山东省德州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试卷（含答案）

2023-2024学年第二学期期中检测
高二数学试题
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.设是可导函数，且，则
A． B． C．1 D．3
2.记为等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为
A．1 B．2 C．3 D．4
3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为
A． B． C． D．
4.等比数列的各项均为正实数，其前n项和为，已知，，则
A． B． C．2 D．4
5.已知定义在R上的函数的导函数为，，且对任意的x满足，则不等式的解集是
A． B． C． D．
6.已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则
A． B． C． D．
7.如图，将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形ABCD的梁，设，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度最大时，的值为
A． B． C． D．
8.已知无穷数列满足：如果，那么，且，，，是与的等比中项.若的前n项和存在最大值S，则
A． B．0 C．1 D．2
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列结论正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10.已知正项数列满足，则下列结论正确的是
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则前100项中，值为1和2的项数相同
11.设函数，函数有三个零点、、，且满足，则下列结论正确的是
A．恒成立 B．实数m的取值范围是
C．函数的单调减区间 D．若，则
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知是的极小值点，则函数的极大值为 .
13.等比数列的公比为q，其前n项和记为，，则q的取值范围为 .
14.为提升同学们的科创意识，学校成立社团专门研究密码问题，社团活动室用一把密码锁，密码一周一换，密码均为的小数点后前6位数字，设定的规则为：
①周一至周日中最大的日期为x，如周一为3月28日，周日为4月3日，则取周四的3月31日的31作为x，即；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即2，，4，6，8，，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列}，即1，，3，，5，7，，9，11，13，…；
③N为数列的前x项和，如，则9项分别为1，，3，，5，7，，9，11，故，因为，所以密码为142857.
若周一为4月22日，则周一到周日的密码为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数为定义域上的单调函数，求a的值和此时在点处的切线方程.
16.（本小题满分15分）
已知公差不为零的等差数列，，和的等比中项与和的等比中项相等.
（1）若数列满足，求数列的前n项和；
（2）若数列满足，（），求数列的通项公式.
17.（本小题满分15分）
某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.
（1）求销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
18.（本小题满分17分）
已知函数和数列，函数在点处的切线的斜率记为，且已知.
（1）若数列满足：，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列满足，，是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
若函数在上有定义，且对于任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”.
（1）若，判断是否为上的“2类函数”；
（2）若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
高二数学试题参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.A 2.D 3.A 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.ACD 10.BC 11.BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.18 13. 14.428571
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.解：
（1）当时，（）
，
所以或时，；当时，；
所以的单调增区间为和，单调减区间为；
（2）由，
当时，恒成立，函数为单调增函数，
当，在两侧符号不同，函数不是单调函数，
所以
此时，，，
所以此时的切线方程为
16.解：
（1）设数列的公差为d（），
与的等比中项与与的等比中项相等，即：
所以
又知，解得：，
所以，
所以；
（2）
所以，
即.
17.解：
（1）由题意可知，销售收入为200x万元，.
当产量不足60万箱时，
.
当产量不小于60万箱时，
.
则.
（2）设
当时，.
可知在上单调递增，在上单调递减.
则.
当时，由基本不等式可知
当且仅当时，取等号.
又，所以当产量为80万箱时，所获利润最大值为1300万元
18.解：函数，由，
得，
所以，即：，
因为，则，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以
（2）由（1）知，，由，得，
即，所以，
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以，
所以.
设，
则，
所以，
两式相减，
得
，
所以.
由，得，即，
设（），则.
因为，
所以数列单调递减，所以只有唯一解，
所以存在唯一正整数，使得成立.
（注：15分以后借助与的图象说明同样得分）
19.解：
（1）对于任意不同的，，
，，，
，
所以不是上的“2类函数”.
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故对任意，都有，
所以，
令，，
令，在单调递减，
所以，，
故在单调递减，
所以，
令，，
令，在上单调递减，
，，
所以，使，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以a的取值范围为.