数学：1.2.1《任意角的三角函数（二）》教案（苏教版必修4）

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第 4 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（二）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 会用角的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值
2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题（利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围）。
二、过程与方法
1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；
2.在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
三、情感、态度与价值观
1. 激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.
2.通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间
【教学重点、难点与关键】：
重点：三角函数线的作法及其简单应用（利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来）.
难点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
关键：掌握有向线段及其数量的概念是克服难点的关键
【学法与教学用具】：
1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.
2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.
3．教学手段：本节课教学地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验；借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.
4. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。特别地, 当r =1时，,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.
二、研探新知
1．基本概念
（1）单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
（2）有向线段：带有方向的线段.
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点.
如：有向线段，为起点，为终点，由点指向点.
（动态演示）
数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）
绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；与坐标轴反向，取负值.如：
= 1,
= -1,
=
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
2．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
，，．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述,同时用电脑演示)：
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点；
第二步：过点作轴的垂线，设垂足为，得正弦线、余弦线；
第三步：过点(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为，得角的正切线.
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点为定点（1，0）.
【说明】：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1.利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）； （2）； （3）； （4）．
学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.
例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1）与 （2）tan与tan （3）cot与cot
解： 如图可知：
tan tan，cot cot
例3 利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：
（1） ; （2）≤- .
分析：先作出满足，的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围.（几何画板动态演示）
答案：（1）{}.
（2）{}
【延伸】：通过（1）、（2）两图形的复合又可以得出不等式组的解集：
{}.
观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？请说明你的观点和理由，并发表于教育论坛。
学生得出的结论有以下几种：
(1) sin2 + cos2 = 1；
(2)│sin│ + │cos │≥1；
(3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R；
(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数;
(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小;
(6) 当角的终边在直线的右下方时, sin＜cos；当角的终边在直线的左上方时, sin＞cos。
【触类旁通】：利用三角函数线写符合下列条件的角的集合：（1） （2）
四、巩固深化，反馈矫正
1.利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：
（1） （2） （3）
2.利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：
（1） （2）
五、归纳整理，整体认识
1．三角函数线的定义；会画任意角的三角函数线
2．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
3.三角函数线的应用
六、承上启下，留下悬念
1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）－45°
2．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
（1）； （2）； （3）tan （3）；
（4）且； （5）且．
答案：（1）；（2）；
（3）； （4）；
（5）．
3．类比正切线的作法，你能作出余切线吗？
4．结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论,你还能得出哪些结论？请大家继续在论坛上交流.
5.查阅数学家欧拉的生平事迹,了解他在数学方面的突出贡献,谈谈你的学习感受,并发表于论坛交流.
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
O
M
（Ⅳ）
（Ⅲ）
（Ⅱ）
（Ⅰ）
A
B
o
T2
T1
S2 S1
P2
P1
M2 M1 S1
x
y
o
P1
P2
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