标表示用斜率公式即可；后一种方法就是课本提供的方法，将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。 师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程 本题用坐标法。尤其是第二种方法用向量坐标法证明比较简单，可见选定方法是关键，学生可从中体会，形成思维习惯。
课堂练习 练习1． 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．练习2．如图，在平行四边形中，，，，求证四边形为矩形 由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积要证四边形为矩形，只需证一角为直角． 进一步巩固所学知识，归纳方法
归纳小结 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤 师生交流共同完成 帮助学生总结知识，归纳方法
布置作业 练习：A组1、2及B组1作业：习题2-4A1及习题2-4B1 学生独立完成 巩固所学方法，规范解题步骤
2.4.2 向量在物理中的应用举例
一、教学目标：
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题.
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用.
3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点：
重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题
难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题
三、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
教学内容安排：
四、教学内容安排：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习准备 复习引入，设置情景引导学生回顾用向量法解决平面几何问题的基本思维过程，为学习用向量方法解决物理以及生活中的问题奠定理论与方法的基础. 讨论：出示相关的图片资料或多媒体演示，设置问题情景两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.观察思考、探索思路引引导学生从数学的角度解释这些现象，探讨用向量知识来表示问题中的物理量，并利用向量的线性关系表示各物理量之间的关系. 设｜｜=｜｜ ①当θ逐渐增大时，|F1|的大小怎样变化，为什么？②θ为何值时，｜F1｜最小？最小值是多少？③θ为何值时，|F1|=|G|？为什么？(F= F1+ F2) 让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行
新课引入 物理中的向量：① 物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ② 力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解,运动的叠加也用到了向量的加法.③ 动量是数乘向量.④ 力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移的数量积.⑤ 用向量研究物理问题的方法:首先把物理问题转化成数学问题,即将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.⑥ 探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子. 讨论：力是向量，在不考虑作用点的情况下可利用向量运算法则进行计算。一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量。例如，“东北风30”可用图2-64中的有向线段来表示。 用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”： 1.把物理问题转化为数学问题.2.建立以向量为主题的数学模型.3.求出数学模型的有关解------理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
应用举例 例1：如图2-63所示，求两个力F1、F2的合力F的大小（精确到）和方向（精确到分）小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来 问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2 选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3 由学生总结解题方法 本题所用方法是建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题来解决。并通过两种方法对比引导学生探索，体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。
例2：河水从东向西流，流速为2，一轮船以2垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速（精确到0 .1）（图2-65） 问题3如何解？学生思考，回答 老师点评学生思路： 由学生思考轮船实际航行的速度是水流速和船速的合速度，转化为向量加法运算。 本题所用方法是建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题来解决。
课堂练 习： 练习1．某人在静水中游泳,速度为⑴如果他径直游向河对岸,水流速度为,那么他实际上沿什么方向前进 速度大小为多少 ⑵他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进 实际前进的速度大小为多少 练习2．如图,用两根分别长的绳子将100N的物体吊在水平屋顶上,平衡后G点距屋顶的距离恰好为,求A处受力的大小. 解决此类行船问题的关键在于＂水速+船速=船实际速度”,注意到速度是一个向量,既有大小,又有方向.解决此类问题要先依题意将物理向量用有向线段来表示,利用向量加法的平行四边形法则,将物理问题转化为数学中向量加法,然后由已知条件进行计算. 进一步巩固所学知识，归纳方法
归纳小结 本节主要研究了用向量知识解决物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决物理问题的步骤 师生交流共同完成用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”： 1.把物理问题转化为数学问题.2.建立以向量为主题的数学模型.3.求出数学模型的有关解------理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 帮助学生总结知识，归纳方法
布置作业 练习：123页练习A组1、2及B组1、2作业：123页练习A组3、4及B组3 学生独立完成 巩固所学方法，规范解题步骤
五、教学资源建议
（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）.
（2）引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野.
六、教学方法与学习指导策略建议
（1）重视问题的形成过程
利用多媒体教学手段和丰富的素材，通过典型问题创设教学情景，让学生动手操作、观察思考，在探究中发现和提出问题，发现平面图形的几何性质.
（2）关注解题方法产生的思维过程
引导学生探究如何将平面几何、力学等问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.
（3）强化学生的应用意识
一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会 ，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.
（4）引导学生探究解题规律
指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第十一学时～第十二学时：全章小结
（一）学习目标
1.进一步理解向量的有关概念;
2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.
3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.
4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.
（二）重点难点
1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算
2. 难点是如何向量方法解决一些问题.
（三）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
全章知识结构介绍 让学生根据表根中的各项要,回忆相关的概念 让学生从整体上对本章内容有一个宏观的了解
复习 例1.填空(向量的线性运算)1.已知平行四边形ABCD,则2. 3. 已知,则点M是A,B的_______;若点A(, 则 M的坐标为_________.4.已知,则5.已知, ,则点M的坐标为_______. 让学生自己先解决问题,让后同学进行回答,教师进行指导 说明:给出这组题的目的是,在复习向量的加减法,坐标运算和其相关的几何表示都要掌握,并且要会结合在一起使用.
例2.(向量的数量积)(1)已知,求(2)已知在中,有
,问:点在的什么位置. 说明:让学生首要注意一些数据表明的一些几何信息以及向量的代数式也可以告诉我们一些相关的几何信息,从而突出代数和几何关系.
例3.(向量基本定理)(1)给定一个基底且如果,求.(2)已知E,F分别是边AB,AC上的点,其EF//BC,AE=,如果,,用表示 会让学生在给出基底的情况下表示其它向量.
例4.(向量的应用)(1)已知中,引中线AD,BE,CF,求证: ;(2)若O为的重心,求证: .(根据此问让学生思考重心坐标公式)(3)用向量方法证明:平行四边形两条对角线长度的平方和等于平行四边形四边长度的平方和.(4)已知向量满足,求证:是等边三角形.(5)已知.求的最小值和相应的值;若与共线,求的值. 教师要对学生进行适当的提示. 这部分问题的对学生的要求较高,让学生会应用向量方法解决相关问题,而这包括用向量和坐标方法.
