数学：1.2.2《同角的三角函数关系》教案（苏教版必修4）
文档属性
| 名称 | 数学：1.2.2《同角的三角函数关系》教案（苏教版必修4） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 100.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-19 08:01:00 | ||
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 5 课时：§1.2.2 同角的三角函数关系
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 掌握同角三角函数的基本关系式：，，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。掌握恒等式证明的一般方法.
2. 培养运用数形结合的思想解决有关求值问题；培养学生思维的灵活性及思维的深化；
3. 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力
二、过程与方法
1.由圆的几何性质出发，利用三角函数线，探究同一个角的不同三角函数之间的关系；
2.学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；
3.利用同角三角函数关系式化简三角函数式；
4.利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等。
5.通过例题讲解，总结方法；通过做练习，巩固所学知识.
三、情感、态度与价值观
1. 通过对同角三角函数的基本关系式的学习，认识事物间存在的内在联系，揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想。
2.使学生面对问题养成勤于思考的习惯；
3.训练学生对三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法
【教学重点与难点】：
重点：三角函数基本关系式，的推导及其应用；
难点：由一个三角函数值求出其他三角函数值，有时结果不惟一，需要讨论；在证明恒等式时，选择适当的推理途径；
关键：掌握三角函数在各象限的符号，是解决难点的关键；
【学法与教学用具】：
1.学法：利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:
及,并灵活应用求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式等
2.教学模式：启发、诱导发现教学.
3.教学用具：圆规、三角板、多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．任意角的三角函数定义：设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为，那么：，，
2．当角分别在不同的象限时，sin、cos、tg的符号分别是怎样的？
3．背景：如果，为第一象限的角，如何求角的其它三角函数值；
4．问题：由于的三角函数都是由、、表示的，则角的三个三角函数之间有什么关系？
提示课题：与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
二、研探新知
【探究】：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗
法一（利用三角函数线）：如图，以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此
,即.根据三角函数的定义,当
时,有.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等
于角的正切.
法二（理论证明，采用定义）：
故有 （公式1） （公式2）
【说明】：①关系式是对于同角而言的.，而“同角”的概念与角的表达形式无关，如： ，；读作“的平方”，它与的正弦不同
②上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立；
③据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
④对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
⑤这两个关系式是两个三角恒等式，只要的值使式子的两边都有意义，无论取什么值，两个式子都是恒成立的，即式子的左右两边是恒等的。以后说到三角恒等式时，除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．（教材例1）已知，且是第二象限角，求，的值
【举一反三】
1.已知，则
2.已知，且是第三象限角，则，
3.求满足的,中的最小正角
例2．（教材例2）已知,求，的值
【举一反三】
1.若，则的值为______
2. 已知，且是第二象限角，则
2.若，则的值为_____
【触类旁通】
已知，（1）求函数的值域；（2）求函数的最大值和最小值；（3）求函数的最小值。
【注意】：①三者知一求二，要求熟练掌握.
②已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
③解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例3．（教材例3）化简，其中是第二象限。
【举一反三】
1.化简：
2.设为锐角，则等于（ ）
3.已知是第二象限角，化简：
化简的几个原则：
1 所含三角函数的种类最少；②次数尽可能低；③分母尽可能不含三角函数符号；④项数尽可能少；⑤尽可能将根号内因式移到根号外面来；⑥能求值（指准确值）尽量求值，不含特殊角的三角函数值。
例4．（教材例4）求证：
【举一反三】
1.求证：
2.已知，求证：
3.求等式成立的条件
【触类旁通】
已知关于的方程的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数的值。
四、巩固深化，反馈矫正
A组：1.下列关系成立的是（ ）
2.已知，则的值为____
3.下列关系式中，存在的是（ ） （为锐角）
4.已知是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是_____三角形
5.方程有解，则常数的取值范围是______
6.已知,为锐角，且，则
7.已知，是第三象限角，则，
8.已知，则,
9.已知，请你利用三角函数线写出的取值范围_____
10.已知，则11.若满足，求值
12.如果满足条件，试求的值
13.已知，求和的值
14.若的最小值为的函数，记为，（1）写出的表达式；（2）求能使的的值，并求当取此值时，的最大值。
B组：1.函数的值域是_______
2.已知，则的值等于______
3.若，则的值等于______
4.若角的终边落在直线上，则的值等于_____
5.已知，则为____
6.化简：7.已知，则
8.已知,且，则
9.若为方程的两根，则
10.化简：（1）；（2）
11.已知为锐角，且，求的值
12.已知，分别是的两个根，求角
13.已知，为锐角，求证：
五、归纳整理，整体认识
1．请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有哪些？
2.公式的应用可分为：（1）已知角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式。
3．同角三角函数基本关系式及成立的条件；同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，．
4．证明恒等式常用的方法：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边等于同一个式子；（3）分析法，寻找等式成立的充公条件。证明的方向一般是“由繁到简”
六、承上启下，留下悬念
预习三角函数的诱导公式
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
O
x
y
P
M
1
A(1,0)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
第 5 课时：§1.2.2 同角的三角函数关系
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 掌握同角三角函数的基本关系式：，，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。掌握恒等式证明的一般方法.
