初中数学沪教版（五四学制）六年级数学下册试题 5.3.2绝对值综合应用（含解析）

5.3.2绝对值综合应用
一、单选题
1．已知（|x﹣2|+|x+1|）（|y﹣2|+|y﹣7|）＝15，则（x+y）2021的最小值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．22021
2．数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在，之间 B．在，之间
C．在，之间 D．在，之间
3．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a，b，c都是有理数，且满足，那么的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
5．若|a|＝2，|b﹣2|＝5，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值是（　　）
A．5 B．5或9 C．﹣5 D．﹣5或﹣9
6．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．﹣6
7．下列说法正确的是（ ）
①已知，，是非零有理数，若，则的值为0或；
②已知时，那么的最大值为8，最小值为；
③若且，则代数式的值为．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．下列说法正确的是（ ）
①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或－2；
②已知时，那么的最大值为8，最小值为－8；
③若且，则代数式的值为．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．当 时，代数式有最小值 b，则 的值为_____．
10．若，且，，均不为零，则的值为__________．
11．已知x为有理数，则|1－x|＋|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－10x|的最小值为__________
12．若为有理数，则的最小值为___________．
13．a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝4，求2a﹣（cd）2020+2b﹣3m的值是_________．
14．式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．
15．已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，且，求的值为___．
16．若有理数x，y满足条件：，，，则___________．
17．的最小值为_________；此时取值范围是_________．
18．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝___．
19．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．
20．若有理数x，y，z满足（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）＝36，则x+2y+3z的最小值是_____．
三、解答题
21．已知a，b，c在数轴上的位置如图．
（1）﹣2，1之间的距离为 　 　；a，﹣1之间的距离可表示为 　 　，b，c之间的距离可表示为 　 　；
（2）化简：|a+b|﹣|c﹣a|；
（3）若b+c＝1﹣a，且b与﹣1的距离和c与﹣1的距离相等，求a2+b+c的值．
22．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________，表示和2两点之间的距离是________．
（2）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________．
（3）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________；
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是　　．
（5）当________时，的值最小，最小值是________．
23．某电力检修小组乘一辆皮卡车沿南北走向的公路检修线路，约定向北为正，向南为负，当天从P地出发到收工时，行走记录如下（单位：千米）+15，－8，+5，－12，+10，－18，+20，+14，－11，+17．
（1）收工时，该检修小组在P地的哪一边，距P地有多远？说明理由；
（2）若该车每千米耗油0.08升，收工时共耗油多少升？说明理由；
（3）现油价约为7.5元/升，若耗油量与（2）相同，则该小组回到P地时，当天所需油费总共是多少元？
24．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：
+9，-3，-5，+4，-8，+6，+3，-6，-4，+7．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