归纳小结 本节主要复习向量的概念和相关的运算,如何用向量来解决问题
布置作业 课本126页习题. 学生自主完成
（四）教学资源建议
教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规
（五）教学方法与学习指导策略建议
向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,掌握向量的解题技巧,方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此教师在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂,是连接数与形的纽带,教师应该突出这一点.因此,教师在讲授时,
（1）关注解题方法产生的思维过程
引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.
（2）强化学生的应用意识
一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会 ，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.
（3）引导学生探究解题规律
指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.
21世纪教育网
高考资源网
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
平面向量、实际背景
向量及其基本概念
线性运算
向量的数量积
基本定理
坐标表示
向量的应用
1．相关名词介绍
插入课本图2－38
2．坐标表示的向量
3．向量坐标运算的性质
S
F
α
C
平面向量、实际背景
向量及其基本概念
线性运算
向量的数量积
基本定理
坐标表示
向量的应用
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
人教A版数学必修4第二章平面向量教学设计
一、教材分析
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用．在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力．
1．本单元的教学内容的范围
（1）平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算
① 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
② 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
① 了解平面向量的基本定理及其意义。
② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积
① 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
本章知识结构如下：
根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容
向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学
生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：
向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.
课标要求的具体化和深广度分析
①平面向量的实际背景及基本概念
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 如：用向量a表示向东走了，则-a表示____．一辆汽车从A地出发向西行驶了100，到达B地，可以用向量a表示，那么从B地出发到A达地应如何表示？向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的是（ ）（A）向量a与b反向，则向量a+b与向量a的方向可能相同（B）向量a与b反向，则向量a+b与向量b的方向可能相同（C）向量a与b反向，且，则向量a+b与向量a的方向可能相同（D）向量a与b反向，且，则向量a+b与向量a的方向可能相同 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量
②向量的线性运算
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的线性运算性质及其几何意义． ①如：若向量a表示向东走了，b表示向南走了，则ab表示___________．已知下列各式①；②；③；④；其中结果为零向量的个数为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4② 已知向量a，b满足a+2b，5a+6b，7a2b，则一定共线的三点是（ ）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D③如：在中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设a，b，用a，b表示向量． ①掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义．②掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件．③会进行向量的线性运算．
③平面向量的基本定理及坐标表示
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． ①如：某人在静水中游泳，速度为每小时，水流的速度为每小时，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？ ②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．③如：已知，且点在的平分线上，若，则向量_________．④已知向量，，且A，B，C三点共线，则_________． ①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念 ③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件
④平面向量的数量积
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． ①如：用两根夹角为角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为10，则每根绳子的拉力大小是_________．②如：已知点，，，则在上的投影的值为_________．③如：a=（3，2），b=（4，k），若（5ab）（3ab）=55，求实数k的值．④如：两单位向量a，b的夹角为，则两向量p=2a+b与q=3a+2b的夹角为_________．换垂直的题 ①明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义 ②明确向量b在向量a的方向上的投影③掌握数量积的公式，能进行数量积的运算④明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件．
⑤向量的应用
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力． 如图，在平行四边形中，，与交于，用向量的方法证明：．实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从一岸边的处出发驶向对岸，已知船速为，水速为，欲使航行最短，则所用时间为_________． 掌握平面两点间的距离公式、 掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题
（2）本单元变化之处
①删繁就简，降低了知识的难度
②调整章节，凸显了知识的框架
③贴近生活，重视了知识的应用
（3）人教B版向量一章的教材特点
强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位
向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形
的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(+)又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，≌).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.
几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为
[形到数]——[数的运算]——[数到形]，
则向量方法可简单地表述为
[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].
教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.
说明：由于我们按照必修1，必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。
二、教学方式概述
人教B版教材对教师的教学方式，教师驾驭课堂的能力，教师把握教材的程度提出了更高的要求。
讲授启发式、自主探究式
向量是以往高中课程中已经出现的内容，新课标教材考虑的是通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习，教师改进教学方式，可以提高教学质量，使学生打好数学基础，提高数学思维能力．
1．引导学生用数学模型的观点看待向量内容
2．加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路
3．引导学生认真体会向量法的思想实质
掌握向量法的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
4．注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比
三、教学资源概述
教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规
四、课时建议
本单元教学约需12课时
2.1平面向量的实际背景及基本运算 2课时
2.2平面向量的线性运算 2课时
2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2课时
2.4平面向量的数量积 2课时
2.5平面向量应用举例 2课时
小结 2课时
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第一学时～第二学时
2.1.1 向量的概念
1. 学习目标
1.关于向量的概念
(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何
表示;
(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用
向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
(3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作
用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和
钻研精神.
2.关于向量的线性运算
(1) 通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;
(2) 让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.
(3) 通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.
2. 重点难点
1.关于向量的概念
(1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示;
(2)难点是对向量概念的理解;
2.关于向量的线性运算
(1)重点是向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,法则的理解
及其几何意义;
(2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则,运算律进行向量的线性运算,
并利用向量方法解决几何问题.