2. 培养运用数形结合的思想解决有关求值问题；培养学生思维的灵活性及思维的深化；
3. 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力
二、过程与方法
1.由圆的几何性质出发，利用三角函数线，探究同一个角的不同三角函数之间的关系；
2.学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；
3.利用同角三角函数关系式化简三角函数式；
4.利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等。
5.通过例题讲解，总结方法；通过做练习，巩固所学知识.
三、情感、态度与价值观
1. 通过对同角三角函数的基本关系式的学习，认识事物间存在的内在联系，揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想。
2.使学生面对问题养成勤于思考的习惯；
3.训练学生对三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法
【教学重点与难点】：
重点：三角函数基本关系式，的推导及其应用；
难点：由一个三角函数值求出其他三角函数值，有时结果不惟一，需要讨论；在证明恒等式时，选择适当的推理途径；
关键：掌握三角函数在各象限的符号，是解决难点的关键；
【学法与教学用具】：
1.学法：利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:
及,并灵活应用求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式等
2.教学模式：启发、诱导发现教学.
3.教学用具：圆规、三角板、多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．任意角的三角函数定义：设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为，那么：，，
2．当角分别在不同的象限时，sin、cos、tg的符号分别是怎样的？
3．背景：如果，为第一象限的角，如何求角的其它三角函数值；
4．问题：由于的三角函数都是由、、表示的，则角的三个三角函数之间有什么关系？
提示课题：与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
二、研探新知
【探究】：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗
法一（利用三角函数线）：如图，以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此
,即.根据三角函数的定义,当
时,有.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等
于角的正切.
法二（理论证明，采用定义）：
故有 （公式1） （公式2）
【说明】：①关系式是对于同角而言的.，而“同角”的概念与角的表达形式无关，如： ，；读作“的平方”，它与的正弦不同
②上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立；
③据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
④对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
⑤这两个关系式是两个三角恒等式，只要的值使式子的两边都有意义，无论取什么值，两个式子都是恒成立的，即式子的左右两边是恒等的。以后说到三角恒等式时，除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．（教材例1）已知，且是第二象限角，求，的值
【举一反三】
1.已知，则
2.已知，且是第三象限角，则，
3.求满足的,中的最小正角
例2．（教材例2）已知,求，的值
【举一反三】
1.若，则的值为______
2. 已知，且是第二象限角，则
2.若，则的值为_____
【触类旁通】
已知，（1）求函数的值域；（2）求函数的最大值和最小值；（3）求函数的最小值。
【注意】：①三者知一求二，要求熟练掌握.
②已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
③解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例3．（教材例3）化简，其中是第二象限。
【举一反三】
1.化简：
2.设为锐角，则等于（ ）
3.已知是第二象限角，化简：
化简的几个原则：
1 所含三角函数的种类最少；②次数尽可能低；③分母尽可能不含三角函数符号；④项数尽可能少；⑤尽可能将根号内因式移到根号外面来；⑥能求值（指准确值）尽量求值，不含特殊角的三角函数值。
例4．（教材例4）求证：
【举一反三】
1.求证：
2.已知，求证：
3.求等式成立的条件
【触类旁通】
已知关于的方程的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数的值。
四、巩固深化，反馈矫正
A组：1.下列关系成立的是（ ）
2.已知，则的值为____
3.下列关系式中，存在的是（ ） （为锐角）
4.已知是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是_____三角形
5.方程有解，则常数的取值范围是______
6.已知,为锐角，且，则
7.已知，是第三象限角，则，
8.已知，则,
9.已知，请你利用三角函数线写出的取值范围_____
10.已知，则11.若满足，求值
12.如果满足条件，试求的值
13.已知，求和的值
14.若的最小值为的函数，记为，（1）写出的表达式；（2）求能使的的值，并求当取此值时，的最大值。
B组：1.函数的值域是_______
2.已知，则的值等于______
3.若，则的值等于______
4.若角的终边落在直线上，则的值等于_____
5.已知，则为____
6.化简：7.已知，则
8.已知,且，则
9.若为方程的两根，则
10.化简：（1）；（2）
11.已知为锐角，且，求的值
12.已知，分别是的两个根，求角
13.已知，为锐角，求证：
五、归纳整理，整体认识
1．请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有哪些？
2.公式的应用可分为：（1）已知角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式。
3．同角三角函数基本关系式及成立的条件；同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，．
4．证明恒等式常用的方法：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边等于同一个式子；（3）分析法，寻找等式成立的充公条件。证明的方向一般是“由繁到简”
六、承上启下，留下悬念
预习三角函数的诱导公式
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
O
x
y
P
M
1
A(1,0)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网