高中学业水平合格性考试模拟测试卷(五)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|lgx<1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝( )
A．(－∞，2) B．(0，1)
C．(0，2) D．(1，10)
2．复数z＝i(1＋i)的实部为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
3．某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少( )
A．2人 B．4人
C．5人 D．1人
4．小李打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是( )
A. B.
C. D.
5．已知扇形OAB的周长为12，圆心角大小为2 rad，则该扇形的面积是( )
A．2 B．3
C．6 D．9
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，则f(log49)的值为( )
A．－3 B．－
C. D．3
7．对于不同的直线l、m、n及平面α，下列命题中错误的是( )
A．若l∥m，m∥n，则l∥n
B．若l⊥α，n∥α，则l⊥n
C．若l∥α，n∥α，则l∥n
D．若l⊥m，m∥n，则l⊥n
8．为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin图象上所有的点( )
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
9．设f(x)＝3x＋3x－8用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1，2)上近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则方程的根落在区间( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)
10．设函数f(x)＝x2＋2(4－a)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－7 B．a≥7
C．a≥3 D．a≤－7
11．已知圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则圆锥的体积为( )
A．π B．π
C．2π D．3π
12．规定从甲地到乙地通话t min的电话费由f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)(元)决定，其中t>0，[t]是大于或等于t的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为________元．( )
A．4.8 B．5.2
C．5.6 D．6
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
14．已知α、β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝____________．
15．设a、b∈R*，a＋2b＝3，则＋的最小值是________．
16．某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选.1班30人，优秀率30%，2班35人，优秀率60%，三班35人，优秀率40%，则全年级优秀率为________．
17．袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是____________．
18．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
三、解答题：本大题共4小题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤．
19．已知f(x)＝sin 2x＋2sin2 x．求：
(1)f ；
(2)函数y＝f(x)的单调递增区间．
20．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁为满载状态，载客量为1 300人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为600人，记地铁载客量为p(t)．
(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－350(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？
21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝3，b＝2，cos A＝.
(1)求sin B的值；
(2)求c的值．
22．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA＝60°，∠SAD＝30°，AD＝SD＝2，BA＝BS＝4.
(1)证明：BD⊥平面SAD；
(2)求点C到平面SAB的距离．
参考答案
1．C 由集合A＝{x|lg x<1}＝{x|0
2．B 因为z＝i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，所以实部为－1，故选B.
3．A 由题意抽取比例为＝，所以30岁以上的员工应抽14×＝2(人)，故选A.
4．C 第二位有三种情况，第四位有三种情况，所以一共有3×3＝9(种)情况，所以一次输对的概率为.故选C.
5．D 设扇形OAB的半径r，弧长l，则周长2r＋l＝12，圆心角为＝2，
解得r＝3，l＝6，故扇形面积为lr＝×3×6＝9.
故选D.
6．B 因为x<0时，f(x)＝2x，所以x>0时，f(－x)＝－f(x)＝2－x，即f(x)＝－2－x，
所以f(log4 9)＝f(log2 3)＝－2－log23＝－.
故选B.
7．C 由平行公理4可得选项A正确，由线面垂直的性质可得选项B正确，由异面直线所成角的定义可得选项D正确，对于选项C，若l∥α，n∥α，则l∥n或l与n相交或l与n异面，即选项C错误，故选C.
8．C 因为y＝3sin＝3sin[(x－)＋]，所以只要把函数y＝3sin(x＋)图象上所有的点向右平行移动个单位长度，即可得到函数y＝3sin(x－)的图象．故选C.
9．B 函数f(x)＝3x＋3x－8在R单调递增，又因为f(1.25)·f(1.5)<0，
所以由零点存在性定理知，f(x)在区间(1.25，1.5)上有零点，
即3x＋3x－8＝0在区间(1，2)上的根落在区间(1.25，1.5)上．
故选B.
10．B 由题意，二次函数图象为开口向上的抛物线，可得a－4≥3即可求解．
函数f(x)的对称轴为x＝a－4，开口向上，
又因为函数在(－∞，3]上为减函数，
所以a－4≥3，即a≥7.
故选B.
11．B 因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，
所以圆锥的底面周长为2π，则圆锥的母线长为2，
故圆锥的高为＝，
所以圆锥的体积为V＝·π×12×＝π.