3. 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入新课 对向量全章的的介绍:通过对书上章前话的解读,让学生体会向量的丰富实际背景,了解向量的研究对象和研究方法,初步了解向量与几何代数之间的关系.(2)概念引入与形成 概念应用（1）通过具体的例题1体会向量的概念和几何表示;通过例题2和例题3巩固向量的几何表示,相等,共线向量等概念 让学生了解大致内容和小学习本章的重要性
概念形成 1从常见的物理量力,位移等了解它们的特征是既有大小又有方向的量,建立向量的认知基础,自然引出向量概念;2类比学生熟悉的数量如温度,身高,体积,风速,时间,通过比较,使学生在比较中加深对概念的认识. 3让再举出几个既有大小又有方向的量,以准确抓住向量的特点.(3)表示方法再次类比数的表示方法,引出用有向线段表示向量;(几何表示)用有向线段的方向和长度分别表示向量的方向和大小,赋予向量的几何意义;提出字母表示方法,明确书写上的要求,为向量的运算做好准备. (4)相关概念辨析从向量的模引出零向量和单位向量的概念;让学生了解相等向量规定的合理性,可利用计算机演示向量的平行移动,体会向量的相等,体会向量与有向线段之间的关系;由向量的平行移动体会平行向量和共线向量的等价性; 例1船向南航行100海里和向西航行100海里的位移相等吗 选择适当的比例尺,用有向线段表示这两次航行.例2某人从点出发向西走200到达点,然后朝西偏北45方向走300 到达点,最后又向东走200到达点. (1)按1:10000的比例作出向量和;（2）求和的值.(精确到1)例3在图中的4的方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为向量的起点和终点作向量.(1)其中与相等的向量有几个 （2）与长度相等的共线向量有多少个
归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置
作业：P79练习A,B
2.1.2向量的线性运算
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入新课 1)引入 数因为有了运算而使数的威力无穷,与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢 从向量的物理背景和数的运算中应该可以得到一些启发探究向量加法的定义法则 ①教师提出问题:怎么定义任意二个向量的和？（教师在黑板上画出二个自由向量），让学生小组讨论以后,出现两种不同定义方式三角形法则和平行四边形法则. ②针对两种方式,教师引导学生理解它们的本质的一致性;③同时提出思考问题那种定义更加严密？根据学生的回答，启发学生注意到平行四边形法则对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？④最后看书上相关内容,补充对零向量的运算规定.(5) 向量加法定义的运算律请学生类比实数加法运算律，猜测一下运算律是什么？由学生提出探究的途径,并分组验证,交流作图思路教师投影学生设计，并根据情况进行归纳点评,总结探究过程和探究结论,让学生有一个完整的认识. (6)应用举例通过例5体会向量加法的实际应用;通过例6体会向量加法在几何中的应用.例5一架飞机向南飞行400,然后改变方向向东飞行300,试求飞机飞行的路程和位移.例6在平面内能否构造三个非零向量 使.根据构造结果还可以继续提出若,则三点共线是否正确 3.关于向量的减法运算部分教学内容(1)类比数的减法运算,提出相反向量的概念,定义减法运算;(2)根据减法的定义,探索做出两个向量的差的方法,总结出向量减法的三角形法则;(3)比较加法和减法的三角形法则的区别(4)应用举例通过例7体会向量的加法和减法的三角形法则的混合应用;通过例8体会向量减法的实际应用.例7在五边形中, 若,,求作向量例8已知一艘船从点出发,以的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度为4,求河水的流速的大小. 实验准备 情景1:让两个学生中的甲从教室的某地位移到地,再从地位移到地,乙从直接到达地,观察比较.结论:前者是位移的合成, 两次位移的结果为,而与后者从点直接到点的位移相同;情景2:观看事前由学生做的力的合成的实验经过要求①用二个互相垂直的力把橡皮条拉长一定的距离，再撤去，用一个力作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录的大小和方向;②改变的大小和方向，重复以上实验，探究与的关系.③得出结论：排除误差，合力的方向在以为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形该对角线的长.例4如图，已知向量，，用三角形法则和平行四边形法则求作向量 通过实际例子，使学生学会用向量解决实际问题的方法
归纳小结：使学生理解并掌握向量加法的就几何意义。
作业1：P83练习A,B
作业2：P85练习A,B
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第三学时～第四学时
§2.1.4数乘向量(新教改B版教材)
教学目标:(1)掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；
(2)让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；
(3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。
教学重点、难点：
重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。
难点：正确运用法则解决几何问题。
教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问复习提问 (1)前两节我们介绍了解了向量的加法和减法，其中“加法”我们要牢固掌握“三角形法则”和“平行四边形法则”；例如：平面内有向量和，： 和 ①当顺次首尾连结时： ，和向量即为图中所示；(副板书)②当重合起点或终点时，图略，和向量应用“平行四边形法则”求得；而且向量的减法我们可以看成一个向量加上另一个向量的等模、反向、或记住口诀“连结终点，指向被减”直接由代数形式求得结果。例如：－＝（2）下面我们来看这么一道题：1．例：已知如图向量为非零向量，试用作图方式表示＋＋和－+（－） （投影） 师生互答与教师讲解结合师生互答与教师讲解结合 复习旧知识,引出新知识复习旧知识引出新知识
定理形成运算率的形成及证明 一.向量数乘的相关概念及性质:1.向量数乘（实数和向量相乘）的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长.(而且我们可以根据刚才的例题总结出这样的结论:)(0)的方向当2.实数和向量相乘所满足的运算率:(1); (2);(3) (分配率).(以上各运算律证明方法见后面，(3)的证明类似于例1,略,由学生自己证明) 首先我们抓住它的特点，＋＋是区别于一般情况下的三个相同的向量的加法，显然顺次连结首尾，我们依照加法规律可以很容易的得到3的几何表示这一点学生是容易理解并接受的，而－+（－）也是两个和等模反向的向量的和。这时我们会发现：当有非零实数和非零向量相乘时我们只需相应扩大或缩小向量的线段长度，“例如3是将的线段扩大为的三倍”，并且应注意所乘的常数是正数时得到的新向量方向不变，负数时变为和原向量相反即可。若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。并且：特殊地，当实数0和一个向量相乘时，得到的仍为一个向量，且模为0，即“零向量”。（因为零向量的方向不固定且模为0，所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向量”没有几何表示方法，它的代数形式为。） 学生通过对老师利用向量加法的讲解,能够很自然地接受向量和实数相乘的这样一种从一般的加法到乘法的变换,通过观察、比较、抽象、概括出实数与向量相乘的几何表示与代数表示法。发展学生的理性思维的能力。对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并且能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了
应用举例应用举例 1.计算下列各式:(1);(2);(3).解: ;;例2.设是未知向量,解方程: 解:原式可变形为: (例1和例2所需要注意的是书写格式要正确,箭头不要丢掉)例3.如图所示,已知说明向量与的关系.解:因为=+=3+3=3(+)=3 所以与共线且方向相同,长度是的3倍. 例3作图是学生需要锻炼的能力之一,督促学生画好,其次是注意回顾和正确使用向量加法法则,亦可以使用相似先得到线段长度的关系,判断方向,从而得到结论 通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力
布置作业 书后练习A组题目和B组1,2小题. 学生独立完成 巩固所学知识方法
三.教学资源建议:
可以参阅之前向量这一部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
四.教学方法与学习指导策略建议:
本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则,对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。
课文一开始的引入是从图形的放大和缩小是否能使用向量的手段进行解决这个问题入手的，是从向量和实数相乘的用法的角度切入的，可能相当一部分学生对这个问题不怎么感兴趣。而从向量的数乘是向量加法的一种特殊情况入手不仅复习回顾了前面向量的加减运算，而且从加法的特例（即几个相同的向量相加）入手，使得学生能自然地接受几何表示，不会觉得很突兀。其次牢记实数与向量相乘的结果是向量,而不是数,也比较重要，尤其是当向量为零或实数为零时，是讲解的重点。并且对于代数形式，稍加归纳总结即可。运算率可以让学生自己来证明。最后就是在解题的过程中，要强调格式的正确性，因为是高中的新知识，初中没有接触过，所以正确的格式要坚持强调。
§2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
─(新教改B版教材)
教学目标：使学生掌握平面向量共线的条件及简单的证明过程,会使用该定理解题,掌握轴上向量的定义方法,会计算向量的坐标,利用向量的坐标解题。
教学重点难点：重点是平行向量基本定理;
难点是平行向量基本定理的应用.
