初中数学沪教版（五四学制）六年级数学下册试题 6.9二元一次方程组及其解法（含解析）

6.9二元一次方程组及其解法
一、单选题
1．已知方程组 的解x、y互为相反数，则m的值为（ ）.
A．-1 B．0 C．5 D．-5
2．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y<2，则a的取值范围为(　　)
A．a<4 B．a>4 C．a<－4 D．a>－4
3．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为( )
A．﹣1 B．1 C．2 D．0
4．已知方程组和有相同的解，则a，b的值分别为(　　)
A．1，2 B．14，2
C．－6，2 D．－4，－6
5．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元．设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，下面列出的方程组正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．已知关于x、y的方程组的解都为正数，且满足a+b＝4，b＞0，z＝a﹣3b，则z的取值范围是（　　）
A．﹣8＜z＜4 B．﹣7＜z＜8 C．﹣7＜z＜4 D．﹣8＜z＜8
7．从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，和，是二元一次方程的两个解，则一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．已知是二元一次方程组的解，则m+n的值为（　　）
A． B．5 C． D．
10．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解,那么的值是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
二、填空题
11．方程的正整数解是________．
12．已知，则________．
13．已知关于x的方程＝1+中，a、b、k为常数，若无论k为何值，方程的解总是x＝1，则a+b的值为 ___．
14．方程组有正整数解，则正整数a的值为________．
15．已知方程组和有相同的解，则ab＝_____．
16．写一个以为解的二元一次方程组是_____．
17．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：
累计工作时长最多件数（时） 种类（件） 1 2 3 4 5 6 7 8
甲类件 30 55 80 100 115 125 135 145
乙类件 10 20 30 40 50 60 70 80
（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为_____元；
（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为_____元．
18．把方程组中，若未知数满足，则的取值范围是_________．
19．已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
20．已知x、y满足方程组，则的值为__________．
三、解答题
21．下面4组数值中，哪一组是二元一次方程组的解？
（1） （2） （3） （4）
22．用代入消元法解下列方程组：
（1） （2） （3） （4）
23．解方程组：
（1）； （2）．
24．解下列方程组：
（1）； （2）．
25．解下列方程组：
（1）； （2）．
26．某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有30人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出两辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆450元，60座客车租金为每辆650元，问：
（1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）请你设计一种租车方案，要求每位游客都有座位，费用又合算？
27．已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）当方程组的解为时，求a的值．
（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．
（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．
28．解方程组
（1） （2）
29．在解方程组时，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为x＝2，y＝1．
（1）求a、b的值；
（2）求方程组的正确解．
30．表一
x 3 a 9
y 0 2 b
表二
x 9 1 c
y 4 36 12
（1）关于x，y二元一次方程2x﹣3y＝6和mx＋ny＝40的三组解分别如表一、表二所示，则：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　．
（2）关于x，y二元一次方程组的解是　 　．
答案
一、单选题
1．D
【详解详析】
分析：由已知得x+y=0，方程组中两方程和等于x+y=5m+25,从而求出m的值．
详解：
①+②，得：x+y=5m+25,
又x+y=0，
∴5m+25=0
∴m=-5
故选D.
2．A
【思路指引】
将方程组中两方程相加，表示出x+y，代入x+y＜2中，即可求出a的范围．
【详解详析】
解：
①+②得：4x+4y=a+4，即x+y=，
∵x+y=＜2，
∴a＜4．
故选A．
3．B
【思路指引】
把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．
【详解详析】
把代入方程组，
得：，
①+②，得：7（a+b）=7，
则a+b=1．
故选B．
4．B
【思路指引】