25．（1）用“>”“<”或“=”填空：_____ ；______；_____；______；归纳：若a、b异号时，______，若a、b同号或至少有一个为0时，____；
26．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
27．已知满足关系式，试求的最大值和最小值．
28．问题提出：学习了|a|为数轴上表示a的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离进行了探究：
（1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 　 　；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为 　 　．
问题探究：（2）请求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．
问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L旁依次有3处防疫物资放置点A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点P，问P建在直线L上的何处时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？
答案
一、单选题
1．C
【思路指引】
根据式子确定的范围，求得的最小值，并得到的最小值，即可求解．
【详解详析】
解：∵
∴、化简结果都为常数，
当时，，
∴
当时，，
∵
∴当，时，的取值范围符合题意，
∴的最小值为，的最小值为
∴的最小值为
∴
故选C
2．B
【思路指引】
根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
【详解详析】
解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC
∵，
∴MD=BD，
又∵-5＜d＜-1＜3
∴M点介于O、C之间，
故选：B．
3．C
【思路指引】
根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可．
【详解详析】
解：∵，，且，
∴，，，
∴，
∴．
故选：C．
4．D
【思路指引】
此题首先能够根据已知条件和绝对值的意义，得到a，b，c的符号关系，再进一步求解．
【详解详析】
解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或 1．
又，则其中必有两个1和一个 1，即a，b，c中两正一负．
则，
则＝6 （ 1）＝7．
故选：D．
5．D
【思路指引】
根据|a|＝2，|b﹣2|＝5，得出a和b的值，再由|a+b|＝a+b确定a+b的符号，即可得出答案．
【详解详析】
解：∵|a|＝2，
∴a＝﹣2或2，
∵|b﹣2|＝5，
∴b﹣2＝﹣5或5，
∴b＝﹣3或7，
又∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0，
∴当a＝﹣2时，b＝7，此时a﹣b＝﹣2﹣7＝﹣9，
当a＝2时，b＝7，此时a﹣b＝2﹣7＝﹣5，
∴a﹣b＝﹣9或﹣5，
故选：D．
6．A
【思路指引】
利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c＝0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可．
【详解详析】
解：∵abc＞0，a+b+c＝0，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数，
∵＝，
∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m＝﹣1﹣2+3＝0；
当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，即m＝1﹣2﹣3＝﹣4，
∴x+y＝0+（﹣4）＝﹣4．
故选：A．
7．D
【思路指引】
利用绝对值的意义对每个说法逐一判断即可得出结论．
【详解详析】
解：①∵a，b，c是非零有理数，若，
∴a，b，c中有两个负数一个正数，
∴a，b有可能同为负数或一个正数一个负数，
当a，b同为负数时，
；
当a，b一个正数一个负数时，设a＜0，b＞0，
∴，
综上，的值为0或2．故①正确；
②∵x≤5，
∴|x-5|=5-x．
当-3≤x≤5时，
∴|x+3|-|x-5|=（x+3）-（5-x）=2x-2，
∴当x=5时，原式有最大值2×5-2=8，
当x=-3时，原式有最小值2×（-3）-2=-8；
当x＜-3时，
|x+3|-|x-5|=-x-3-（5-x）=-x-3+x-5=-8．
综上，当x≤5时，那么|x+3|-|x-5|的最大值为8，最小值为-8，∴②正确；
③∵|a|=|b|且|a b|=，
∴a，b互为相反数，
∴a+b=0，a=-b．
∴-ab=b2．
∴|-2b|=，
∴|b|=，
∴b2=．
∴．∴③正确．
综上，正确的说法有：①②③．
故选：D．
8．D
【思路指引】
根据绝对值的意义进行化简和计算求值即可判断．
【详解详析】
解：∵，
∴a，b，c中两负一正，当a，b都为负数时，；当a，b一正一负时，；故①正确；