教学内容安排：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 在学习向量概念的时候,我们已经定义了什么是向量共线(即平行).而我们要知道向量的共线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重合不同,两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时,向量都称为共线(或平行)向量,<因为向量是自由的>。它的表示方法是，而且由于零向量觉得方向不定，所以可以把零向量认为成和任一向量平行的向量。 师生互答与教师讲解结合 复习旧知识,引出新知识
定理形成定理形成定理形成 1.平行向量基本定理:如果,则//;反之,如果//,且,则存在唯一一个实数,使得.(这样我们给出的这个平行向量的基本定理,根据它就可以判断两个向量是否共线了,实际上,给出的这种判断方法是一种代数的判断方法,后面在学习了坐标后我们在判断是否共线时也是根据这种方法来判断的.)2.单位向量:给定一个非零向量,与同方向且长度等于1的向量,叫做向量的单位向量.如果的单位向量记作,由数乘向量的定义可知:=或=.二.轴上向量的坐标及其运算:(对于数轴定义的回忆)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.已知轴.取单位向量,使的方向与同方向,根据向量平行的条件,对轴上任意向量,一定存在唯一实数,使=.反过来,任意给定一个实数,我们总能作一个向量=,使它的长度等于这个实数的绝对值,方向与实数的符号一致.这里的单位向量叫做轴的基向量, 叫做在上的坐标(或数量). 的绝对值等于的长,当与同方向时,是正数,当与反向时, 是负数.1.数轴上两点间的距离公式: ,2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标: 同学们要牢记基本定理,而且这样以来实数与这条轴上的向量建立起一一对应的关系,至此,我们就可以用数值来表示向量.给我们奠定了向量的数量化的基础,也是我们将来平面向量空间向量数量化的基础.那么我们由数轴上两点的距离可以用右边的点的坐标减去左边点的坐标这种方法来计算两点间的距离,所以以这两点为起终点的向量的所在线段的长度就应为下面的公式 学生通过对老师利用向量加法的讲解,能够很自然地接受向量和实数相乘的这样一种从一般的加法到乘法的变换,通过观察、比较、抽象、概括出向量的坐标表示，为以后向量平面的坐标做好准备，是向量坐标非常重要的坐标表示的引理。另一方面有助于发展学生的理性思维的能力，从简单的向量的知识开始，逐步深入，为平面向量的基本定理做好充分的准备。
应用举例 例1.已知数轴上三点的坐标分别是4,-2,-6,求:的坐标长度.过程见课本92页 学生需要锻炼的能力之一,注意回顾和正确使用定理,是平面向量坐标的基础定理。 通过设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生利用现讲的定理解题的能力。
三.教学资源建议:
可以参阅之前向量这一部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
四.教学方法与学习指导策略建议:
本节的知识是在老教科书向量的坐标的基础上为学生能够更顺利的了解向量坐标的相关知识而最新设立的。本小节的开始首先介绍向量共线（即平行）的判定定理。即向量之间有线性关系即表示两个向量共线（即平行），它也是我们今后利用向量证明相关向量结论的基础定理，更是在立体几何使用空间向量来证明时的有力辅助工具。在学习时要注意体会引入的过程，并且记牢。总之，本小节所介绍的内容仍为向量的基本知识，是我们后边学习向量相关知识的基础和保证，一定要重视对这块知识的讲解和对学生的落实。
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第五学时～第六学时
（一）学习目标
11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
14.了解平面向量的基本定理及其意义.
22.通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻研精神.
（二）重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.
（三）教学过程
教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的坐标表示.从而对平面上的任一方向的向量，都可以用相应的轴给出坐标表示，那么能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表示平面上所有向量呢 这种表示唯一吗 让学生回忆轴上向量及其坐标表示相关的概念及思想方法 从一维向二维,从已知到未知，引入新课题
新课探究 借助已经学过的平面直角坐标系.(1)分别确认x轴和y轴上的单位向量e1、e2那么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.例如横轴、纵轴上的向量坐标3分别表示3 e1、3e2(2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向量的线性组合。即：a=xe1+ye2）(3)取平面上两条互相垂直的单位向量e1、e2，那么对该平面内的任意向量a，都存在唯一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2。例如 课本103页练习A第一题证明 课本96页，97页(4)这里｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组正交基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式；（x,y）叫做a关于基底｛e1，e2｝下的坐标，即a＝（x,y）；x(y)是向量a在横(纵)轴上的正投影向量的在(横纵)轴上的坐标。显然0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1)(5)平面直角坐标系中 有序实数对（x,y）就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。(6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积。即：如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1)a∥b的充要条件是x1y2=x 2y1(需要证明)(7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向量e1、e2，那么平面中所有向量a都可以用这两个向量表示。即a=xe1+ye2.这里x、y是唯一确定的一对有序实数。｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式.例如 课本96页图2－34，证明同(3)。 师生共同探究, 对平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受.确认坐标表示向量的可行性,及其具体表示方法这里给出了课本97页的两个概念，学生知道这些名词就可以了向量的直角坐标表示及其运算性质，学生应该容易接受，甚至给出证明。一些学生可能不理解证明的必要性和合法性（不易深究）。一般学生以了解为主，重在以具体问题为载体，落实基本定理的思想方法（消点法）。 感受正交分解产生的合理性.使学生容易接受平面向量的坐标表示,使部分学生感受数学证明的严谨性和必要性.
