数学：2.3《等比数列（3）》教案（苏教版必修5）
文档属性
| 名称 | 数学：2.3《等比数列（3）》教案（苏教版必修5） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 70.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-19 07:54:00 | ||
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文档简介
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第 9 课时：§2.3 等比数列（3）
【三维目标】：
一、知识与技能
1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前项和公式；
2.掌握等比数列的前项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题；
二、过程与方法
1.通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．
2.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力
3.经历等比数列前项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
三、情感、态度与价值观
通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．
【教学重点与难点】：
重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用．
难点：等比数列的前项和公式的推导．
突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
【学法与教学用具】：
1. 学法：由等比数列的结构特点推导出前项和公式，从而利用公式解决实际问题
2. 教学方法：采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下前两节课所学主要内容：
1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：（）
2.等比数列的通项公式: ，
3．成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：若成等比数列，则叫做与的等差中项.
6．性质：若，则
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
8．等比数列的增减性
二、研探新知
1．等比数列前n项和公式的推导：
方法一：错位相减法
一般地，设等比数列的前n项和是，
由 得∴,
当时， 或 当时，
这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法
注意：（1）和各已知三个可求第四个；
（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；
（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况．
方法二：运用等比定理
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
方法三：运用方程思想(提取公比)
＝
＝＝
（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决
一般地，设等比数列它的前n项和是
方法四：由等次幂差公式直接推得（详略）
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：由，， ，从第5项到第10项的和为-=1008
例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列，则：一天内获知此信息的人数为：
例3 （教材例1）求等比数列中，（1）已知；，，求；（2）已知；，，，求．
解：（1）；（2）．
例4在之间插入10个数，使它们同这个数成等比数列，求这10个数的和
例5（教材例2）求等比数列中，，，求；
解：若，则，与已知，矛盾，∴，从而①，
②． ②：①得： ，∴，由此可得，∴．
例6（教材例3）求数列的前项和．
解：
．
说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．
例7等比数列的各项均为正数，其前项中，数值最大的一项是54，若该数列的前项之和为，且，求：（1）通项公式；（2）前100项之和
例8设数列，若以为系数的二次方程：且）都有根、且满足，（1）求证：为等比数列；（2）求；（3）求的前项和。
四、巩固深化，反馈矫正
五、归纳整理，整体认识
1. 等比数列求和公式：当时，，当时， 或 ；
2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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第 9 课时：§2.3 等比数列（3）
【三维目标】：
一、知识与技能
1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前项和公式；
2.掌握等比数列的前项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题；
二、过程与方法
1.通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．
2.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力
3.经历等比数列前项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
三、情感、态度与价值观
通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．
【教学重点与难点】：
重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用．
难点：等比数列的前项和公式的推导．
突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
【学法与教学用具】：
1. 学法：由等比数列的结构特点推导出前项和公式，从而利用公式解决实际问题
2. 教学方法：采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下前两节课所学主要内容：
1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：（）
2.等比数列的通项公式: ，
3．成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：若成等比数列，则叫做与的等差中项.
6．性质：若，则
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
8．等比数列的增减性
二、研探新知
1．等比数列前n项和公式的推导：
方法一：错位相减法
一般地，设等比数列的前n项和是，
由 得∴,
当时， 或 当时，
这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法
注意：（1）和各已知三个可求第四个；
（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；
（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况．
方法二：运用等比定理
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
方法三：运用方程思想(提取公比)
＝
＝＝
（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决
一般地，设等比数列它的前n项和是
方法四：由等次幂差公式直接推得（详略）
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：由，， ，从第5项到第10项的和为-=1008
例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列，则：一天内获知此信息的人数为：
例3 （教材例1）求等比数列中，（1）已知；，，求；（2）已知；，，，求．
解：（1）；（2）．
例4在之间插入10个数，使它们同这个数成等比数列，求这10个数的和
例5（教材例2）求等比数列中，，，求；
解：若，则，与已知，矛盾，∴，从而①，
②． ②：①得： ，∴，由此可得，∴．
例6（教材例3）求数列的前项和．
解：
．
说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．
例7等比数列的各项均为正数，其前项中，数值最大的一项是54，若该数列的前项之和为，且，求：（1）通项公式；（2）前100项之和
例8设数列，若以为系数的二次方程：且）都有根、且满足，（1）求证：为等比数列；（2）求；（3）求的前项和。
四、巩固深化，反馈矫正
五、归纳整理，整体认识
1. 等比数列求和公式：当时，，当时， 或 ；
2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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