时，那么，此时，最大值为8，最小值为-8；时，那么；故②正确；
∵且，
∴或；
，或；
故③正确；
故选：D
二、填空题
9．
【思路指引】
利用绝对值的性质去掉绝对值符号，找到当时，有最小值为10，即可求解．
【详解详析】
当时，
，
此时，没有最小值；
当时，
，
此时，当时，有最小值为10，
∴，，
∴．
故答案为：．
10．
【思路指引】
由题意易得，，的值可能是两负一正或两正一负，然后进行分类求解即可．
【详解详析】
解：∵，且，，均不为零，
∴，，的值可能是两负一正或两正一负，
①当，，时，其他两负一正的情况都是一样的，故这里只说明一种，则有：
，
②当，，时，则有：
，
综上所述：的值为；
故答案为．
11．
【思路指引】
取不同范围内，去绝对值符号，得到不同的式子，可列出所有范围，再求其最小值．
【详解详析】
解：（1）当时，原式，
（2）当时，原式，
最小值为；
（3）当时，原式，
最小值为；
（4）当时，原式，
最小值为；
（5）当时，原式，
最小值为；
（6）当时，原式，
最小值为；
根据趋势，时，该区域内的最小值会逐渐增加，
最小值为，
故答案是：．
12．1
【思路指引】
根据绝对值的意义分三种情况进行讨论，列方程解方程可得结论．
【详解详析】
解：令x-3=0，得x=3；
令x-2=0，得x=2
当x<2时，，
当x>3时，，
当2≤x≤3时，；
故答案为：1．
13．﹣13或11或-13
【思路指引】
首先依据相反数、倒数、绝对值的性质得到a+b＝0，cd＝1，m＝±4，然后代入计算即可．
【详解详析】
解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝4，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4．
∴当a+b＝0，cd＝1，m＝4时，
2a﹣（cd）2020+2b﹣3m＝2(a+b)﹣（cd）2020﹣3m
＝2×0﹣12020﹣3×4
＝0﹣1﹣12
＝﹣13，
当a+b＝0，cd＝1，m＝﹣4时，
2a﹣（cd）2020+2b﹣3m＝2(a+b)﹣（cd）2020﹣3m
＝2×0﹣12020﹣3×（﹣4）
＝0﹣1＋12
＝11，
故答案为：﹣13或11．
14．7
【思路指引】
|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数﹣4的距离之和，因此当x在3与﹣4之间时，这个距离之和最小，最小值为3与﹣4之间的距离7．
【详解详析】
解：|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3的点与表示数﹣4的点的距离之和，
因此当﹣4≤x≤3时，这两个距离之和就是表示数3的点与表示数﹣4的点之间的距离，为7，即：|x﹣3|+|x+4|＝7，
当x＜﹣4或x＞3时，这两个距离之和都会大于表示数3的点与表示数﹣4的点的距离，即：|x﹣3|+|x+4|＞7，
∴当﹣4≤x≤3时，|x﹣3|+|x+4|有最小值，最小值是7．
故答案为：7．
15．7
【思路指引】
根据条件，表示方法，确定表示方法中的哪两个数是表示同一个数，后代入化简计算即可．
【详解详析】
∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，
∴a+b=0或b=0，
若b=0，则就没有意义，
故b=0不成立，
∴a+b=0；
若=1，则a=b，这与已知三个互不相等的有理数矛盾，
∴=1不成立，
故a=1，
∴=b即，
∴b= -1或b=1，与a相等，舍去，
∴a+b=0，a=1，b= -1，
∵，
∴，
∴
=0-1-1+9
=7，
故答案为：7．
16．4或0或4
【思路指引】
根据绝对值的性质求出x，y，再计算代数式的值即可；
【详解详析】
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴当时，，
当，时，原式；
当，时，原式；
故答案是：4或0．
17．6
【思路指引】
根据x的不同取值去绝对值计算即可；
【详解详析】
当时，，
∵，
∴；
当时，；
当时，，
∵，
∴；
综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．
故答案是：6；．
18．-4
【思路指引】
利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c=0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可．
【详解详析】
解：∵abc＞0，a+b+c=0，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数，
∵，
∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m=-1-2+3=0；
当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，即m=1-2-3=-4，
∴x+y=0+（-4）=-4．
故答案为：-4．
19．
【思路指引】
根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案．