深化理解 例11.课本100页例1。在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示。分别求它们的坐标。 所有例题，以教师为主导，关注优秀生是否能从想得通到写得通再到讲得通适当的给他们机会锻炼展示；关注一般同学是否能从想不通到想得通再到写得通给他们充分时间来思考学习教师协调全班讨论 复习巩固初中特殊角三角函数，学会用坐标表示向量，为数量积作准备
例12. 课本102页例5，含101页例2、4已知 ABCD的三个顶点A(-2,1),B(0,3),C(3,4)，求(1)向量BA的坐标、方向和长度；(2)向量BD的坐标、顶点D的坐标。总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量起点的坐标。即AB＝AO+OB＝OB－OA＝(x1－x2,y1－y2) 可以进行多种解法，以达到复习巩固向量的坐标表示，并用于向量的加减及数乘运算，使学生加深理解
例13．课本102页例6，含101页例3已知A(-2,1),B(4,4)，求线段AB的中点M和三等分点P、Q的坐标。注：OM＝OA＋AM＝OA＋0.5AB＝0.5(OA+OB)，这里的向量分解变形是重点也是难点。注：例题到此，应进行学生独立练习巩固 这里，初中学生已经接触过中点坐标公式。学生基础好，可以另用向量的方法给出证明
例21．课本104页例1已知 向量AB=(2,5),向量a=(1,y),若 向量AB∥a.求a的纵坐标y.例22．课本104页例2 直角坐标系xOy内，已知 A(-2,-3),B(0,1),C(2,5)。求证 A,B,C三点共线例31．课本97页例1已知 ABCD的两条对角线相交于点M，试用基底｛AB,AD｝表示向量MA,MB,MC,MD.例32．课本97页例2已知直线AB上任意点P及直线AB外一点O。以｛OA，OB}为基底，写出向量OP的分解式 熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势这是基本定理的例子，渗透了消元法（消点法）思想，练习量依据学生具体情况而定
课堂练习 练习1：课本103页练习A2,4,5;B1,2,3,4练习2：课本105页练习A1,2,3；B1,2练习3：课本98页练习A1,3,5;B1,3,4 对于部分习题师生可以在充分独立思考的基础上，进行小组讨论. 对应学生的差异性，同学们在合作交流中获得不同的发展
归纳小结 今天学会了：①向量的坐标表示②坐标表示的向量的加减及数乘运算③向量平行的坐标条件④平面向量的基本定理 师生共同完成 这是学生总结本课堂研究内容的练习机会，使学生反思学习进程的反馈时间
作业 作业1：课本105页习题2-2A2,3,4,5,6.作业2：课本106页习题2-2B2,3.127页9，11，19 学生自主完成 温习巩固，逐步理解
课后反馈
板书设计一 2．2．2平面向量的正交分解及其坐标表示例1 例3例2
板书设计二 2．2．3用平面向量坐标表示向量共线条件向量共线条件： 平面基本定理介绍例1 例3例2 例4归纳小结： 归纳小结：
（四）教学资源建议
教材、电子版教参中提供的教学课件、人教社网站（）
（五）教学方法与学习指导策略建议
将平面向量的基本定理的内容后置的相关考虑：
（1）平面向量的基本定理由原实验教材的“掌握”变成了新课标中的“了解”。这一基本定理是正交分解的理论基础，是向量恒等变形中“消元”的基本依据，应用这一基本定理可以更加灵活的解决一些向量问题.“了解”更适应数学基础课的要求，适应所有学生的学习要求。
（2）从教学功能上，平面向量的正交分解可以替代基本定理。正交分解可以直接证明，方法及思想与基本定理相同；同样包含了“消元”的基本思想方法（平面中任一向量都能表示成两个基底的线性组合）；正交分解同样有多种选择性。
(3)从学生的主体作用看，先有平面向量的正交分解，再有基本定理，更适合从特殊到一般的研究规律。有学生前面一维向量（轴上向量）的坐标表示，以及平面直角坐标系与数轴的相关研究过程，平面向量用两个互相垂直的单位向量表示，比两个不平行的向量表示应该更自然；基本定理作为所有学生要了解的内容，也是部分同学可以有所拓展的内容，有了之前的正交分解的研究作为基础，更容易通过类比加深理解。
（4）如果允许，可以用三课时完成这部分内容的教学。基础差的班级可以介绍平面向量基本定理，并落实巩固正交分解的方法以及向量平行条件的坐标表示；基础好的班级可以适当拓展非正交分解的思想方法
（六）备注：文中“向量AB”，符号不规范（少上面的前头线），需用正常的公式编辑器修改，为修改方便均在前面注明了“向量”或者“基底｛｝”。
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求
①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． ①如：某人在静水中游泳，速度为每小时，水流的速度为每小时，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？（实际速度的正交分解）②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．（向量的坐标表示）③如：已知，且点在的平分线上，若，则向量_________．（定比分点）④已知向量，，且A，B，C三点共线，则_________．（向量共线） ①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念 ③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第七学时～第八学时:第一方案
课题：向量数量积的定义及运算率
教学目标 1、知识与技能 ①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。
2、过程与方法 通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力
3、情感态度价值观 利用向量具有丰富的现实背景和物理背景使学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系，从中感受数学的应用价值。
教学重点 本节教学的重点是平面向量数量积的定义及性质和向量数量积的运算律
教学难点 对平面向量数量积的定义、性质、运算律的理解和应用
教学关键 利用物理背景启发学生探究向量数量积的定义，运用几何直观引导学生理解定义实质，揭示定义的几何意义
教学方法 将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。
教学环节 教学内容 师 生 互 动 设计意图 时间 反思
引言 教师介绍数学发展历程。注意情感教育， 教师引言：对问题的深入研究来源于人类对知识的永不满足，正如过去学过的实数，人们不仅认识实数的分类，还研究实数的运算，并且进一步想弄清楚运算有无规律可循，当然，幸运的是，我们有了“交换率、结合率、分配率”等等，当向量进入我们的视野时，我们与生俱来的好奇心又起作用，“向量是数吗？”“能算吗？ ” 调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性 1
复习提问 承前启后回顾已学习的向量运算 由前面的学习，我们已经知道，向量的运算要比实数的运算复杂的多，不仅有大小还要考虑方向，已经定义了向量的什么运算？这些运算的结果是什么？以加法为例说明我们是按照怎样的顺序研究这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用还可能定义什么运算？期望学生回答：向量相乘 复习向量有关运算 2
引入新课 以物理背景引入实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（1）力F所做的功W= 。 （2） 请同学们分析这个公式的特点：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，α是 。 我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；问题1：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？期望学生思考后回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。教师要让学生明白：本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化，运算结果是实数。学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，自然引进数量积的定义回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至同起点。回答问题1后定义夹角： P107 设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，概念。 4
定 义 给 出 数量积的定义定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos在此可以强调“请同学们用一句话来概括功的数学本质：显然功是力与位移的数量积”学生应用公式完成例1已知： |a|=5，|b|=4，〈a，b〉=1200，求ab 注意：①=0·=0②“·”并非实数运算中的乘号，既不能写成“”也不能省略在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题问题2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？完成下表：角的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符号不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素， “补充”通过前后呼应达到强化理解、加深认识的目的。 通过此环节为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。对角的范围做好分类讨论的准备 5
数量积的性质 探究数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1ea = ae =|a|cos〈a，e〉2ab ab = 0且ab = 0 ab3 aa = |a|2，即4cos〈a，b〉=5|ab| ≤ |a||b| 学生分组探究，两个向量的数量积的性质，教师指导探究活动，体现特殊化的思想，数形结合思想，基本运算能力培养问题3：简要叙述性质的特征和功能1单位向量的特征？2为什么ab = 0可以用于判断a、b垂直？3aa = |a|2，即的主要功能是什么？4如何求夹角？练习：P109/练习A：1（3）2（1） 培养学生自主探究，引导学生动手动脑解决问题 5