故选B.
12．C 由[4.5]＝5，得f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)＝1.6×(0.5×5＋1)＝5.6.
故选C.
13．解析：因为函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
即－x3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)，
即x3(a·2x－2－x)＋x3(a·2－x－2x)＝0，
即(a－1)(2x－2－x)x3＝0，
所以a＝1.
答案：1
14．解析：因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，
又sin α＝，cos(α＋β)＝－，所以cos α＝，sin(α＋β)＝，
则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
答案：
15．解析：由已知可得＋＝(a＋2b)＝≥＝1＋.
当且仅当a＝b时，等号成立．
因此＋的最小值为1＋.
答案：1＋
16．解析：某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选：
1班30人，优秀率30%，2班35人，优秀率60%，三班35人，优秀率40%，则全年级优秀率为：
＝
44%.
答案：44%
17．解析：记2个白球分别为白1，白2，3个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这5个球中任取两球，所有的取法有{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白1，黑3}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{白2，黑3}，{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，共10种．其中取出的两球颜色相同取法的有4种，所以所求概率为P＝＝.故答案为.
答案：
18．解析：由面积为2π的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为2π.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为π.
答案：π
19．解：(1)f(x)＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝2sin＋；
f ＝2sin ＋＝－1.
(2)2kπ－≤2x－≤2kπ＋，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
函数y＝f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
20．解：(1)当10≤t≤20，t∈N时，p(1)＝1 300，
当2≤t<10，t∈N时，设p(t)＝1 300－k(10－t)2，
p(2)＝1 300－k(10－2)2＝660，解得k＝10，
所以p(t)＝1 300－10(10－t)2，
所以
p(t)＝
p(6)＝1 300－10×(10－6)2＝1 300－160＝1 140(人)．
(2)当10≤t≤20，t∈N时，
Q＝－350＝
－350＝－350，
当t＝10时，Qmax＝－350＝34.
当2≤t<10，t∈N时，
Q＝－350＝－350＝－60t－＋850；
Q＝－60t－＋850＝－60＋850≤－60×2＋850＝－720＋850＝130.
当且仅当t＝时，即t＝6时，取到最大值．
答：p(t)的表达式为
p(t)＝
当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量为1 140人．
当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为130元．
21．解：(1)因为△ABC中，cos A＝>0，所以A为锐角，sin A＝＝，
根据正弦定理，得＝，所以＝，
所以sin B＝.
(2)根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以9＝4＋c2－2×2c×，
所以3c2－4c－15＝0，
解得c＝3或c＝－(舍去)，
所以c＝3.
22．(1)证明：在△ABD中，＝，由已知∠DBA＝60°，AD＝2，BA＝4，
解得sin∠ADB＝1，所以∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
可求得BD＝2.
在△SBD中，因为SD＝2，BS＝4，BD＝2，所以DB2＋SD2＝BS2，
所以SD⊥BD，
因为BD 平面SAD，SD∩AD＝D，
所以BD⊥平面SAD.
(2)由题意可知，CD∥平面SAB，则C到面SAB的距离等于D到面SAB的距离，
在△SAD中，易求SA＝6，
S△SAD＝×2×2×sin 120°＝3，
且S△SAB＝×6×＝3，BD⊥面SAD，
则VBSAD＝VDSAB，即×3×2＝×3×h，则h＝，
即点C到平面ABS的距离为h＝.高中学业水平合格性考试模拟测试卷(二)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1A．{x|x<1或x>3} B．{x|x≥3}
C．{x|x≤1或x≥3} D．{x|x≤1}
2．若a，b∈R，i是虚数单位，且2b＋(1－4a)i＝4＋5i，则a－b的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
3．函数f(x)＝的定义域是( )
A. B.
C. D.
4．函数f(x)＝sin的最小正周期是( )
A． B．π
C．2π D．4π
5．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A． B．
C．2 D．4
6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A． B．
C．2 D．3
7．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
8．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
9．把函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，再把y＝g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝sin D．y＝sin
10．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
① n⊥α；② m∥n；③ m⊥n；④ n⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．4
11．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)＝( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
12．已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
14．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．
15．f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(3)＝________．
16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，则ω＝________．
17．若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则·＝________
18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为________．
三、解答题：本大题共4小题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤．
19．如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18)内的频数为8.
