安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

姓名__________座位号__________.
（在此卷上答题无效）
高一数学（人教版）
本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. B.-1 C. D.1
2.中，，则是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
3.等边的边长为1，则（ ）
A. B. C. D.
4.在中，“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.黄鹤楼地处蛇山之 濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度约为米，在其一侧有一座建筑物，在它们之间的地面上的点（三点共线）处，测得楼顶 楼顶的仰角分别为和，在楼顶处测得楼顶的仰角为.则地面上两点之间的距离约为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
6.如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度为（ ）
A. B. C. D.
7.一个圆锥内切球的表面积是，其侧面展开图是半径为的半圆，则（ ）
A. B. C.1 D.2
8.已知向量，且，则函数的最小值是（ ）
A.0 B.-1 C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.设都是非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A.若的夹角为钝角，则
B.若，则
C.若，则的夹角为锐角
D.若，则与同向
10.设是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.锐角的三内角的对边分别为边在边上的射影长等于的外接圆半径，则的值是__________.
13.如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为__________.
14.在圆内接四边形中，已知平分，且，则边的长为__________.
四 解答题：共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，三内角对应的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
16.（15分）
在直三棱柱中，.
（1）若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积；
（2）若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高.
17.（15分）
在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直.
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值.
18.（17分）
在中，中线和中线相交于点，点在边上.
（1）若，证明：点是边的靠近点的四等分点；
（2）证明：；
（3）若，求中最大角与最小角的和.
19.（17分）
某公园计划改造一块四边形区域建设草坪（如图），其中百米，百米，.草坪内需要规划4条人行道，以及两条排水沟.其中分别是边的中点.
（1）若，求排水沟的长；
（2）设条人行道总长度记为.
（i）求出函数的表达式；
（ii）当取多少时，有最大值，并求出这个最大值.
高一数学（人教版）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B D C B A D C AB BCD ABD
1.【解析】.故选B.
2.【解析】就是，即.故选B..
3.【解析】.同理.
因此.故选D.
4.【解析】.故选C.
5.【解析】.故选B.
6.【解析】设与所成的角为，则..故选A.
7.【解析】设圆锥的底面半径是，则母线为，则.圆锥的轴鹳面是正三角形，圆锥的高，则其内切圆的半径是.设圆锥内切球的半径是.因此.
8.【解析】因为，所以..因为，所以.当时，.故选C.
9.【解析】对的夹角为钝角，则，所以，
对，对，当时，以为邻边的平行四边形是矩形，所以对.
对，当同向时，有，所以错.对，所以与反向，错.故选
10.【解析】对，取，则错.对，设，则，
B对，对.
对，对.故选BCD.
11.【解析】对，所以，对，
对，对.对，当点是的重心时才有错.对，，对.故选ABD.
12.【答案】【解析】因为是锐角三角形，所以.将代入就是，，因此.
13.【答案】【解析】作交于，则.
而，所以.故.
14.【答案】3【解析】因为平分，所以.
因此
，解得.
15.【解析】（1）由得，.
因为，所以由得，
或，解得或（不合，舍去），故
（2）因为是锐角三角形，所以，
即且，解得.
因此.于是.
故的取值范围是.
16.【解析】（1）因为，所以.
故直三棱柱的表面积为
.
（2）设.因为，所以.
于是是外接圆的半径.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为..
所以球的体积为，解得.
故直三棱柱的高是.
17.【解析】（1）因为互相垂直，所以.
将代入上式得到，
即，
由余弦定理得，.
（2）就是，
即，所以，当且仅当时等号成立.
所以，故面积的最大值是.
18.【解析】（1）因为，
，所以，
即
所以与同向，故点是边的靠近点的四等分点
（2）.
同理得，.
故.
（3）由和
得到，，即.
设，则.
因为，所以.故中最大角与最小角的和为.
19.【解析】（1）在直角中，.
在等腰直角中，.
在中，，
（2）（i）设.
由得，
易得.
.
故.
当三点共线时，.此时.
取为满足的锐角，则.
（ii）令.由得，.
在时单增.
故的最大值为，
此时，且.