数量积的几何意义 向量在轴上的正射影定义：已知向量和轴l，作=，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量叫做向量在轴l上的正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标称作向量在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量 由此我们知道了向量的数量积的代数定义，总感到意犹未尽，有没有几何特征呢？由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义见P108/图2-50=在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数余弦定义可知：al=cosθ 5
应用 体会公式，应用练习 P108/例1：了解：向量在轴l上的正射影（向量）的坐标在轴l上的数量 2
向量数量积的运算律 向量数量积的运算律交换律ab = b a分配律（a+b）c =ac +bcλ（ab）=（λa）b= a（λb） 从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，从向量数量积的定义和几何意义出发，回答下列问题，课下分组探究运算律， 问题3：向量问题解决思路问题4：单位向量的功能 创设情境，引发思考 3
应用举例 例3、求证：①（+）2=2+.+2②（+） （-）=2_2例4、求证：菱形的两条对角线互相垂直（用向量解决几何问题） 教师引导：考虑运用向量的数量积的性质和运算律，板书例3、求证：①（+）2=2+.+2学生证明②（提示：结论可直接应用）例4（线形运算已涉及）要求学生画出图形，已知条件转化为符号语言，并在图像上找到对应哪条有向线段？ 步骤：用向量表示几何关系进行向量运算还原为几何结论 教师通过板书证明：针对学生比较陌生的内容，说明每部依据 7
随堂练习 测验1、P109/练习A：1（1）2、P109/练习B：1（2）3、P111/练习A：1 题号内容难度成绩自评总评123 6
归纳小结 要点：1、体会数学知识多来源于实际需要2、区分几种运算，数量积结果是实数，联系向量与实数3、运算律不同于实数运算，不能套用，课后思考：结合律适用吗？ 教师引导学生回顾小结向量数量积的概念、几何意义及其运算律，总结用向量解题可以分为三步：用向量表示几何关系进行向量运算还原为几何结论 帮助学生总结知识方法，便于学生系统掌握 3
布置作业 P109/练习A：1（4）2P109/练习B：1，2P111/练习A：2，3P111/练习B：1，2 学生课后独立完成分组探究（自选）：课后思考1、证明两个向量的数量积的性质？课后思考2、分组探究运算律并进行证明？ 课后思考3、结合律适用吗？ 进一步巩固本节所学知识、方法 1
教学资源建议 多媒体演示一物体在力F的作用下产生位移S几何画板反映夹角变化在实际探究活动中，可以登陆查询资料的网站有：中学教育网、K12等 教师在课堂使用多媒体教师为学生课后自主探究提供相应的理论与技术支持对知识与技能目标的达成度，可以通过纸笔测验的方式来检验运用统计方法了解学生对知识的掌握以及对学习数学的信心 为学生的发展提供平台
课题 向量数量积的坐标运算和度量公式
教学目标 1、知识与技能 掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直． （3）掌握平面内两点间的距离公式
2、过程与方法 通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．
3、情感、态度、价值观 通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神．
教学重点 向量数量积的坐标运算和度量公式向量垂直的坐标表示的充要条件．
教学难点 平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。
教学方法 设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究,使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 提问1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？ 由学生口答，教师板书向量数量积的定义及向量的运算律公式 为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础
练习2：已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.练习3：设i，j为正交单位向量，则 ① _______② ____________③ ________ ④ ____________ 学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质
引入新课及公式推导 向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？问题1如果已知 ，怎样用 、 的坐标表示 呢？ 推广1：设，则或(长度公式)推广2：设 、 则(距离公式)推广3： cos =（）(夹角公式) 学生独立进行每个公式的证明，教师个别指导 教师小结：（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即(2) 向量的长度、距离和夹角公式 在充分复习的基础上，培养学生用旧知解决新问题的能力，独立思考探索的意识
问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？ 教师小结：向量垂直的充要条件设，，则
应用举例 设 = (3, 1)， = (1, 2)，求， 教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。 巩固向量数量积的坐标运算和度量公式的基本应用
已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形 （1）教师引导，师生共同完成。(2)教师提问：该题还有其他证明方法吗？（提示可计算 、 、 ，然后用勾股定理验证） 运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学公式解决问题的能力
已知A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的值。 教师引导，师生共同完成。 应用夹角的坐标公式，揭示向量与三角的联系,训练学生的运算能力
已知 ，求与 垂直的单位向量 教师讲解，学生归纳方法
课堂练习 练习A 1（1），（2） 学生独立完成，教师指导 巩固新知
归纳小结 1、向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角. （2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。 师生共同完成 使学生养成归纳总结的习惯，主动独立思考问题的能力
布置作业 练习A 1（3）（4）,2,3练习B 1 学生独立完成 巩固新知
教学资源建议 教材、教参、多媒体、尺规
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第七学时～第八学时:第二方案
2.3.1 平面向量数量积的物理背景及定义
一、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义
2.过程与方法：
（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系
（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别
（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法
3.情感、态度与价值观：
通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点
重点：平面向量数量积的定义
难点：数量积的性质及运算率
三、教学方法：
探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入 以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角 教师提出问题，学生思考 由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系
定义形成 问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0 教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量 让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性
定义深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1、 = =||cos2、 = 03、 = ||2或4、cos =5、|| ≤ ||||问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？如何验证。结论：向量数量积满足的运算率：；； 学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案 养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯
应用举例 已知｜｜＝5，｜｜＝4，<,>=，求·练习1、 已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·练习2、判断正误，并简要说明理由（若易混淆可调整顺序）·＝；②0·＝０；③－＝；④｜·｜＝｜｜｜｜；⑤若≠，则对任一非零有·≠０；⑥·＝０，则与中至少有一个为；⑦对任意向量，，都有（·）＝（·）；⑧与是两个单位向量，则求证：（1）.;(2).；(3).例3、ABC为等腰直角三角形，且斜边AC=，求的值练习：P109 练习A（分组做） 学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律（类比多项式的运算） 让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入