(1)求样本在[15，18)内的频率；
(2)求样本容量；
(3)若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33]内的频数．
20．(2023·佛山期中试题)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角C的大小；
(2)如果c＝2，求△ABC的面积的最大值．
21．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E-ABC的体积V.
22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．
(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
参考答案
1．C UA＝{x|x≤1或x≥3}．
2．D 由2b＋(1－4a)i＝4＋5i得，解得，所以a－b＝－3.
3．D 由已知，2x－1≥0，解得x≥.
4．D f(x)的最小正周期为T＝＝4π.
5．C (2a－b)·b＝(3，x)·(－1，x)＝x2－3＝0，
所以x＝±，所以|a|＝2.
6．D 由余弦定理得cos A＝＝＝，所以b＝3.
7．B 从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为＝.
8．A f(1)＝12＋1＝2，f(－1)＝－f(1)＝－2.
9．A 把函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝g(x)＝sin的图象，再把y＝g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为y＝2sin，故选A.
10．C ①②③正确，④中n与面α可能有：n α或n∥α或相交(包括n⊥α)．
11．B f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log24＝－2.
12．C 由同角三角函数基本关系可得
解得则sin 2α＝2sin αcos α＝－，故选C.
13．解析：设正方体的棱长为a，则体积V＝a3＝64，即a＝4，
易知正方体的体对角线为外接球的直径，设外接球的半径为r，则2r＝＝4，即r＝2，
故该球的表面积S＝4πr2＝48π.
故答案为48π.
答案：48π
14．解析：基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P＝＝.
答案：
15．解析：f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2.
答案：－2
16．解析：由已知两个相邻的最高点和最低点的距离为2，由勾股定理可得＝，所以T＝4，所以ω＝.
答案：
17．解析：因为等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，所以＝－＝－，＝DE－＝－－.
所以·＝(2－2)＝×(16－12)＝1.
答案：1
18．解析：由已知得bcsin A＝×1×c×sin ＝，
所以c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cos ＝3，所以a＝.
答案：
19．解：由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本在[15，18)内的频率等于×3＝.
(2)因为样本在[15，18)内的频数为8，由(1)可知，样本容量为＝8×＝50.
(3)因为在[12，15)内的小矩形面积为0.06，故样本在[12，15)内的频率为0.06，故样本在[15，33]内的频数为50×(1－0.06)＝47.又在[15，18)内的频数为8，故在[18，33]内的频数为47－8＝39.
20．解：(1)因为＝，
由正弦定理得：＝，
即tan C＝.
又因为C∈(0，π)，
所以C＝.
(2)因为c＝2，
由余弦定理得4＝c2＝a2＋b2－ab，
而a2＋b2≥2ab，当a＝b时取等号，
所以ab≤4，
所以S＝ab≤×4＝.
21．(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，所以EF∥BC.
因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以EF∥AD.
又因为AD 平面PAD，EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)解：连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G.
则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
所以AP＝AB＝，EG＝.所以S△ABC＝AB·BC＝××2＝，
所以VE-ABC＝S△ABC·EG＝××＝.
22．解：(1)由图1可得，当0当200即图1表示的市场售价与时间的函数关系式
f(t)＝
由图2，设对应的二次函数解析式为g(t)＝a(x－150)2＋100，
又该函数过点(250，150)，所以150＝a(250－150)2＋100，解得a＝，
则g(t)＝(t－150)2＋100，0(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，
即
h(t)＝
当0当t＝50时，h(t)取得最大值100；
当200当t＝300时，h(t)取得最大值87.5.
综上，当t＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大．高中学业水平合格性考试模拟测试卷(一)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{－1，0，1，2}，N＝{x|－1≤x<2}，则M∩N＝( )
A．{0，1，2} B．{－1，0，1}
C．M D．N
2．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
3．已知＋＝1，且x>0，y>0，则x＋y的最小值是( )
A．24 B．25
C．26 D．27
4．已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，若a∥b，则实数x的值为( )
A．8 B．2
C．－2 D．－8
6．设函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为M，则( )
A．T＝π，M＝1 B．T＝2π，M＝1
C．T＝π，M＝2 D．T＝2π，M＝2
7．设i虚数单位，x是实数，若复数的虚部是2，则x＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B.
