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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题9.2 三角形中折叠问题综合专练（15道）
一、解答题（本卷15道，共100分）
1．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)若与点C重合，证明：；
(3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；(2)见解析(3)或．理由见解析
【详解】（1）解：根据折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：若与点C重合，如图，
，，
∴，
∴；
（3）解：或．理由如下，
连接，
当点在内部时，
由三角形的外角性质得，，
∴
；
当点在外部时，
由三角形的外角性质得，，
∴
；
综上，或．
2．在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为．
(1)如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
【答案】(1)，理由见解析；(2)，证明见解析．
【详解】（1）解：，理由如下：
连接
∵∠1是的外角，
∴．
同理，．
∴．
由折叠性质得．
∴．
（2）解：，证明如下：
连接，
∵∠1是的外角，
∴．
同理，．
∴．
由折叠性质得．
∴，
∴．
3．如图，把的纸片沿着折叠．
(1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数；
(2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由；
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：由折叠的性质可得，
∵，，
∴，
同理可得，
∴；
（2）解：，理由如下：
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
4．如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，
(1)求的度数；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)(2)10
【详解】（1）由折叠可得，，，
又，
，
即；
（2）由折叠，得，．
．
．
．
．
5．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．
(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)(2)不变，
【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕，
∴，
∵将对折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
6．如图所示，现有一张纸片，点D，E分别是边上两点，若沿直线折叠．
(1)如果折成图（1）的形状，使点A的对应点落在上，则与的数量关系是_______；
(2)如果折成图（2）的形状，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如果折成图（3）的形状，猜想，和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析
【详解】（1）如图1，，理由是：
由折叠得：，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）如图2，猜想：，理由是：
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴；
∴；
（3）如图3，，理由是：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．在中，于点．
(1)如图1，若的平分线交于点，，，求的度数．
(2)如图2，点，分别在线段，上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点，都在射线上．若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）由折叠可知，．
∵，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
8．如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点．
(1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ．
(2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由．
(3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析
【详解】（1）解：，
理由：∵沿直线折叠，且，
∴A点落在上，如图（1），
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：，
理由：连接，如图，
∵，，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：．
理由：如图（3），由翻折可得：，，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
9．探究：
(1)如图①与有什么关系？为什么？
(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．
(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．
猜想三个角存在的等量关系为______．
【答案】(1)，理由如下(2)(3)，
【详解】（1）解： ，理由如下：
由题意知，，
∴；
（2）解：由题意知，，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
由折叠与平角的性质，可知，，
∴，
故答案为：；
由题意知，，
∴三个角存在的等量关系为，
故答案为：．
10．在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处．
(1)如图1，若，则___________°；
(2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数．
【答案】(1)(2)，理由见详解(3)
【详解】（1）解：，
，
由折叠得：，，
，
，
；
故答案：．
（2）解：，理由如下：
设，
，
由折叠得：，，
，
，
，
；
；
（3）解：由（2）得
，
，
，恰好分别是与的平分线，
，
，
．
11．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点C落在四边形内点的位置，
①若，，则_________；
②探索、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图4，将纸片沿折叠，使点落在边上方点的位置，探索、与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】①②，理由见详解（2），理由见详解
【详解】解：（1）①由折叠性质可知：，，
∵，，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵由折叠性质可知：，，
∴，
∴，
则、与之间的数量关系为；
（2），理由如下
∵，，
∴，
在四边形中，，
则，
∵，
∴．
12．如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：．请你继续探索：
(1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由．
(2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：连接，
∵，，
∴；
（2）解：由图形折叠的性质可知，
两式相加得，，
即，
∴，
即：．
13．（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；
（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；
（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，
①的度数是多少？请说明理由；
②如果，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线，
∴，
故答案为：．
（2）在中，，，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴，
∵，
，
故答案为：．
（3）①由折叠的性质可知：，，且，
，
②根据折叠的性质及上述知识可知，
．
14．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝ ，可以发现与的数量关系是 ；
(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；
(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
由折叠得：
.
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
由折叠得：
∴，
∴的度数为；
（3）解：如图：
∵，
∴，
由折叠得：
，
∴
，
∴与x，y之间的数量关系：．
15．一张三角形纸片中，，点D、E分别在边、上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，点在边上，______，可以发现与的数量关系是______．
(2)如图2，点在外部，与交于点F，若，求的度数．
(3)如图3，点在内部，请直接写出、与之间的数量关系．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）∵ 沿折叠，点C落在点的位置，，
∴，，
∴，
故答案为：，．
（2）∵沿折叠，点C落在点的位置，，，
∴，，
∴．
（3）．理由如下：
连接，
∵沿折叠，点C落在点的位置，
∴，
∵，
∴．
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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题9.2 三角形中折叠问题综合专练（15道）
一、解答题（本卷15道，共100分）
1．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)若与点C重合，证明：；
(3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由．
2．在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为．
(1)如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
3．如图，把的纸片沿着折叠．
(1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数；
(2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由；
4．如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，
(1)求的度数；
(2)若，，求的面积．
5．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．
(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
6．如图所示，现有一张纸片，点D，E分别是边上两点，若沿直线折叠．
(1)如果折成图（1）的形状，使点A的对应点落在上，则与的数量关系是_______；
(2)如果折成图（2）的形状，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如果折成图（3）的形状，猜想，和的数量关系，并说明理由．
7．在中，于点．
(1)如图1，若的平分线交于点，，，求的度数．
(2)如图2，点，分别在线段，上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点，都在射线上．若，求的度数．
8．如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点．
(1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ．
(2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由．
(3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由．
9．探究：
(1)如图①与有什么关系？为什么？
(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．
(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．
猜想三个角存在的等量关系为______．
10．在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处．
(1)如图1，若，则___________°；
(2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数．
11．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点C落在四边形内点的位置，
①若，，则_________；
②探索、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图4，将纸片沿折叠，使点落在边上方点的位置，探索、与之间的数量关系，并说明理由．
12．如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：．请你继续探索：
(1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由．
(2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
13．（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；
（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；
（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，
①的度数是多少？请说明理由；
②如果，求的度数．
14．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝ ，可以发现与的数量关系是 ；
(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；
(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．
15．一张三角形纸片中，，点D、E分别在边、上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，点在边上，______，可以发现与的数量关系是______．
(2)如图2，点在外部，与交于点F，若，求的度数．
(3)如图3，点在内部，请直接写出、与之间的数量关系．
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