【详解详析】
解：∴，
∴，，
∴的最小值为，
故答案为：．
20．﹣8
【思路指引】
根据绝对值的性质分别得出|x+1|+|x﹣2|，|y﹣1|+|y﹣3|，|z﹣3|+|z+3|的取值范围，进而得出x，y，z的取值范围进而得出答案．
【详解详析】
解：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1＞3，
当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1﹣（x﹣2）＝3，
当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝2x﹣1＞3，
所以可知|x+1|+|x﹣2|≥3，
同理可得：
|y﹣1|+|y﹣3|≥2，
|z﹣3|+|z+3|≥6，
所以（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）≥3×2×6＝36，
所以|x+1|+|x﹣2|＝3，
|y﹣1|+|y﹣3|＝2，
|z﹣3|+|z+3|＝6，
所以﹣1≤x≤2，
1≤y≤3，
﹣3≤z≤3，
∴x+2y+3z的最大值为：2+2×3+3×3＝17，
x+2y+3z的最小值为：﹣1+2×1+3×（﹣3）＝﹣8．
故答案为：﹣8．
三、解答题
21．
解：（1）由数轴的定义得：在数轴上表示-2的点与表示1的点之间的距离为1-（-2）=3；
∵a>0
∴a，﹣1之间的距离可表示为：a-（-1）=a+1，
∵b>c
∴b，c之间的距离可表示为b-c；
故答案为：3；a+1；b-c；
（2）由a，b，c在数轴上的位置可知：c＜0＜b＜a，|a|＞|b|，则：
（3）当c<﹣1时，由已知得：b-（-1）=-1-c，即b+c=-2，
∵b+c＝1﹣a，即-2＝1﹣a，
∴a=3，
∴a2+b+c=9-2=7
当c>﹣1时，b-（-1）=c-（-1），则b=c，不符合题意，故舍去．
综上所述，a2+b+c=7．
22．
解：（1）由数轴上两点之间的距离公式可知：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；
表示和2两点之间的距离是；
故答案为：3，5；
（2）若表示数和的两点之间的距离是3，则，解得或，
故答案为：2或；
（3）∵，
∴；
故答案为：6；
（4）当时，，
当时，，
当时，，
∴使得的所有整数为：，，0，1，2，3，4，5，
∵，
故答案为：12；
（5）当时，，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，
由上可得，当时，的值最小，最小值是7，
故答案为：1，7．
23．
解：
（1）因为15－8+5－12+10－18+20+14－11+17＝32 （千米）
所以收工时，检修小组在P地的北边，距P地32千米
（2）因为15+8+5+12+10+18+20+14+11+17＝130（千米）
所以130×0.08＝10.4
所以收工时共耗油10.4升
（3）因为该小组回到P地时皮卡车共行驶了130+32＝162（千米）
所以当天所需油费＝162×0.08×7.5＝97.2（元）
24．
解：（1）根据题意有：向东走为正，向西走为负；
则将最后一名乘客送到目的地有（千米）．
故出租车出租车离鼓楼出发点3千米远，在鼓楼的东方；
（2）司机一个下午共走了（km）,
若每千米的价格为 元，有 （元 ）．
故司机一个下午的营业额是元 ．
25．
解：（1）
所以：＞，
所以=，
所以=，
所以=，
归纳：若a、b异号时，＞，
若a、b同号或至少有一个为0时，=；
26．
解：（1），
，
∴守门员回到了原来的位置；
（2）第一次离开球门的位置5米，第二次是5+（-3）=2米，第三次是2+10=12米，第4此是12+（-8）=4米，第5次是米，第6次是米，第7次是10+（-10）=0米，
∴离开球门的位置最远是12米；
（3）由题意得：总路程＝|5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝54米．
27．
解：由题意得：|x+3|+|5 x|+|y 2|+|y+4|=14，
当x5，y2时，
去绝对值符号得：x+3+x-5+y 2+y+4=14，即2x+2y=14，
∴x+y=7；
当-2去绝对值符号得：x+3+5-x+2-y+y+4=14，
此时x+y<7；
当x-3，y-4时，
去绝对值符号得：-x-3-x+5-y+2-y-4=14，即-2x-2y=14，
∴x+y=-7；
综上，x+y的最大值为7，x+y的最小值为-7．
28．
解：（1）数轴上表示5和1的两点距离为4，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为；
故答案为：4，；
（2）∵|x﹣3|表示x的点到3的点的距离，|x﹣5|表示x的点到5的点的距离，
到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离，
∴|x﹣3|+|x﹣5|的最小值为，
（3）∵到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离，
∴当配发点P在点B时，到三处放置点路程之和最短；
即：最小距离和=AB+BC= 800米+1200米=2000米．