C. D.
9．由函数y＝sin x的图象，经过怎么样的变换可以得到函数y＝sin的图象( )
A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
10．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
11．已知函数f(x)＝则f(－2)＋f(1)＝( )
A．3 B．6
C．7 D．10
12．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均值为2，方差为1，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1，平均值和方差分别为( )
A．5，4 B．5，3
C．3，5 D．4，5
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．i是虚数单位，则复数＝________．
14．若sin＝，且0<θ<π，则tan θ＝________．
15．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________米．
16．已知平面向量a，b，c，满足|a|＝3，|b－a|＝，c∥b，a·c＝，则|c|的最大值为________．
17．若f(x)＝1＋(x∈R)是奇函数，则实数a＝__________________．
18．从长度分别为2，3，4，5的条线段中任取三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
三、解答题：本大题共4小题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤．
19．已知函数f(x)＝sin 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ满足f＝，求f的值．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，cos B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin C的值．
21．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)和时间t(天)的函数关系为：p＝(t∈N*)．
设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(022．已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点．求证：
(1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
参考答案
1．B M∩N＝{－1，0，1}，故选B.
2．C 函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.
3．B x＋y＝(x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25.
4．A 根据三角函数的定义，知tan α＝＝－.
5．B 因为a∥b，所以4－2x＝0，得x＝2.
6．A 由于三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的最小正周期T＝，最大值为A＋B；所以函数y＝2sin 2x－1的最小正周期T＝＝π，最大值M＝2－1＝1.
7．D 因为＝＝－i，所以－＝2 x＝－4，故选D.
8．A 随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}，共3种，故所求答案为A.
9．D 将函数y＝sin x的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin＝sin的图象．故选D.
10．D 因为两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线无交点，因此两直线平行或异面．故选D.
11．B f(－2)＋f(1)＝3＋3＝6.
12．A 一组数据x1，x2，x3…，xn的平均值为2，所以数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x1，x2，x3，…xn的方差为1，所以数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是22×1＝4，故选A.
13．解析：＝＝＝2＋i.
答案：2＋i
14．解析：因为sin＝cos θ＝，且0<θ<π，
所以sin θ＝＝
＝，
所以tan θ＝＝×＝.
答案：
15．解析：由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80，中位数是＝1.76.
答案：1.76
16．解析：因为c∥b，所以b＝λc(λ≠0)，
所以|b－a|＝|λc－a|＝，即(λc－a)2＝，
所以λ2c2－2λa·c＋a2＝，λ2c2－27λ＋9＝，
整理得：c2＝－·＋27·＝－＋27，
所以当λ＝时，c2取得最大值为27，即|c|max＝3.
答案：3
17．解析：由于函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，故f(0)＝0，解得a＝－2.
答案：－2
18．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为.
答案：
19．解：(1)因为f(x)＝sin 2x
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，
f(x)的最大值为1.
(2)因为f＝，
所以sin θ＝，
所以f＝sin
＝cos 2θ
＝1－2sin2 θ
＝1－2×＝.
20．解：(1)因为△ABC中，a＝2，c＝3，cos B＝，
所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9－2×2×3×＝10.
因为b>0，所以b＝.
(2)因为cos B＝，所以sin B＝＝，
由正弦定理＝得sin C＝＝＝.
21．解：设日销售金额为y(元)，则y＝pQ，
所以y＝
(1)当0所以当t＝10时，ymax＝900元．
(2)当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1 125元．
综合(1)，(2)得ymax＝1 125元．
因此这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天达到日销售金额最大．
22．证明：(1)连接AC交BD与O，连接EO，
因为E，O分别为PA，AC的中点，
所以EO∥PC.
因为PC 平面EBD，EO 平面EBD，
所以PC∥平面EBD.
(2)因为PD⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，
所以PD⊥BC.
