2024年湖北省武汉市中考数学复习专题——常见相似模型课件（25张PPT）

(共25张PPT)
常见相似模型
有一个公共角或有公共顶点的一对等角，此时需要找另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．
A字型
模型
1
―→
正A字型(DE∥BC) 斜交型 双垂直共角型
已知：∠1＝∠2，结论：△ADE∽△ABC.
1．(2023·杭州) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直
线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝_________(结果用含k的代数式表示)．
线段等
直角三角形ABF ， BCF
等腰三角形EFC
与
斜A型相似）

有一个公共角，又已知一对角相等，可以得到两个三角形相似．不仅要熟记模型，还要熟记模型的结论，当题目中给出三角形边的乘积或比例关系时，要能快速地判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC可以得到AC2＝AD·AB.
母子型
模型
2
母子型，也称共边共角型 双垂直共角共线型，也称射影定理型
已知：∠ACD＝∠ABC　结论：△ACD∽△ABC
2．(2022·江西) 如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠ACB.
∵∠ACD＝∠ABE，∴∠ACB＝∠ABE.
又∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB.
角等
与
斜A型相似）
(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，即＝.∴AE＝9.
3．问题探究
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高．
求证：①CD2＝AD·BD；②BC2＝AB·BD.
角等
相似
思考： AC2＝AD·AB 如何证明？
证明：①∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°.∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠BCD＋∠CBD.
∴∠ACD＝∠CBD.∴△ACD∽△CBD.∴＝.∴CD2＝AD·BD.
②∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB.∴＝.∴BC2＝AB·BD.
迁移运用
(2)如图2，圆内接四边形ABCD中，对角线AC是直径，BD＝AB，BE⊥AC，若BE＝4，CD＝6，求CE的长．
解：图2中，延长BO交AD于点G，连接OD.
∵OA＝OD，AB＝BD，∴直线BG是线段AD的垂
直平分线．∴∠AGO＝90°，AG＝DG.
∵BE⊥AC，∴∠AGO＝∠BEO＝90°.
又∵∠AOG＝∠BOE，OA＝OB，∴△AGO≌△BEO(AAS)．
注意：证垂直的规范
充分运用题目中的相等线段（包括半径=半径）和相等角（尤其是直角）挖掘图中的全等三角形和相似三角形
∴AG＝BE＝4.∴DG＝AG＝4.∴AD＝8.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
∵CD＝6，∴AC＝＝10.
∵∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠BAE＋
∠ABE＝90°，∠ABE＋∠CBE＝90°.
∴∠BAE＝∠CBE.∴△ABE∽△BCE.∴＝.∴＝.∴CE＝2或8(舍去)．
∴CE的长为2.
射影型相似
有一组隐含的等角(对顶角)，需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一对角相等．若题中未明确指出相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．
8字型
模型
3
AB∥CD正8字型
∠A＝∠C或∠B＝∠D斜8字型
AB∥CD∥EF三平行型
∠A＝∠C或∠ABF＝∠CDF共享型
4．(2023·乐山) 如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连
接AC，DE交于点F.若＝，则＝______．
平行
线段相等
八字型相似
5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边CB，AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F.
(1)求证：△DBF∽△EBC；
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABC，∠ACB分别是△ADB和△BCE的外角，
∴∠ABC＝∠DAB＋∠D，∠ACB＝∠EBC＋∠E.
∵∠DAB＝∠EBC，∴∠D＝∠E.
又∵∠DBF＝∠EBC，∴△DBF∽△EBC.
角相等
相似（八字型）
相似（斜A型）
(2)如果AB＝BC，求证：EC2＝DF·DA.
证明：∵∠DBF＝∠EBC，∠DAB＝∠EBC，
∴∠DBF＝∠DAB.
又∵∠D＝∠D，∴△DBF∽△DAB.∴＝，
即DB2＝DF·DA.
在△ADB和△BEC中，∴△ADB≌△BEC(AAS)．
∴DB＝EC.∴EC2＝DF·DA.

根据两组对应边之比始终相等，以及旋转角相等得到两个三角形相似，该模型的难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对考生的综合能力要求较高，考查知识点有相似，旋转、勾股定理、锐角三角函数等.
“手拉手”旋转型
模型
4
6．(1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE.
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.∴∠BAD＝∠CAE.
∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝CE.
共顶点的等边三角形
手拉手全等
(2)如图2，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，AB＝BC，连接BD，CE，求的值．
解：∵AB＝BC，设BC＝4x，则AB＝3x.
∵△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x.
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE.∴＝，∠DAE＝∠BAC.
∴＝，∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE.
∴∠DAB＝∠EAC.∴△DAB∽△EAC.∴＝＝＝.即的值为.
共锐角顶点的直角三角形
手拉手相似
1．点P在线段AB上(同侧型)
一线三等角型(K型)
模型
5
已知：∠1＝∠2＝∠3，结论：△APC∽△BDP.
2．点P在线段AB的延长线上(异侧型)
已知：∠1＝∠2＝∠3，结论：△APC∽△BDP.
7．(2023·东营) 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，
AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(　　)
C
A．1.8
B．2.4
C．3
D．3.2
60°
一线三等角相似
先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC ∽
△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
本讲内容结束