数学：2.1《数列（1）》教案（苏教版必修5）

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第 1 课时：§2.1 数列（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；
3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.
二、过程与方法
1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；
2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
三、情感、态度与价值观
1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：
重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用
难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
【学法与教学用具】：
1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：
（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263
（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为个，那么每过分钟，个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…
（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…
（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…
（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38
（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32
（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，．．．
这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．
（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）
注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
二、研探新知
1．数列的概念
（1）数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成，，，．．．，，．．．，简记为．
（2）数列的项
数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第项，….
说明：数列的概念和记号与集合概念和记号的区别：
①数列中的项是有序的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；而集合中的项是无序的；
②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现；而集合中的元素不能重复
（3）数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
（4）数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
（5）数列是特殊的函数
从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，．．．，，．．．．（强调有序性）
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列的图象，并总结其特点.
说明：数列的图象是一些离散的点
（6）通项公式
一般地，如果数列的第项与序号之间的
关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个
数列的通项公式．
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，
如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
2.数列的表示方法
（1）通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列的通项公式为 ；
　　 的通项公式为；
　　 的通项公式为；
（2）图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（3）列表法
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）已知数列的第项为，写出这个数列的首项、第项和第项．
解：首项为；第项为；第项为．
例2 （教材例2）已知数列的通项公式，写出这个数列的前项，并作出它的图象：
（1）；（2）．
解：用列表法分别给出这两个数列的前项．
它们的图象如下图所示．
例3 （教材例3）写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（1），，，，；　　　　　　（2），，，，；
（3），，，；　（4），，，，．．．，；
（5），，，．
解：（１）．（２）．（３）．（４）．（５）．
说明：写出数列的通项公式
（1）关键是寻找与的对应关系；
（2）符号用或来调节；
（3）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；
（4）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的；
（5）对于形如，，，，．．．，的数列，其通项公式均可写成
四、巩固深化，反馈矫正
1. 写出下列数列的通项公式：
（1），，，，．．．，；（2），，，，．．．，；（3）．，，，．．．，
答案：（１）（２）（３）
2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：
（1） 1，0，1，0…；
（2），，，，
五、归纳整理，整体认识
1.数列及其有关概念，了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；
2.认识数列是反映自然规律的基本数学模型；了解数列是一种特殊的函数。
3.观察法求数列的通项公式（会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式）
4.本节学习的数学思想：归纳的思想、函数的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思想方法等。
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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