数学：3.2《二倍角的三角函数（二）》教案（苏教版必修4）
文档属性
| 名称 | 数学：3.2《二倍角的三角函数（二）》教案（苏教版必修4） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 90.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-19 08:10:00 | ||
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文档简介
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第 7 课时：§3.2 二倍角的三角函数（二）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系；揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。
3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。
二、过程与方法
1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；
2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
三、情感、态度与价值观
1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
2.培养用联系的观点看问题的观点。
【教学重点与难点】：
重点：半角公式的推导与应用（求值、化简、证明）
难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．复习：二倍角公式
2.降幂公式： ．
【练习】化简：（1）；
（2）． （（1）（2）两题答案：）．
【总结】：一般地，．
3．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：
， ，
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
【注意】：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用.
二、研探新知
1．半角公式的推导：
，，
【说明】：（1）只要知道角终边所在象限，就可以确定符号；
（2）公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切；
（3）还有一个有用的公式：（下面给出证明）。
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
【注意】：1左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。
2公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切
3上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）
2．还有一个有用的公式：（课后自己证）
【注意】：① 由
②与结构相同，一号之差，是由 与推出的
③ 平方后是降幂公式，用于变形、求值、证明
④若是的一半，试尽可能多地写出联系与的三角恒等式（倍角，半角公式）
用根式求值时一般处理办法如下
（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号
（2）如果给出的具体范围时，则先求出所在范围，然后再根据所在范围选用符号
（3）如给出的角时某一象限的角时，则根据下表决定符号
sin cos tan
第一象限 第一，三象限 ＋，－ ＋，－ +
第二象限 第一，三象限 ＋，－ ＋，－ +
第三象限 第二，四象限 ＋，－ －, ＋ －
第四象限 第二，四象限 ＋，－ －, ＋ －
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 求证： ．
证法一： ．
证法二：
∴．
又由知与同号，且，
∴， 同理．
【练习2】已知，且，求的值。
（略解）原式．
（解法2）原式．
例2 求证：（1）；（2）．
证明：（1）将公式与公式的左边、右边分别相加，得
所以，．
（2）在（1）题中，令，则，．把，的值代入，就有，
所以，．
例3 已知，，且，为锐角，试求的值。
解：∵， ∴ ①
又∵， ∴ ②
①②，得：，
又∵， ∴，，
∴， 从而．
例4 求证：．
证明：左边
右边．所以，原式成立。
例5 已知：，与是方程的两个根，求的值。
解：∵方程的两个根为
．
∴，且由得：， ．
所以，．
四、巩固深化，反馈矫正
五、归纳整理，整体认识
1．巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5．注意公式的结构，尤其是符号.
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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第 7 课时：§3.2 二倍角的三角函数（二）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系；揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。
3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。
二、过程与方法
1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；
2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
三、情感、态度与价值观
1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
2.培养用联系的观点看问题的观点。
【教学重点与难点】：
重点：半角公式的推导与应用（求值、化简、证明）
难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．复习：二倍角公式
2.降幂公式： ．
【练习】化简：（1）；
（2）． （（1）（2）两题答案：）．
【总结】：一般地，．
3．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：
， ，
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
【注意】：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用.
二、研探新知
1．半角公式的推导：
，，
【说明】：（1）只要知道角终边所在象限，就可以确定符号；
（2）公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切；
（3）还有一个有用的公式：（下面给出证明）。
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
【注意】：1左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。
2公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切
3上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）
2．还有一个有用的公式：（课后自己证）
【注意】：① 由
②与结构相同，一号之差，是由 与推出的
③ 平方后是降幂公式，用于变形、求值、证明
④若是的一半，试尽可能多地写出联系与的三角恒等式（倍角，半角公式）
用根式求值时一般处理办法如下
（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号
（2）如果给出的具体范围时，则先求出所在范围，然后再根据所在范围选用符号
（3）如给出的角时某一象限的角时，则根据下表决定符号
sin cos tan
第一象限 第一，三象限 ＋，－ ＋，－ +
第二象限 第一，三象限 ＋，－ ＋，－ +
第三象限 第二，四象限 ＋，－ －, ＋ －
第四象限 第二，四象限 ＋，－ －, ＋ －
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 求证： ．
证法一： ．
证法二：
∴．
又由知与同号，且，
∴， 同理．
【练习2】已知，且，求的值。
（略解）原式．
（解法2）原式．
例2 求证：（1）；（2）．
证明：（1）将公式与公式的左边、右边分别相加，得
所以，．
（2）在（1）题中，令，则，．把，的值代入，就有，
所以，．
例3 已知，，且，为锐角，试求的值。
解：∵， ∴ ①
又∵， ∴ ②
①②，得：，
又∵， ∴，，
∴， 从而．
例4 求证：．
证明：左边
右边．所以，原式成立。
例5 已知：，与是方程的两个根，求的值。
解：∵方程的两个根为
．
∴，且由得：， ．
所以，．
四、巩固深化，反馈矫正
五、归纳整理，整体认识
1．巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5．注意公式的结构，尤其是符号.
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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