数学：2.4《向量的数量积（一）》教案（苏教版必修4）
文档属性
| 名称 | 数学：2.4《向量的数量积（一）》教案（苏教版必修4） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 100.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-19 08:09:00 | ||
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文档简介
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第 9 课时：§2.4 向量的数量积（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件
3．掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积；为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了例题，通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
【教学重点与难点】：
重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；
难点：向量数量积的含义、数量积的运算性质；
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？
二、研探新知
1.平面向量数量积的物理背景及其含义
物理学中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）
2.向量夹角
已知两个向量和，作=，=，则（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
3.向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
【说明】：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；
②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
③规定，零向量与任一向量的数量积是；
④在实数中，若0，且，则；但是在数量积中，若，且=，不能推出=.因为其中cos有可能为0；
⑤已知实数、、()，则.但是=·=；
⑥在实数中，有，但是()· ·()
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
4.数量积的性质：
设、设、都是非零向量，是与的夹角，则
①；（||||≠0）
②当与同向时，；当与反向时，；
特别地：或；
③；
④；
⑤若是与方向相同的单位向量，则．
5．数量积的几何意义
（1）投影的概念：
如图，=，过点作垂直于直线，垂足为，则．
我们把（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
当为锐角时射影为正值；
当为钝角时射影为负值；
当为直角时射影为0；
当 = 0时射影为；
当= 180时射影为
（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积等于的长度||与在的方向上的投影||的乘积。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．判断正误，并简要说明理由
①·=； ②·=； ③-=； ④=||||；
⑤若，则对任一非零，有； ⑥=0，则与至少有一个为；
⑦对任意向量、、都有()·=·()；
⑧与是两个单位向量，则=
例2（教材例1）已知向量与向量的夹角为，||＝2，||＝3，分别在下列条件下求：（1）；（2）∥；（3）⊥
例3 已知正的边长为，设=，=，=，求．
解：如图，与、与、与夹角为，
∴原式
．
变式1： 已知，，，且，求．
解：作=，=，∵，∴=，
∵且，
∴中，， ∴，∴，，
所以，．
四、巩固深化，反馈矫正
1.当与同向时,=___,当与反向时,=___，特别地，·，||
2.⊥，；
3.已知||=10,||=12，且(3)·()，则与的夹角是_____
4.已知||=2,||=，与的夹角为，要使-与垂直，则
5.已知||=4,||=5，+,求（1）；（2）(2-)·(+3)
6.已知||=4,||=3,（1）若与夹角为，求(+2)·(-3)；
（2）若(2-3)·(2+)=61，求与的夹角
7.已知||=,||=3，和的夹角为，求当向量+与+的夹角为锐角时的取值范围
8.已知+,2+，且||=||=1, ⊥,
（1）求,；（2）若与的夹角为，求值。
五、归纳整理，整体认识
1.有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.
2.向量数量积的几何意义和物理意义.
3.向量数量积的六条性质.
六、承上启下，留下悬念
1．填空
①已知，，与的夹角，则；
②已知，在上的投影是，则 8 ；
③已知，，，则与的夹角．
④若非零向量与满足，则 0 ．
2．预习向量数量积的运算规律
七、板书设计（略）
八、课后记：
概念辨析：正确理解向量夹角定义
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第 9 课时：§2.4 向量的数量积（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件
3．掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积；为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了例题，通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
【教学重点与难点】：
重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；
难点：向量数量积的含义、数量积的运算性质；
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？
二、研探新知
1.平面向量数量积的物理背景及其含义
物理学中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）
2.向量夹角
已知两个向量和，作=，=，则（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
3.向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
【说明】：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；
②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
③规定，零向量与任一向量的数量积是；
④在实数中，若0，且，则；但是在数量积中，若，且=，不能推出=.因为其中cos有可能为0；
⑤已知实数、、()，则.但是=·=；
⑥在实数中，有，但是()· ·()
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
4.数量积的性质：
设、设、都是非零向量，是与的夹角，则
①；（||||≠0）
②当与同向时，；当与反向时，；
特别地：或；
③；
④；
⑤若是与方向相同的单位向量，则．
5．数量积的几何意义
（1）投影的概念：
如图，=，过点作垂直于直线，垂足为，则．
我们把（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
当为锐角时射影为正值；
当为钝角时射影为负值；
当为直角时射影为0；
当 = 0时射影为；
当= 180时射影为
（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积等于的长度||与在的方向上的投影||的乘积。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．判断正误，并简要说明理由
①·=； ②·=； ③-=； ④=||||；
⑤若，则对任一非零，有； ⑥=0，则与至少有一个为；
⑦对任意向量、、都有()·=·()；
⑧与是两个单位向量，则=
例2（教材例1）已知向量与向量的夹角为，||＝2，||＝3，分别在下列条件下求：（1）；（2）∥；（3）⊥
例3 已知正的边长为，设=，=，=，求．
解：如图，与、与、与夹角为，
∴原式
．
变式1： 已知，，，且，求．
解：作=，=，∵，∴=，
∵且，
∴中，， ∴，∴，，
所以，．
四、巩固深化，反馈矫正
1.当与同向时,=___,当与反向时,=___，特别地，·，||
2.⊥，；
3.已知||=10,||=12，且(3)·()，则与的夹角是_____
4.已知||=2,||=，与的夹角为，要使-与垂直，则
5.已知||=4,||=5，+,求（1）；（2）(2-)·(+3)
6.已知||=4,||=3,（1）若与夹角为，求(+2)·(-3)；
（2）若(2-3)·(2+)=61，求与的夹角
7.已知||=,||=3，和的夹角为，求当向量+与+的夹角为锐角时的取值范围
8.已知+,2+，且||=||=1, ⊥,
（1）求,；（2）若与的夹角为，求值。
五、归纳整理，整体认识
1.有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.
2.向量数量积的几何意义和物理意义.
3.向量数量积的六条性质.
六、承上启下，留下悬念
1．填空
①已知，，与的夹角，则；
②已知，在上的投影是，则 8 ；
③已知，，，则与的夹角．
④若非零向量与满足，则 0 ．
2．预习向量数量积的运算规律
七、板书设计（略）
八、课后记：
概念辨析：正确理解向量夹角定义
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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