数学：1.1.2《弧度制》教案（苏教版必修4）

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第 2 课时：§1.1.2 弧度制
【三维目标】：
一、知识与技能
1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数
2.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应关系。
3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；
二、过程与方法
1.通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念，比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；
2.以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.
3.通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
三、情感、态度与价值观
1. 通过弧度制的学习，使学生理解并认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；
2.在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；
3.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
4.教师可以向学生介绍或让学生查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料，这有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性。欧拉的有关事迹有助于陶冶学生情操，培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新精神。
【教学重点与难点】：
重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点：弧度的概念
关键：弄清1弧度的角的含义是建立弧度概念的关键
【学法与教学用具】：
1. 学法：在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；
2. 教学用具：计算器、多媒体、实物投影仪、三角板.
【教学方法】：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢 （周角的为1°的角）
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度．
二、研探新知
长度等于半径的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1 。用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制（radian measure）。
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0。若圆的半径为，圆心角所对的圆弧长为，则其弧度数就是；若半径为，圆心角所对的圆的弧长为，则其弧度数就是，故有
度
【探究】：如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.
弧的长 旋转的方向 的弧度数 的度数
逆时针方向
逆时针方向
【注意】：（1）用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位。例如1 ，2 ，，可以分别写成1，2，，sin表示 角的正弦；
（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π
（3）应确立如下的概念：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
任意角的集合 实数集R
弧长公式：
由公式： （比公式简单）
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
扇形面积公式： 其中是扇形弧长，是圆的半径。
（．这比扇形面积公式 要简单）
说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的必须为弧度单位．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材例1）把下列各角从弧度化为度：（1） （2）
解：（1） （2）
【举一反三】
1.将化为角度制是_____，5是第____象限角。
2.若为第四象限角，则为第____象限角
3.有以下四组角：①；②；③；④,，其中终边相同的是（ ） .①和② .①、②和③ .①、②和④ .①、②、③和④
例2（教材例1）把下列各角从度化为弧度：（1）；（2）
【举一反三】
1.将化为弧度制是____
2.比较大小：3_____, _____
3.集合，，则（ ）
. . . .
【触类旁通】
1. 在同一直角坐标系中用阴影画出集合：，
,并写出和
2.已知集合，，试求
例3 （教材例3）已知扇形的周长为8，圆心角为2，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为，弧长为，则有，解得，故扇形的面积为
【举一反三】
1．地球的赤道半径为6370千米，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是_____，1弧度的圆心角所对的弧长是_____
2．若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则此圆心角所夹的扇形的面积等于_____
3．一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
例4 已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.
【举一反三】
现有一根长为的铁丝，学生甲用它围成一个面积最大的矩形，学生乙用它围成一个面积最大的扇形，则两人围成的图形中，哪个面积较大？试说明理由。
四、巩固深化，反馈矫正
1．把45°化成弧度。解：45°＝×45rad＝rad.
2．把rad化成度。解：rad＝×180°＝108°.
3.将下列各角化成2k+（k的形式。（1）； （2）
4.写出阴影部分的角的集合：
5．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　　倍。
6．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
7．若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　 　．
五、归纳整理，整体认识
1.本节主要学习了弧度制的定义；弧度制与角度制的区别，角度与弧度的换算公式，使角的集合与实数集之间建立起一一对应关系；特殊角的弧度数；弧度制下的弧长公式、扇形面积公式
2.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
六、承上启下，留下悬念
1．时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是______
2．把化成的形式是______
3．集合和关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．集合的关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对。
5．已知集合，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）或
6．下列各对角中终边相同的角是（ ）
A.（ｋ∈Ｚ） B. －和π C.－和 D.
7．设，则的取值范围是_______
8．将下列各角化成的形式，并确定其所在的象限
（1）；（2）
9．已知集合，试求，,试求
10．一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为，求扇形的面积。
11．2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇形面积（要求作图）。
12．已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取多少值时，扇形面积最大，最大值为多少？
13．（1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。
（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的
七、板书设计（略）
八、课后记：
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正角
零角
负角
正实数
零
负实数
A
B
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