因为ABCD为正方形，
所以BC⊥CD，
又因为PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD，
因为BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD.高中学业水平合格性考试模拟测试卷(四)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x∈Z|－1A．{x|0C．{1} D．{0，1}
2．设命题p： x∈Z，x2≥2x＋1，则p的否定为( )
A． x Z，x2<2x＋1 B． x∈Z，x2<2x＋1
C． x Z，x2<2x＋1 D． x∈Z，x2<2x
3．复数z＝－i虚部为( )
A． B．－
C．i D．－i
4．已知点A(0，1)，B(2，3)，向量＝(－3，1)，则向量＝( )
A．(1，－2) B．(－1，2)
C．(1，－3) D．(－1，3)
5．已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(－2，3)，则a＋b的值是( )
A．7 B．－7
C．11 D．－11
6．从观测所得的数据中取出m个x1，n个x2，p个x3组成一个样本，那么这个样本的平均数是( )
A. B.
C. D.
7．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝x－1
C．y＝(x－1)2 D．y＝ln x
8．已知△ABC中，a＝1，b＝，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
9．如图，在 ABCD中，点E是AB的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B.a＋b
C．a－b D.a－b
10．函数y＝在[－2，2]上的图象可能是( )
11．某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校高一、高三学生数之比为2∶3，则样本容量为( )
A．120 B．160
C．180 D．460
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示．则能够使得y＝2sin x变成函数f(x)的变换为( )
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．已知某学校高二年级的一班和二班分别有m人和n人(m≠n)．某次学校考试中，两班学生的平均分分别为a和b(a≠b)，则这两个班学生的数学平均分为__________．
14.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．
15．已知α是锐角，sin α＝，则cos 的值是__________．
16．设a>1，b>2，且ab＝2a＋b，则a＋b的最小值为________．
17．笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为______________．
18．已知命题p： x0∈R，x＋ax0＋a<0是假命题，则实数a的取值范围是________．(用区间表示)
三、解答题：本大题共4小题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤．
19．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PB＝BC，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E.证明：
(1)EF∥平面ABP；
(2)BD⊥AC.
20．(2023·佛山期中试题)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b－c)2＝a2－bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，sin C＝2sin B，求△ABC的面积．
21．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2 x．求：
(1)f(x)的值域；
(2)f(x)的零点的集合．
22．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
参考答案
1．D 由题意，易知集合A＝{x∈Z|－1又集合B＝{|x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
所以集合A∩B＝{0，1}．
故选D.
2．B 命题p： x∈Z，x2≥2x＋1，则p的否定为： x∈Z，x2<2x＋1.故选B.
3．B 由虚部定义可知，z＝－i虚部为－.故选B.
4．D 由点A(0，1)，B(2，3)，向量＝(－3，1)，
所以＝(2，2)，
所以＝＋＝(－1，3)．
故选D.
5．A 关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(－2，3)，
所以方程x2－ax－b＝0的根为－2和3，
由根与系数的关系知，a＝－2＋3＝1，－b＝－2×3，
解得a＝1，b＝6，
所以a＋b＝7.
故选A.
6．D 样本中共有m＋n＋p个数据，
它的平均数是，
故选D.
7．D 对于A，y＝，是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，
对于B，y＝x－1＝，是反比例函数，在区间(0，＋∞)上为减函数，不符合题意，
对于C，y＝(x－1)2，是二次函数，在区间(0，1)上为减函数，不符合题意，
对于D，y＝ln x，是对数函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意，
故选D.
8．D 由正弦定理可得＝，
所以sin B＝＝＝.
因为0所以∠B等于60°或120°.
故选D.
9．B 由题意得＝＋＝＋＝a＋b.故选B.
10．B f(x)＝＝excos x(x≠，k∈Z)，
当x趋近于0时，函数值趋近于e0cos 0＝1，故排除A；
f(2)＝e2cos 2<0，故排除C、D，
故选B.
11．D 设抽取高二的人数为x，
则高一人数为x－40，高三人数为x＋20，
依题意，得＝，
解得：x＝160，
则样本容量为：160＋160－40＋160＋20＝460.
故选D.
12．C 观察图象知A＝2，f(x)周期为T，则＝－＝，即T＝π，ω＝＝2，
又f＝2，即2·＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，而|φ|<，则k＝0，φ＝，
所以f(x)＝2sin，
把y＝2sin x图象向左平移得y＝2sin图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得f(x)．
故选C.
13．解析：这两个班学生的数学总分为ma＋nb，故这两个班学生的数学平均分为.
答案：
14．解析：由题意知，∠ACB＝120°，
所以由余弦定理得AB2＝3a2＋3a2－2a×a×cos120°＝9a2，
所以AB＝3a km.