课堂小结 平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项；平面向量的数量积的运算性质（注意结合率和消去率不成立）对于平面向量的几种运算进行比较总结 让学生写出基本框架，然后添加具体内容 进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力和习惯
作业 看书反思本节内容；P111 练习A---1、2、3 练习B---2 养成学生看书的习惯
2.3.2 向量数量积的坐标运算
一、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积坐标运算及应用
2.过程与方法：
（1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性；
（2）从具体应用体会向量数量积的作用
3.情感、态度与价值观：
学会对待不同问题用不同的方法分析的态度
二、教学重点、难点
重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
难点：条件和公式的应用
三、教学方法
用学过的知识带动学生探求新知识
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 平面向量基本定理及向量的坐标表示向量数量积的定义及性质、运算率 学生思考回答上节课内容 温故知新
定义形成 向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。那么这一定义如何由它的代数性反映出来？ 那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？结论：已知两个非零向量，则从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）向量的长度、距离和夹角公式（1）设，则或(长度公式)（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(距离公式)(3) cos =（）(夹角公式)向量垂直的充要条件设，，则 教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算 。从而很容易推导出三个公式和一个条件 让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣
定义深化 对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识向量在轴上的正射影：作图 定义：||cos叫做向量在所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为||；当 = 180时正射影为||挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）练习：P108 例1 学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题注意：射影是可正可负可为零的 教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象
应用举例 例1.已知=（3，-1），=（1，-2），求，||，||，<,>例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求的正弦值练习.已知=(3,4)，求：（1）的单位向量；（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量 主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观 熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解
课堂小结 1.数量积的定义、性质、运算率 2.几种特殊情况的讨论（注意事项）教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？ 主要学生总结，教师不做过多引导 让学生掌握最主要的内容；让大多数学生知道还有某些注意事项
作业 看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）P115练习B---2（1）（2）、3 练习A---1（1）（2） 习题A---2 习题B---4
注意：
1、 找向量夹角时，向量必须同起点；
2、 定义中注意垂直时数量积为0；
3、 两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”
4、 数量积不满足结合率和消去率：
在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0
已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是ab = bc a = c
在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)
5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第九学时～第十学时
2.4.1 向量在平面几何中的应用
一、教学目标
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法
3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.
难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.
三、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
四、教学内容安排：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习准备 课前复习任务（由学生总结成书面材料）（1）向量的线性运算是怎样的 （2）平面向量共线的含义及条件是什么？（3）平面向量的基本定理及向量的坐标运算有哪些？（4）平面向量的数量积中有哪些主要内容？ 讨论：（1）若O为重心,则++= （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系 让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行
新课引入 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设＝,＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为 讨论（让学生回顾学过的知识，有利于本课的顺利进行）：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．（3）向量平行、垂直的判定方法 让学生掌握用向量方法解平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．
应用举例 例1：如图2-55，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来 问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2 选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3 由学生总结解题方法 通过分步设问，引导学生展开思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法
例2：求证平行四边形对角线互相平分．小结：法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底和，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。 问题4 如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条对角线互相平分，可以证明，或。前一种方法可以建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示后即可；后一种方法就是课本提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给出证明过程 本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，点出方法，又不直接说怎么做，引导学生再去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。
例3：已知正方形ABCD（图2-57），P为对角线AC上任意一点，于点E，于点F，连接DP，EF。求证DPEF。小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。 问题5 如何证明？能否用坐标法完成？学生思考，回答 老师点评学生思路：要证明两条直线（段）互相垂直，可以证明=，也可以证明两向量数量积为0。前一种方法可以建立平面直角坐标系，点用坐标表示用斜率公式即可；后一种方法就是课本提供的方法，将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。 师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程 本题用坐标法。尤其是第二种方法用向量坐标法证明比较简单，可见选定方法是关键，学生可从中体会，形成思维习惯。
课堂练习 练习1． 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．练习2．如图，在平行四边形中，，，，求证四边形为矩形 由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积要证四边形为矩形，只需证一角为直角． 进一步巩固所学知识，归纳方法
归纳小结 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤 师生交流共同完成 帮助学生总结知识，归纳方法
布置作业 练习：A组1、2及B组1作业：习题2-4A1及习题2-4B1 学生独立完成 巩固所学方法，规范解题步骤
2.4.2 向量在物理中的应用举例
一、教学目标：
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题.
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用.
