2023-2024学年广东省佛山市容山中学高一（下）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市容山中学高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是( )
A. B. C. D.
5.顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知是两个单位向量，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像若函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示下列结果等于黄金分割率的值的是( )
A. B.
C. D.
10.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则( )
A. 与能构成一组基底
B.
C. 在向量上的投影向量为
D. 若在线段包括端点上，且，则取值范围
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知向量满足，且，则 ______．
14.已知函数的对称中心是，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足且的夹角为．
若，求实数的值；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
设、是两个不共线的非零向量
记，那么当实数为何值时，、、三点共线？
若，且与夹角为，那么实数为何值时的值最小？
17.本小题分
若，，求，；
已知，，且，为锐角，求的大小．
18.本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求的值和求取得最大值时的取值集合：
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，正方形的边长为，点，，，分别在边，，，上，，，与交于点，，记．
记四边形的面积为的函数，周长为的函数，
证明：；
求的最大值；
求四边形面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，又，，
．
故选：．
由求出，再由，利用两角差的余弦公式计算即可．
本题考查两角和差公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量，，
则，，
，故与不平行，故A错误；
，故与不平行，故B错误；
，故C错误；
，
则，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的解析式为：，
于是有，
解得，
针对四个选项中的四个角都是正角且小于，
所以令，得，
故选：．
根据正弦型函数图象平移的性质进行求解判断即可．
本题考查三角函数性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设，
开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
，，
时，，，即，解得．
摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，
该摩天轮最低点距离地面高度为，
，解得，．
．
故选：．
设函数，根据实际意义即可确定解析式．
本题考查三角函数的性质，三角函数的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：是两个单位向量，
则，
，
则，即，解得，
与的夹角范围为，
则与的夹角为．
故选：．
对两边同时平方，再结合向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数的图像先向右平移个单位长度，得到的图像，
再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图像．
令，整理得，，
由于函数在上单调递增，故，，
解得，，所以，．
故选：．
确定解析式，再根据正弦函数的单调性确定的取值范围．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，因为，且，所以垂直且平分，
则为等腰三角形，又，所以为等边三角形，
则四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，
只需考虑点在边，上的运动情况即可，
因为，，知，即，
则，
当点在边上运动时，设，则，
则，
当时，最小值为；
当点在边上运动时，
设，则，
则，
当时，的最小值为；
综上，的最小值为；
故选：．
由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点在边，上的运动情况即可，然后分类讨论，求出最小值．
本题考查向量数量积的最值的求解，向量的线性运算，化归转化思想，函数思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，故D错误．
故选：．
利用三角恒等变换，即可化简，即可求解．
本题考查三角恒等变换及化简求值，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数为：
，该图象关于原点对称，，
，
解得：，又，
当时，，
当时，．
故选：．
先将平移后的解析式表示出来，然后根据，确定．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：连接，因为，
因为，现，
故．
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，，
故，
故，
所以与平行，不能构成一组基底，A错误；
，，，
故，B正确；
又，所以，
即在向量上的投影向量为，C正确；
若在线段包括端点上，设，所以
，
由，可得，则，，
所以，D正确．
故选：．
A.可根据图形得出，然后以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，然后得出的坐标，根据坐标即可判断与是否共线，从而判断的正误；
B.可求出向量和的坐标，根据坐标即可判断的正误；
C.根据投影向量的计算公式即可判断的正误；
D.根据在线段包括端点上，设，然后即可求出的取值范围．
本题考查了通过建立平面直角坐标系解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，平行向量的坐标关系，基底的定义，投影向量的定义及计算公式，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，解得或舍去．
故答案为：．
利用余弦函数的二倍角公式即可得解；
本题主要考查余弦函数的二倍角公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
即，所以，
所以，
又，所以，
故答案为：．
由可得，再把所求向量的模转化为数量积求解即可．
本题考查平面向量数量积的基本运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，其中，
由的对称中心是知，两个相邻的对称中心相距，
故的最小正周期，即，则，
所以，解得，
故．
故答案为：．
利用辅助角公式，结合三角函数的性质可得，进而求得，从而代入求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据题意求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
15.【答案】解：由可得
即
即，
整理得，解得．
因为，
又，
，
所以，
故与的夹角余弦值为．
【解析】将向量垂直转化为数量积为，进而利用模和夹角进行计算即可；
由夹角余弦公式直接代入数量积和模求解即可．
本题考查平面向量的数量积的性质及运算，属基础题．
16.【答案】解：由三点，，共线，必存在一个常数使得，则有
又
，又、是两个不共线的非零向量
解得
故存在时，、、三点共线
且两向量的夹角是
当时，的值最小为
【解析】由三点，，共线，必存在一个常数使得，由此等式建立起关于，的方程求出的值；
由题设条件，可以表示成关于实数的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的的值．
本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示，理解题设条件，正确转化．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想
17.【答案】解：， ，
，
；
因为，且为锐角，
所以，
因为，且为锐角，
所以，
那么，
，
所以，
因为，为锐角，
所以，
所以，
故．
【解析】由题意利用两角和与差的正切公式即可求解；
利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用二倍角公式可求，的值，利用两角和的余弦公式可求，可求，进而可得的值．
本题主要考查了两角和与差的正切公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式以及两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：，
，，
由正弦函数的性质可知，
所以函数的最大值为，
，
，
令，解得，
即时，函数取得最大值；
令，则，
由恒成立，可知，在上恒成立，
令，的图象开口向上，对称轴为，
要使在上恒成立，
只需，
解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】利用二倍角公式及辅助角公式可得，再结合题意求解即可；
令，则，则有知，在上恒成立，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了三角函数的性质、转化思想及二次函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：由题知：，，
所以．
由，当且仅当时，即时取等号，
所以，即的最大值为；
因为，
令，
因为，
所以，
所以，
所以
所以，
令，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则在上单调递减，所以，
综上，当时，四边形面积最小值为；
当时，四边形面积最小值为．
【解析】由已知先表示，，结合同角基本关系即可证明；
由已知结合同角平方关系及基本不等式即可求解；
先表示四边形的面积，然后结合换元法及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
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