答案：3a km
15．解析：因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
答案：
16．解析：在等式ab＝2a＋b两边同时除以ab得＋＝1，
a>1，b>2，所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当b＝a时，等号成立，
因此a＋b的最小值为3＋2.
答案：3＋2
17．解析：第一次为黑色的概率为，第二次为黑色的概率为，两次都是黑色的概率为×＝.
答案：
18．解析：因为命题p： x0∈R，x＋ax0＋a<0是假命题，
所以命题 x∈R，x2＋ax＋a≥0是真命题，
即不等式x2＋ax＋a≥0对任意x∈R恒成立，
所以只需Δ＝a2－4a≤0，
解得0≤a≤4，
即实数a的取值范围是[0，4]．
答案：[0，4]
19．证明：(1)因为DE垂直平分PC，
所以E为PC的中点，
又因为F为BC的中点，
所以EF为△BCP的中位线，
所以EF∥BP，
又因为EF 平面ABP，BP 平面ABP，
所以EF∥平面ABP.
(2)连接BE，
因为PB＝BC，E为PC的中点，
所以PC⊥BE，
因为DE垂直平分PC，
所以PC⊥DE，
又因为BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
所以PC⊥平面BDE，
又因为BD 平面BDE，
所以PC⊥BD，
因为PA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
所以PA⊥BD，
又因为PC∩PA＝P，PC，PA 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
又因为AC 平面PAC，
所以BD⊥AC.
20．解：(1)由(b－c)2＝a2－bc整理得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝，由A∈(0，π)所以A＝.
(2)因为sin C＝2sin B，
所以由正弦定理得c＝2b，①
又b2＋c2－4＝bc，②
由①②得b＝，c＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝×××＝.
21．解：(1)由题可知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，
因为－1≤sin≤1，
所以1－≤sin＋1≤1＋，
所以f(x)的值域为[1－，1＋]．
(2)令f(x)＝0，得sin＝－，
因为2x＋＝2kπ－或2x＋＝2kπ－，k∈Z，
所以x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z，
所以f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z}．
22．解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标 存在k＞0，使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立，
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，
a≤6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．高中学业水平合格性考试模拟测试卷(三)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝( )
A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}
2．已知单位向量a，b，c，满足a＋b＝c，则向量a和b的夹角为( )
A. B.
C. D.
3．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0 B．2
C．5 D．1
4．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c5．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
6．“互联网＋”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为360的样本进行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为3∶2，则大四学生应抽取的学生为( )
A．72 B．100
C．108 D．120
7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝2，则边c＝( )
A．2 B．
C． D．1
8．函数f(x)＝lg x＋x－2的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
9．一个圆柱的轴截面是一个面积为36的正方形，则该圆柱的体积是( )
A．54π B．36π
C．16π D．8π
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和，例如：8＝3＋5，在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为( )
A. B.
C. D.
11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝( )
A．－ B．－
C． D．
12．锐角α满足sin＝，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．已知x>1，则x＋的最小值是________．
14．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________．
15．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(1，2)，C(0，c)，若⊥，那么c的值是________．
16．cos2 75°＋cos2 15°＋cos 75°cos 15°＝________．
17．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是________．
18．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
三、解答题：本大题共4小题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤．
19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2asin Bcos A－bsin A＝0.
(1)求A；
(2)当sin B＋sin取得最大值时，试判断△ABC的形状．
20．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝－.求：
(1)c；
(2)cos 2B的值．
21．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是PD的中点．求证：
(1)PB∥平面EAC；
(2)平面PDC⊥平面PAD.
22．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4(尾/立方米)时，v的值为2(千克/年)；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v的值为0(千克/年)．
(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．
参考答案
1．C 借助数轴可得{x|2＜x＜3}．
2．A 因为a＋b＝c，
所以|a＋b|＝|c|，即|a＋b|2＝|c|2，
设a与b的夹角为θ，a，b，c为单位向量，
可得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos θ＝|c|2，
即cos θ＝－，
又0≤θ≤π，
故θ＝.
3．D 由(a－2)i＝b－i，
得解得
所以a2＋b2＝1.
故选D.
4．D 由a＝50.3>1>b＝log0.30.5>0>c＝log30.4，
所以c故选D.