3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点：
重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题
难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题
三、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
教学内容安排：
四、教学内容安排：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习准备 复习引入，设置情景引导学生回顾用向量法解决平面几何问题的基本思维过程，为学习用向量方法解决物理以及生活中的问题奠定理论与方法的基础. 讨论：出示相关的图片资料或多媒体演示，设置问题情景两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.观察思考、探索思路引引导学生从数学的角度解释这些现象，探讨用向量知识来表示问题中的物理量，并利用向量的线性关系表示各物理量之间的关系. 设｜｜=｜｜ ①当θ逐渐增大时，|F1|的大小怎样变化，为什么？②θ为何值时，｜F1｜最小？最小值是多少？③θ为何值时，|F1|=|G|？为什么？(F= F1+ F2) 让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行
新课引入 物理中的向量：① 物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ② 力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解,运动的叠加也用到了向量的加法.③ 动量是数乘向量.④ 力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移的数量积.⑤ 用向量研究物理问题的方法:首先把物理问题转化成数学问题,即将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.⑥ 探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子. 讨论：力是向量，在不考虑作用点的情况下可利用向量运算法则进行计算。一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量。例如，“东北风30”可用图2-64中的有向线段来表示。 用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”： 1.把物理问题转化为数学问题.2.建立以向量为主题的数学模型.3.求出数学模型的有关解------理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
应用举例 例1：如图2-63所示，求两个力F1、F2的合力F的大小（精确到）和方向（精确到分）小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来 问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2 选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3 由学生总结解题方法 本题所用方法是建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题来解决。并通过两种方法对比引导学生探索，体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。
例2：河水从东向西流，流速为2，一轮船以2垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速（精确到0 .1）（图2-65） 问题3如何解？学生思考，回答 老师点评学生思路： 由学生思考轮船实际航行的速度是水流速和船速的合速度，转化为向量加法运算。 本题所用方法是建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题来解决。
课堂练 习： 练习1．某人在静水中游泳,速度为⑴如果他径直游向河对岸,水流速度为,那么他实际上沿什么方向前进 速度大小为多少 ⑵他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进 实际前进的速度大小为多少 练习2．如图,用两根分别长的绳子将100N的物体吊在水平屋顶上,平衡后G点距屋顶的距离恰好为,求A处受力的大小. 解决此类行船问题的关键在于＂水速+船速=船实际速度”,注意到速度是一个向量,既有大小,又有方向.解决此类问题要先依题意将物理向量用有向线段来表示,利用向量加法的平行四边形法则,将物理问题转化为数学中向量加法,然后由已知条件进行计算. 进一步巩固所学知识，归纳方法
归纳小结 本节主要研究了用向量知识解决物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决物理问题的步骤 师生交流共同完成用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”： 1.把物理问题转化为数学问题.2.建立以向量为主题的数学模型.3.求出数学模型的有关解------理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 帮助学生总结知识，归纳方法
布置作业 练习：123页练习A组1、2及B组1、2作业：123页练习A组3、4及B组3 学生独立完成 巩固所学方法，规范解题步骤
五、教学资源建议
（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）.
（2）引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野.
六、教学方法与学习指导策略建议
（1）重视问题的形成过程
利用多媒体教学手段和丰富的素材，通过典型问题创设教学情景，让学生动手操作、观察思考，在探究中发现和提出问题，发现平面图形的几何性质.
（2）关注解题方法产生的思维过程
引导学生探究如何将平面几何、力学等问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.
（3）强化学生的应用意识
一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会 ，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.
（4）引导学生探究解题规律
指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第十一学时～第十二学时：全章小结
（一）学习目标
1.进一步理解向量的有关概念;
2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.
3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.
4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.
（二）重点难点
1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算
2. 难点是如何向量方法解决一些问题.
（三）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
全章知识结构介绍 让学生根据表根中的各项要,回忆相关的概念 让学生从整体上对本章内容有一个宏观的了解
复习 例1.填空(向量的线性运算)1.已知平行四边形ABCD,则2. 3. 已知,则点M是A,B的_______;若点A(, 则 M的坐标为_________.4.已知,则5.已知, ,则点M的坐标为_______. 让学生自己先解决问题,让后同学进行回答,教师进行指导 说明:给出这组题的目的是,在复习向量的加减法,坐标运算和其相关的几何表示都要掌握,并且要会结合在一起使用.
例2.(向量的数量积)(1)已知,求(2)已知在中,有
,问:点在的什么位置. 说明:让学生首要注意一些数据表明的一些几何信息以及向量的代数式也可以告诉我们一些相关的几何信息,从而突出代数和几何关系.
例3.(向量基本定理)(1)给定一个基底且如果,求.(2)已知E,F分别是边AB,AC上的点,其EF//BC,AE=,如果,,用表示 会让学生在给出基底的情况下表示其它向量.
例4.(向量的应用)(1)已知中,引中线AD,BE,CF,求证: ;(2)若O为的重心,求证: .(根据此问让学生思考重心坐标公式)(3)用向量方法证明:平行四边形两条对角线长度的平方和等于平行四边形四边长度的平方和.(4)已知向量满足,求证:是等边三角形.(5)已知.求的最小值和相应的值;若与共线,求的值. 教师要对学生进行适当的提示. 这部分问题的对学生的要求较高,让学生会应用向量方法解决相关问题,而这包括用向量和坐标方法.
归纳小结 本节主要复习向量的概念和相关的运算,如何用向量来解决问题
布置作业 课本126页习题. 学生自主完成
（四）教学资源建议
教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规
（五）教学方法与学习指导策略建议
向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,掌握向量的解题技巧,方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此教师在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂,是连接数与形的纽带,教师应该突出这一点.因此,教师在讲授时,
（1）关注解题方法产生的思维过程
引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.
（2）强化学生的应用意识
一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会 ，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.
（3）引导学生探究解题规律
指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.
21世纪教育网
高考资源网
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
平面向量、实际背景
向量及其基本概念
线性运算
向量的数量积
基本定理
坐标表示
向量的应用
1．相关名词介绍
插入课本图2－38
2．坐标表示的向量
3．向量坐标运算的性质
S
F
α
C
平面向量、实际背景
向量及其基本概念
线性运算
向量的数量积
基本定理
坐标表示
向量的应用
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网