因为方程组和有相同的解，所以把5x+y=3和x-2y=5联立解之求出x、y，再代入其他两个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解．
【详解详析】
解：∵方程组和有相同的解，
∴方程组的解也是它们的解，
解得：，
代入其他两个方程得，
解得：，
故选B．
5．B
【思路指引】
设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题目中的等量关系：①荷包的个数+五彩绳的个数＝20；②买荷包的钱数+买五彩绳的钱数＝72，列出方程组即可．
【详解详析】
设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，
得方程组．
故选B．
6．A
【思路指引】
先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可得到a的范围；根据题意得出b＝4﹣a＞0，即可得到1＜a＜4，代入z＝a﹣3b得到z＝4a﹣12，根据a的取值可得结论．
【详解详析】
解：解这个方程组的解为： ，
由题意，得 ，
则原不等式组的解集为a＞1；
∵a+b＝4，b＞0，
∴b＝4﹣a＞0，
∵a＞1，
∴1＜a＜4，
∵a﹣3b＝a﹣3（4﹣a）＝4a﹣12，z＝a﹣3b，
故﹣8＜z＜4．
故选：A．
7．C
【思路指引】
根据，去时上坡，回时下坡，分别列方程构成方程组即可．
【详解详析】
∵从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，
∴，
返回时，列方程为，
联立方程组为，
故选C．
8．D
【思路指引】
由已知方程的解，可以把这对数值代入方程，得到两个含有未知数a，b的二元一次方程，联立方程组求解，从而可以求出a，b的值，进一步得出解析式即可．
【详解详析】
解：∵，和，是二元一次方程的两个解，
∴，
解得：．
∴一次函数的解析式为，
故选：D．
9．B
【思路指引】
根据方程组解的定义，方程组的解适合方程组中的每个方程，转化为关于m、n的方程组即可解决问题．
【详解详析】
解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得，
∴m+n=5．
故选：B．
10．C
【思路指引】
先求出的解，然后代入可求出a的值．
【详解详析】
解：，
由①+②，可得2x＝4a，
∴x＝2a，
将x＝2a代入①，得
2a-y=a，
∴y＝2a﹣a＝a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将代入方程3x﹣5y﹣7＝0，可得6a﹣5a﹣7＝0，
∴a＝7，
故选C．
二、填空题
11．
【思路指引】
由，可得出，，又由 均为正整数，分析即可得到正确答案．
【详解详析】
解：∵，
∴
∴
∴，
同理可得：
又∵ 均为正整数
∴满足条件的解有且只有一组，即
故答案为：
12．-10
【思路指引】
根据题目已知条件可得：，，，把变形为代值即可得出答案．
【详解详析】
，
，即，
，
故答案为：-10．
13．
【思路指引】
将代入方程，然后令的系数为0，得到关于的二元一次方程组，求解即可．
【详解详析】
解：将代入方程＝1+得
由题意可得：，解得
则
故答案为：
14．2
【思路指引】
先消去 求解再由为正整数，分类求解 结合为正整数求解 再检验此时的是否满足也为正整数，从而可得答案.
【详解详析】
解：
②得：
①-③得：
当时，方程无解，
当时，方程的解为：
为正整数，
或或或
解得：或或或
为正整数，
当为正整数，由②得：也为正整数，
所以
故答案为：2
15．-1
【思路指引】
根据方程组和有相同的解，所以把和组成方程组求出 x、y 的值，再把 x、y 的值代入其他两个方程 和即可求出a 、 b 的值，即可得答案．
【详解详析】
解：∵方程组和有相同的解，
∴方程组的解也是它们的解，
①× 2+②，得：2x+x= 4-7，
解得：x=-1，
把x = -1代入①，得：-1+y=2，
解得：y=3，
把x =-1， y=3代入得：-a+3= 4
解得：a= -1，
把x =-1， y=3代入得：-1+3b=8，
解得：b=3，
∴ab=（-1）3=-1，
故答案为：-1．
16． （答案不唯一）．
【思路指引】
根据题意得出关于x、y的二元一次方程组即可．
【详解详析】
解：∵ ，
∴x+y＝4，x﹣y＝2，
∴符合条件的二元一次方程组可以为 ．
故答案为（答案不唯一）．
17．160 180
【思路指引】
（1）根据表格数据得出答案即可；
（2）根据x+y＝8，x，y均为正整数，把所有收入可能都计算出，即可得出最大收入．
【详解详析】
解：(1)由统计表可知:如果该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是
1×145=145(元)
如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是
2 × 80= 160 (元)
∴他一天的最大收入是160元;
(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y= 8
①当x=1时，则y=7
∴该快递员一天的收入是1 ×30+2×70=30+ 140= 170 (元)；
②当x=2时，则y=6
∴该快递员-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；
③当x=3时，则y=5
∴该快递员一天的收入是1× 80+2×50= 80+ 100= 180 (元)；
④当x=4时，则y=4
∴该快递员一天的收入是1×100+2×40= 100+80 = 180 (元)；
⑤当x=5时，则y=3
∴该快递员一天的收入是1×115+2×30=115十60 = 175 (元)；
⑥当x=6时，则y=2
∴该快递员一天的收入是1 × 125+ 2× 20= 125+40 = 165 (元)；
⑦当x=7时，则y=1
∴该快递员一天的收入是1×135+2×10=135+20= 155 (元)
综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.
故填： 160；180.
