8.4.1平面 课件（共31张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(共31张PPT)
8.4 空间点、直线、平面
之间的位置
第八章 立体几何初步
8.4.1 平面
一
二
三
学习目标
学会平面的表示（符号语言、图像语言）
掌握平面的性质：基本事实1-3，掌握它的图形语言、文字语言及符号语言
理解推论1-3，掌握它的图形语言、文字语言及符号语言
学习目标
新课导入
问题1 前面我们认识了棱柱、棱锥、棱台等多面体，这些多面体由哪些元素构成？
顶点、棱、侧面（底面）等是构成这些多面体的基本元素，这些元素之间的相互关系，反映了这些多面体的结构特征．
实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始．
本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上,研究空间点、直线、平面之间的位置关系.
新知探究
在初中平面几何中，我们对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的，
问题2 那么平面呢,是从什么现实事物中抽象出来的,平面有怎样的特征？
无限延展
不计厚薄
绝对的平
平面的特征
光滑的课桌面、黑板面、平静的湖面等都给我们以平面形象，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的。
新知探究：平面的画法
问题2 该怎样画一个平面呢？
与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．
①水平放置的平面
②垂直放置的平面
在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍.
图形语言：
β
当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。
新知探究：平面的表示
①希腊字母等，将它们写在代表平面的平行四边形的一个角内。
如：平面α、平面β
②表示平面的平行四边形的四个顶点字母
如：平面ABCD
③表示平面的平行四边形的相对的两个顶点字母表示
如：平面AC、平面BD
下面，我们来研究平面的基本性质.
新知探究
问题3 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？
生活中经常看到用三角架支撑照相机、自行车等．
由于三个支点在同一个平面上且不共线保证了三角支架的稳定性
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
概念生成
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
存在性
唯一性
A
C
B
简记为：不共线的三点确定一个平面.
符号语言：A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
作用：确定一个平面的依据！
概念生成
点与直线、平面的位置关系
直线上有无数个点,平面内有无数个点,直线、平面都可以看成是点的集合.
A
l
B
点A在直线l上，记作
点B在直线l外，记作
点A在平面α内，记作
点P在平面α外，记作
A∈l；
B l;
A∈α；
P α。
A
P
问题4 如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？
在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上。而一个点是不可以确定的。
新知探究
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
符号语言：
作用：①判断直线是否在一个平面内
②判断点是否在平面内
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
α
A

B

l
概念生成
如图，由基本事实1，给定不共线三点，，，它们可以确定一个平面；
连接，，，由基本事实2，这三条直线都在平面内，
进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内，
所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面.
组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”.(我们该怎么说明？)
逻辑推理
数形结合
直观想象
新知讲解
B
α
问题5 如下图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
新知探究
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线，由此我们得到又一个基本事实。
概念生成
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
l
P
如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
若平面α与β相交于直线l，则把l叫做α与β的交线，记作α∩β=l .
符号语言
作用：①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
⑴先画两平面基本线
⑵画两平面的交线
⑶分别作三条线的平行线
⑷把被遮部分的线段画成虚线或不画，其他为实线。
α
β
相交平面的画法：
新知讲解
α
β
β
α
新知讲解
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
α
a
A
α
α
b
a
b
a
P
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础.
利用基本事实1和基础事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
作用：确定一个平面．
追问 如你能用基本事实证明这三个推论吗？
新知探究
推论1 经过一条直线和直线外一点， 有且只有一个平面．
a
证明：如图，设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B、C，
由基本事实1，经过A、B、C三点确定一个平面α．
由基本事实2，直线a也在平面α内，
∴平面α经过直线a和点A．
即一条直线和这条直线外一点确定一个平面．
新知探究
推论2 经过两条相交直线， 有且只有一个平面．
证明：如图，设点A、B分别是直线a、b上异于P的点，
由基本事实1，经过A、B、P三点确定一个平面α．
由基本事实2，直线a和直线b也在平面α内，
∴平面α经过直线a和直线b．即两条相交直线确定一个平面．
新知探究
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
证明：∵当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，
∴两条平行直线a和b必在某个平面α内，
就是说过两条平行直线有一个平面α.
如果过a和b还有一个平面β，那么在a上的任意一点A一定在β内，
这样过点A和直线b有两个平面α和β，这和推论1矛盾，
∴过平行直线a和b的平面只有一个．即两平行线确定一个平面．
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1) 书桌面是平面．(　　)
(2) 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．(　　)
(3) 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合．(　　)
√
×
×
变式：判断正误.
(1) 平面是处处平的面．(　　)
(2) 平面是无限延展的．(　　)
(3) 平面的形状是平行四边形．(　　)
(4) 一个平面的厚度可以是0.001 cm.(　　)
√
√
×
×
课本P128
巩固练习
课本P128
巩固练习
2. 下列命题正确的是( ).
(A) 三点确定一个平面．
(B) 一条直线和一个点确定一个平面．
(C) 圆心和圆上两点可确定一个平面．
(D) 梯形可确定一个平面．
D
3. 不共面的四点可以确定经过平面．
A
C
B
P
4个
课本P128
4. 用符号表示下列语句，并画出相应的图形.
(1) 点A在平面α内，点B在平面α外．
(2) 直线a既在平面α内，又在平面β内．
解：
α
B

A

（1）
α
β
a
（2）
巩固练习
α
例1 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
证法一：
∵l1∩l2＝A， ∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B， ∴B∈l2.
又∵l2 α， ∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3 ∴l3 α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
[思路点拨]先选取两条直线确定一个平面，然后证明第三条直线也在这个平面上．
典例解析
[线共面问题]
α
例1 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[线共面问题]
典例解析
证法二：
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
α
例1 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[线共面问题]
典例解析
∵A，B，C三点不在同一条直线上，
∴A，B，C 三点可以确定一个平面 .
∵A∈α，B∈α，A∈l2 ，B∈l2
∴l2 α ，
同理l1 α，l3 α
∴直线l1、l2、l3在同一平面内.
证法三：
已知直线a∥b，且直线l与a，b都相交，求证：直线a，b，l共面．
∵b∥c，∴b，c 确定平面α，
设a∩b＝A，a∩c＝B，
∵A∈b，b α ，∴A∈α ，
同理B∈α，
由A∈a，B∈a，即a α，
∴直线a,b,c线共面．
证明：
跟踪练习
典例解析
例3 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．
（1）求证：C，E，D1，F四点共面；
（2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点；
（3）求证：点D，A，M三点共线.
P
∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面．
（1）连接EF，D1C，A1B，
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥A1B.
∵在正方体 中A1B∥D1C，
（2）设D1F∩CE＝P，D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
证明：
∴点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，∴P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点．
[点共面问题]
[线共点问题]
[点共线问题]
∴点D，A，M三点共线．
例3 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．
（1）求证：C，E，D1，F四点共面；
（2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点；
（3）求证：点D，A，M三点共线.
P
典例解析
(3)∵D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，
∴M∈平面A1D1DA.
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
∵平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
∴M∈AD成立．
证明：
[点共面问题]
[线共点问题]
[点共线问题]
如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.
求证：P，Q，R三点在同一条直线上．
证明：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.
∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α，
∴P是平面ABC与平面α的公共点．
∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.
∴P，Q，R三点在同一条直线l上．
跟踪练习
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.
求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．
跟踪练习
1. 平面的基本性质
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2. 平面的基本性质的推论
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？