5．D 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．
6．A 因为该校四个年级中抽取一个容量为360的样本，大一与大二学生占全校一半，
所以大三学生与大四学生的样本容量为360×＝180，
因为大三学生与大四学生之比为3∶2，
则大四学生应抽取的学生为：180×＝72.
故选A.
7．A 因为A＝105°，C＝30°，所以B＝45°，
则＝，即＝，解得c＝2.
故选A.
8．B 因为f(1)＝lg 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝lg 2＋2－2＝lg 2>0，
根据零点存在定理可得，函数f(x)在区间(1，2)内有零点；
又函数f(x)＝lg x＋x－2显然单调递增，所以f(x)有唯一零点．
故选B.
9．A 设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，该圆柱的轴截面面积为4r2＝36，解得r＝3，
因此，该圆柱的体积为V＝πr2×2r＝π×32×6＝54π.
故选A.
10．D 不超过14的质数有2，3，5，7，11，13共6个数，
在这6个数中随机选取两个不同的数，有以下15种情况：
2，3；2，5；2，7；2，11；2，13；
3，5；3，7；3，11；3，13；
5，7；5，11；5，13；
7，11；7，13；
11，13.
其和等于14的只有1种情况：3，11.
故在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为.
故选D.
11．A 利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．
因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，因为2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.又因为α为第二象限角且sin α＋cos α＝＞0，
所以2kα＋＜α＜2kα＋α(k∈Z)，所以4kα＋α＜2α＜4kα＋α(k∈Z)，
所以2α为第三象限角，所以cos 2α＝－＝－.
故选A.
12．D 锐角α满足sin＝cos α＝，
则sin α＝＝.
故选D.
13．解析：因为x>1，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x＝2时，等号成立，即x＋有最小值3.
答案：3
14．解析：令2x＋1＝3，所以x＝1，所以f(3)＝12－2×1＝－1.
答案：－1
15．解析：易知＝(2，2)，＝(－1，c－2)，由⊥，得2×(－1)＋2(c－2)＝0，解得c＝3.
答案：3
16．解析：原式＝sin2 15°＋cos2 15°＋sin 15°cos 15°＝1＋ sin 30°＝.
答案：.
17．解析：设正方体的棱长为a，则由题意可知，6a2＝24，所以a＝2.设正方体外接球的半径为R，则a＝2R，所以R＝，所以V球＝πR3＝4π.
答案：4π
18．解析：当x∈时，2x2＋x∈(0，1)，此时f(x)>0恒成立，
所以0由2x2＋x>0可得x>0或x<－，即定义域为∪(0，＋∞)，
因为函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)由f(x)＝logat和t＝2x2＋x复合而成，
0t＝2x2＋x的单调递减区间为(－∞，－)，单调递增区间为(0，＋∞)，
根据复合函数“同增异减”原则可得f(x)的单调增区间为.
故答案为.
答案：
19．解： (1)由正弦定理＝得asin B＝bsin A≠0，
又2asin Bcos A－bsin A＝0，
所以2cos A＝1，
即cos A＝，因为0所以A＝.
(2)因为A＝，所以B＝－C，
所以sin＋sin＝cos C＋sin C＋(sin C－cos C)＝2sin C，
因为0所以△ABC是直角三角形．
20．解：(1)由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即48＝36＋c2－2×6×c×，
整理得，c2＋4c－12＝0，
解得c＝2或－6(舍负)，
故c＝2.
(2)因为cos A＝－，且A∈(0，π)，
所以sin A＝＝，
由正弦定理知，＝，
即＝，
所以sin B＝，
所以cos 2B＝1－2sin2 B＝－.
21．证明： (1)连接BD交AC于O，连接EO，则EO是△PBD的中位线，所以EO∥PB.又PB 平面EAC，EO 平面EAC，所以PB∥平面EAC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD.
而PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD.
22．解：(1)设v(x)＝ax＋b，当4≤x≤20时，由题意得：20a＋b＝0,
又因为4a＋b＝2，解得a＝－，b＝，
函数v(x)的表达式为
v(x)＝.
(2)f(x)＝x·vx＝
当0≤x≤4时，f(x)max＝f(4)＝8；
当4≤x≤20时，f(x)max＝
f ＝f(10)＝.
综上所述，鱼的年生长量f(x)的最大值为.