18．
【思路指引】
先将方程组中的两个方程相加化简得出的值，再根据可得关于m的一元一次不等式，然后解不等式即可得．
【详解详析】
，
由①②得：，
即，
，
，
解得，
故答案为：．
19．．
【思路指引】
根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【详解详析】
解：
①-②，得
∵
∴，
解得，
故答案为：．
20．1
【思路指引】
利用整体思想直接用方程①-②即可得结果．
【详解详析】
解：，
①-②得，4x+4y=4，
x+y=1，
故答案为：1．
三、解答题
21．
解：
把代入①中，得到，方程左右两边相等，
把代入②中，方程左边，方程左右两边不相等，
故不是原方程的解，故（1）不符合题意；
把代入①中，得到，方程左右两边相等，
把代入②中，方程左边，方程左右两边相等，
故是原方程的解，故（2）不符合题意；
把代入①中，得到，方程左右两边不相等，
把代入②中，方程左边，方程左右两边不相等，
故不是原方程的解，故（3）不符合题意；
把代入①中，得到，方程左右两边不相等，
把代入②中，方程左边，方程左右两边相等，
故不是原方程的解，故（4）不符合题意；
∴第（2）组是原方程组的解．
22．
解：（1），
把②代入①得：
，
解得：x=-1，
把x=-1代入②得：
y=-1，
则原方程组的解为：；
（2），
由①得：y=5-x③
把③代入②中得：
2x+5-x=8,
解得：x=3，
把x=3代入③中得：
y=5-3=2，
则原方程组的解为：；
（3），
由②得：x=4+2y③，
将③代入①得：
4×（4+2y）+3y=5,
解得：y=-1,
将y=-1代入③中得：
x=4+2×（-1）=2，
则原方程组的解为：；
（4），
由①得：m=+2③，
将③代入②得：
2×（+2）+3n=12，
解得：n=2，
将n=2代入③中得：
m=+2=3，
则原方程组的解为：．
23．
解：（1），
把②代入①中得：，解得，
把代入②中得，，
∴方程组的解集为；
（2）
整理得：，
用①-②得：，解得，
把③代入①得：，解得，
用③+④得：，解得，
把代入③得，
∴方程组的解为．
24．
解：（1），
把①代入②中，得到，
解得：，
把代入①中，得：，
∴方程组的解集为；
（2），
得：，
解得：，
把代入②中，得：，
∴方程组的解为．
25．
解：（1）
①×3得 ，
②+③得 5x=15，
解得x=3，
把x=3代入①得 3+y=3，
解得y=0，
∴二元一次方程组的解是；
（2）
①×2得 10x-12y=18③，
②×3得 21x-12y=-15④，
④-③得 11x=-33，
解得 x=-3，
把x=-3代入①得 -15-6y=9，
解得y=-4，
∴二元一次方程组的解是．
26．
解：解：（1）设这批游客的人数是x人，原计划租用45座客车y辆．
根据题意，得 45y+30=x
60（y-2）=x
解这个方程组，得 x=480
y=10 ．
答：这批游客的人数480人，原计划租45座客车10辆；
（2）设租辆45座，辆60座，则
整理得：
当时，
则全部租45座客车：480÷45≈11（辆），
所以需租11辆，租金为450×11=4950（元），
当时，则全部租60座客车：8（辆），
所以需租8辆，租金为650×8=5200（元），
a=4
当 b=5 时，则租车费用为：4×450+5×650=5050（元），
当时，则租车费用为：8×450+2×650=4900（元），
所以租45座的客车8辆，租2辆60座的客车，租车费用最低.
27．
（1）将代入中得：；
（2）当a＝﹣2时，方程组为，
得：，解得：，
∴，
∴方程组的解为；
（3）小冉提出的解法不对，
∵不是方程的解，
∴不是该方程组的解，则不一定是方程x+2y＝a的解，因此不能代入求解；
28．
解：（1）
①-②得：
解得：
把代入②得：
所以方程组的解为：；
（2）
由②得：③
①-③得：
解得：④
把④代入①得：⑤
④+⑤得：
把代入④得：
所以方程组的解为： x=3
y=-5
29．
解：（1）将代入②得，解得：
将x＝2，y＝1代入①得，解得： ，
∴，；
（2）方程组为：，
①+②得： ，
，
解得： ，
将代入①得： ，
，
解得： ，
∴方程组的解为 ．
30．
解：（1）将x＝a，y＝2代入2x﹣3y＝6，
∴2a﹣6＝6，
∴a＝6，
将x＝9，y＝b代入2x﹣3y＝6，
∴18﹣3b＝6，
∴b＝4，
将x＝9，y＝4，x＝1，y＝36代入mx+ny＝40，
∴ 9m+4n=40①
m+36n=40② ，
①×9，得81m+36n＝360③，
③﹣②，得80m＝320，
∴m＝4，
将m＝4代入①得，n＝1，
∴4x+y＝40，
将x＝c，y＝12代入4x+y＝40，
∴4c+12＝40，
∴c＝7，
故答案为：6，4，7；
（2）由（1）可得 4x+y=40① ，
2x-3y=6②
①×3，得12x+3y＝120③，
②+③，得14x＝126，
解得x＝9，
将x＝9代入①，得y＝4，
∴方程组的解为，
故答案为：．