数学：2.2《等差数列（4）》教案（苏教版必修5）
文档属性
| 名称 | 数学：2.2《等差数列（4）》教案（苏教版必修5） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 102.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-19 07:53:00 | ||
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文档简介
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第 6 课时：§2.2 等差数列（4）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值；
3.掌握等差数列前项和中奇数项和与偶数项和的性质。
4.使学生会运用等差数列前项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力
二、过程与方法
经历公式应用的过程；
三、情感、态度与价值观
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
【教学重点与难点】：
重点：等差数列项和公式的应用
难点：灵活应用求和公式解决问题
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题，研探新知
1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。
2.等差数列的性质：
已知数列{}是等差数列，则
（1）对任意，，，；
（2）若，，，且，则
（3）等差数列前项和公式：或
注意：①等差数列前项和公式又可化成式子：，当，此式可看作二次项系数为，一次项系数为，常数项为零的二次式；②当时，有最小值；当时，有最大值；③图象：抛物线上的一群独立点。
（4）利用与的关系：
二、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 在等差数列中，，，求？
解法一：设该等差数列首项，公差，则，所以，．
解法二：在等差数列中，, －, －, ……, －, －, 成等差数列，
∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10＋·D＝＝10, 解得D＝－22 ∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.
拓展练习1：在等差数列中，，，则．
拓展练习2：已知数列是等差数列，是其前项和，若，，求
拓展练习3：已知等差数列前项和为，前项和为，求前项的和。（介绍依次项成等差）
例2 已知等差数列的项数为奇数，且奇数的和为，偶数项的和为，求此数列的中间项及项数。
解：设项数为，奇数项和记为奇，偶数项和记为偶，由题意，
奇 ①
偶 ②
①②得，，解得，∴ 项数为7项，又奇 ，∴ ，即中间项为．
说明：设数列是等差数列，且公差为，
（1）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶；② ；
（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②．
例3 在等差数列中，，，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？
（3）求前项和？
解：设等差数列中，公差为，由题意得：
（1）设第项开始为负，，， 所以从第项开始为负。
（2）（法一）设前项和为，则，
所以，当时，前17项和最大。
（法二），则，，所以．
（3），
∴，
当时，， 当时，，
所以，．
说明：（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；
②若已知，则最值时的值（）可如下确定或．
例4 已知数列的前项和为（1）；（2），求数列的通项公式。
例5（教材例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）
解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。
由内向外各圈的半径分别为
因此各圈的周长分别为
∵各圈半径组成首项为，公差为的等差数列，设圈数为，则
， ∴
∴各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为40的等差数列，
答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。
例6 （教材例6）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为‰．
（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？
（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？
说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。
解：（1）设每月存入元，则有‰）‰）‰）
由等差数列的求和公式，得：‰‰） 解得：（元）
（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，∴3年期教育储蓄每月至多可存入（元），这样3年后的本息和为 ‰）‰）‰）
‰‰）（元）。
答：欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入535元。3年期教育储蓄每月至多存入555元，此时3年后本息合计约20756元。
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材习题
2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.（注意讨论的一般结论）
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课的内容
六、承上启下，留下悬念
补充：1．数列是首项为23，公差为整数的AP数列，且，，
（1）求公差；（2）设前项和为，求的最大值；（3）当为正数时，求的最大值。
七、板书设计（略）
八、课后记：
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第 6 课时：§2.2 等差数列（4）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值；
3.掌握等差数列前项和中奇数项和与偶数项和的性质。
4.使学生会运用等差数列前项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力
二、过程与方法
经历公式应用的过程；
三、情感、态度与价值观
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
【教学重点与难点】：
重点：等差数列项和公式的应用
难点：灵活应用求和公式解决问题
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题，研探新知
1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。
2.等差数列的性质：
已知数列{}是等差数列，则
（1）对任意，，，；
（2）若，，，且，则
（3）等差数列前项和公式：或
注意：①等差数列前项和公式又可化成式子：，当，此式可看作二次项系数为，一次项系数为，常数项为零的二次式；②当时，有最小值；当时，有最大值；③图象：抛物线上的一群独立点。
（4）利用与的关系：
二、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 在等差数列中，，，求？
解法一：设该等差数列首项，公差，则，所以，．
解法二：在等差数列中，, －, －, ……, －, －, 成等差数列，
∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10＋·D＝＝10, 解得D＝－22 ∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.
拓展练习1：在等差数列中，，，则．
拓展练习2：已知数列是等差数列，是其前项和，若，，求
拓展练习3：已知等差数列前项和为，前项和为，求前项的和。（介绍依次项成等差）
例2 已知等差数列的项数为奇数，且奇数的和为，偶数项的和为，求此数列的中间项及项数。
解：设项数为，奇数项和记为奇，偶数项和记为偶，由题意，
奇 ①
偶 ②
①②得，，解得，∴ 项数为7项，又奇 ，∴ ，即中间项为．
说明：设数列是等差数列，且公差为，
（1）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶；② ；
（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②．
例3 在等差数列中，，，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？
（3）求前项和？
解：设等差数列中，公差为，由题意得：
（1）设第项开始为负，，， 所以从第项开始为负。
（2）（法一）设前项和为，则，
所以，当时，前17项和最大。
（法二），则，，所以．
（3），
∴，
当时，， 当时，，
所以，．
说明：（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；
②若已知，则最值时的值（）可如下确定或．
例4 已知数列的前项和为（1）；（2），求数列的通项公式。
例5（教材例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）
解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。
由内向外各圈的半径分别为
因此各圈的周长分别为
∵各圈半径组成首项为，公差为的等差数列，设圈数为，则
， ∴
∴各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为40的等差数列，
答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。
例6 （教材例6）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为‰．
（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？
（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？
说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。
解：（1）设每月存入元，则有‰）‰）‰）
由等差数列的求和公式，得：‰‰） 解得：（元）
（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，∴3年期教育储蓄每月至多可存入（元），这样3年后的本息和为 ‰）‰）‰）
‰‰）（元）。
答：欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入535元。3年期教育储蓄每月至多存入555元，此时3年后本息合计约20756元。
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材习题
2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.（注意讨论的一般结论）
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课的内容
六、承上启下，留下悬念
补充：1．数列是首项为23，公差为整数的AP数列，且，，
（1）求公差；（2）设前项和为，求的最大值；（3）当为正数时，求的最大值。
七、板书设计（略）
八、课后记：
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